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文档简介
文档来源网络侵权删除专题01含参数与新定义的集合问题【技巧总结】一.解决与集合有关的创新题的对策:(1)分析含义,合理转化,准确提取信息是解决此类问题的前提.剥去新定义、新法则的外表,利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合,陌生的运算转化为我们熟悉的运算,是解决这类问题的突破口,也是解决此类问题的关键.(2)根据新定义(新运算、新法则)的要求,“照章办事”,逐条分析、验证和运算,其中要注意应用集合的有关性质.(3)对于选择题,可结合选项,通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项,当不满足新定义的要求时,只需通过举反例来说明,以达到快速判断结果的目的.二.解决与集合有关的参数问题的对策(1)如果是离散型集合,要逐个分析集合的元素所满足的条件,或者画韦恩图分析.(2)如果是连续型集合,要数形结合,注意端点能否取到.(3)在解集合的含参问题时,一定要注意空集和元素的互异性.(4)由集合间关系求解参数的步骤:①弄清两个集合之间的关系,谁是谁的子集;②看集合中是否含有参数,若,且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形;③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组),求出相关的参数的取值范围或值.(5)经常采用数形结合的思想,借助数轴巧妙解答.【题型归纳目录】题型一:根据元素与集合的关系求参数题型二:根据集合中元素的个数求参数题型三:根据集合的包含关系求参数题型四:根据两个集合相等求参数题型五:根据集合的交、并、补求参数题型六:集合的创新定义【典型例题】题型一:根据元素与集合的关系求参数例1.(2022·全国·高一课时练习)已知集合,,则(
)A. B.或 C. D.【答案】D【解析】∵,∴或.若,解得或.当时,,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当时,集合,满足题意,故成立.若,解得,由上述讨论可知,不满足题意,故舍去.综上所述,.故选:D.例2.(2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中)已知集合,且,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得,解得,故选:C例3.(2022·全国·高一课时练习)设全集,,若,则B等于(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,所以,所以,解得,所以,故选:C.例4.(多选题)(2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试)已知,且,,,则取值可能为(
)A. B. C. D.【答案】BCD【解析】选项A:当时,,,故,A错误;选项B:当时,,,故,B正确;选项C:当时,,,故,C正确;选项D:当时,,,故,D正确.故答案为:BCD.例5.(多选题)(2022·湖北孝感·高一期中)已知集合,,则为(
)A.2 B. C.5 D.【答案】BC【解析】依题意,当时,或,若,则,符合题意;若,则,对于集合,不满足集合元素的互异性,所以不符合.当时,或,若,则,对于集合,不满足集合元素的互异性,所以不符合.若,则,符合题意.综上所述,的值为或.故选:BC题型二:根据集合中元素的个数求参数例6.(2022·上海·上外附中高一期中)集合中所有元素之和为,则实数________.【答案】【解析】由得或所以,,当时,是方程的根,解得,当时,若方程的一根为1,则,方程的另一根为4,不合题意;若1不是方程的根,则方程两根,此时不满足,舍去.故答案为:.例7.(2022·上海市杨浦高级中学高一期中)已知集合,记集合中的元素个数为,若,则实数______.【答案】或或【解析】因为,,解得或者,时,即只有一个元素,当只有一个解而无解时,即,解得,当只有一个解而无解时,即,不存在,时,有三个元素,当只有一个解而有2个不同解时,即,不存在,当只有一个解而有2个不同解时,即,解得或者,综上所述,或或.故答案为:或或.例8.(2022·江苏南通·高一期中)已知集合,若集合A中只有一个元素,则实数a的取值的集合是______【答案】【解析】当时,只有一个解,则集合有且只有一个元素,符合题意;当时,若集合A中只有一个元素,则一元二次方程有二重根,即,即综上,或,故实数a的取值的集合为故答案为:例9.(2022·全国·高一课时练习)已知,集合.(1)若A是空集,求实数a的取值范围;(2)若集合A中只有一个元素,求集合A;(3)若集合A中至少有一个元素,求实数a的取值范围.【解析】(1)若A是空集,则关于x的方程无解,此时,且,所以,即实数a的取值范围是.(2)当时,,符合题意;当时,关于x的方程应有两个相等的实数根,则,得,此时,符合题意.综上,当时;当时.(3)当时,,符合题意;当时,要使关于x的方程有实数根,则,得.综上,若集合A中至少有一个元素,则实数a的取值范围为.例10.(2022·天津市静海区第四中学高一阶段练习)已知集合.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并求集合A;【解析】(1)当时,方程化为,有一个根,不符合题意;当时,若方程无根,则即综上,a的取值范围为(2)当时,方程化为,有一个根,;当时,若方程只有一个根,则即此时方程化为,有二重根,题型三:根据集合的包含关系求参数例11.(2022·上海·高一专题练习)集合A={x|x2=1},B={x|ax=1},若B⊆A,则实数a的值为(
)A.1 B.-1 C.±1 D.0或±1【答案】D【解析】A={x|x2=1}={1,-1}.当a=0时,,满足B⊆A;当a≠0时,B=,因为B⊆A,所以=1或=-1,即a=±1.综上所述,a=0或a=±1.故选:D例12.(2022·江苏·高一课时练习)设集合.若,则实数的值为(
)A.1 B. C.1或 D.0或1或【答案】D【解析】由题可得,,当时,,满足;当时,,则或,即.综上所述,或.故选:D.例13.(2022·安徽宣城·高一期中)已知集合,,若,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】当时,即当时,,合乎题意;当时,即当时,由可得,解得,此时.综上所述,.故选:A.例14.(2022·上海市控江中学高一期中)已知为常数,集合,集合,且,则的所有取值构成的集合为______;【答案】【解析】集合,因为集合,且,所以或或,当时,,当时,,当时,,故的所有取值构成的集合为.故答案为:.例15.(2022·江苏省沭阳高级中学高一期中)集合,,若,则的值为__________.【答案】0【解析】因为,所以,显然,若,则与集合元素的互异性矛盾,舍去;若,则或(舍去),综上,.故答案为:0.例16.(2022·江苏·高一单元测试)已知集合或,,若,则实数的取值范围_________.【答案】或【解析】用数轴表示两集合的位置关系,如上图所示,或要使,只需或,解得或.所以实数的取值范围或.故答案为:或例17.(2022·全国·高一课时练习)已知为实数,,.(1)当时,求的取值集合;(2)当时,求的取值集合.【解析】(1)因为,所以当时,,当时,.又,所以,此时,满足.所以当时,的取值集合为.(2)当时,,不成立;当时,,,成立;当且时,,,由,得,所以.综上,的取值集合为.例18.(2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习)不等式组的解集是,则m的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意,,因为不等式组的解集为,则,所以.故选:D.例19.(2022·全国·高一)已知集合,集合.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围【解析】(1)当时,,;(2)由,则有:,解得:,即,实数的取值范围为.例20.(多选题)(2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中)设,.若,则实数的值可以为(
)A.1 B.2 C.0 D.【答案】ACD【解析】由得:,当时,,符合题意;当时,,若,则;若,则;由于B中至多有一个元素,故,所以实数的值可以为,故选:ACD例21.(2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试)设集合,.(1)若,试求;(2)若,求实数的取值范围.【解析】(1)由,解得或,.当时,得解得或;∴.(2)由(1)知,,,于是可分为以下几种情况.当时,,此时方程有两根为,,则,解得.当时,又可分为两种情况.当时,即或,当时,此时方程有且只有一个根为,则,解得,当时,此时方程有且只有一个根为,则,此时方程组无解,当时,此时方程无实数根,则,解得.综上所述,实数a的取值为.例22.(2022·江苏·高一)已知集合.(1)若,求实数a的取值范围;(2)若,求实数a的取值范围;(3)若,求实数a的取值范围.【解析】(1),;(2),;(3),,,,且,.例23.(2022·广东·揭阳华侨高中高一期中)已知集合,(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【解析】(1)当时,又;(2),且,即,且所以实数的取值范围为.例24.(2022·湖南益阳·高一期末)设集合,,.(1)求;(2)若_________,求实数m的取值范围.请从①,②,③这三个条件中选一个填入(2)中横线处,并完成第(2)问的解答.(如多选,则按第一个选择的解答给分)【解析】(1)∵集合,,∴.(2)①若,∴,即,∴实数m的取值范围是.②若,∴,即,∴实数m的取值范围是.③若,∵或,∴,即,∴实数m的取值范围是.题型四:根据两个集合相等求参数例25.(2022·安徽·泾县中学高一阶段练习)已知集合,若,则___________;若,则___________.【答案】
【解析】若时,由可知,必有;若时,①当时,可得或,由集合的互异性,必有,可得,有或可得或②当时,可得,有可得,与集合的互异性矛盾;③当时,可得,有或,可得或无解,不合题意.由上可知或可得.故答案为:0;0.例26.(2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中)集合,且,则实数m=________.【答案】1或【解析】因为,且,所以,由,得,解得或故答案为:1或例27.(2022·湖南·高一期中)若,集合A={1,a,a+2},B={1,3,5},且A=B,则a=___________.【答案】3【解析】∵,∴,解得,或,无解所以.故答案为:3.例28.(2022·浙江丽水·高一期末)已知集合,,若,则实数_______【答案】【解析】因为,所以方程有且只有一个实数根,所以,解得.所以故答案为:例29.(2022·上海市向明中学高一阶段练习)已知全集为R,A={x|x2+px﹣6=0},B={x|x2+2x+q=0}.(1)若A∩B={2},求实数p,q的值;(2)若B={x|x2+2x+q=0}={m,n}(m,n∈R),求使得为整数的实数的整数值【解析】(1)由题意A={x|x2+px﹣6=0},B={x|x2+2x+q=0},且A∩B={2},故所以解得(2)由题意,解得此时故为整数所以,又故题型五:根据集合的交、并、补求参数例30.(2022·天津市军粮城中学高一阶段练习)已知集合,且,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,故可得或,因为,,故可得.故选:C.例31.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高一阶段练习)已知集合.(1)若集合,且,求的值;(2)若集合,且A∩C=C,求a的取值范围.【解析】(1)由x2﹣8x+12=0得x=2或x=6,∴A={2,6},因为A=B,所以,解得,故a=5.(2)因为A∩C=C,所以C⊆A.当C=∅时,△=1﹣24a<0,解得a;当C={2}时,1﹣24a=0且22a﹣2+6=0,此时无解;当C={6}时,1﹣24a=0.且62a﹣6+6=0,此时无解或a=0.综上,a的取值范围为.例32.(2022·徐州市第三十六中学(江苏师范大学附属中学)高一阶段练习)已知集合,,是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【解析】由,得,当,即时,,此时不合题意,故当时,,因为,所以所以或,解得或,当时,不合题意;当时,,,符合题意,综上所述,存在实数,使得成立.例33.(2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习)已知集合.(1)当时,求的非空真子集的个数;(2)若,求实数的取值范围;(3)若,求实数的取值范围.【解析】(1)当x∈Z时,A={x∈Z|-2≤x≤5}={-2,-1,0,1,2,3,4,5},共有8个元素,所以A的非空真子集的个数为28-2=254.(2)(2)因为A∪B=A,所以B⊆A,当B=∅时,由m+1>2m-1,得m<2,符合;当B≠∅时,根据题意,可得,解得2≤m≤3.综上可得,实数m的取值范围是{m|m≤3}.(3)(3)当B=∅时,由(1)知m<2;当B≠∅时,根据题意作出如图所示的数轴,可得或解得m>4.综上可得,实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}.例34.(2022·湖南·高一期中)集合,.(1)当,求;(2)若,求实数的取值范围.【解析】(1)当,又所以;(2)因为,①当时,则,即,符合题意,②当时,所以,解得,综上所述,例35.(2022·安徽·池州市贵池区乌沙中学高一期中)已知集合,,若,,则______,______.【答案】
【解析】因为,所以方程与有公共解,又同时满足方程与,所以,,所以;由上可知,,由得:,联立方程组解得,,所以,,故.故答案为:,.例36.(2022·全国·高一课时练习)已知集合.(1)若集合,且,求的值;(2)若集合,且A∩C=C,求a的取值范围.【解析】(1)由x2﹣8x+12=0得x=2或x=6,∴A={2,6},因为A=B,所以,解得,故a=5.(2)因为A∩C=C,所以C⊆A.当C=∅时,△=1﹣24a<0,解得a;当C={2}时,1﹣24a=0且22a﹣2+6=0,此时无解;当C={6}时,1﹣24a=0.且62a﹣6+6=0,此时无解或a=0.综上,a的取值范围为.例37.(2022·全国·高一课时练习)已知集合,,或.(1)若,求实数m的取值范围;(2)若,求实数m的取值范围.【解析】(1)∵,∴.在数轴上标出集合A,B,如图1所示,则由图1可知,解得.∴实数m的取值范围为.(2)∵,∴.当,即,即时,满足.当,即时,在数轴上标出集合B,C,若,则有两种情况,如图2、图3所示.由图2可知,解得,又,∴无解;由图3可知,解得.综上,实数m的取值范围是或.例38.(2022·全国·高一课时练习)若集合,,且,则______,______.【答案】
4
0【解析】若,则,显然不成立,所以;所以,即,得,此时,所以,即,得.故答案为:4;0题型六:集合的创新定义例39.(2022·上海市控江中学高一期中)设是实数集的一个非空子集,如果对于任意的与可以相等,也可以不相等),且,则称是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是(
).A.存在一个集合,它既是“和谐集”,又是有限集B.集合是“和谐集”C.若都是“和谐集”,则D.对任意两个不同的“和谐集”,总有【答案】D【解析】A项中,根据题意是“和谐集”,又是有限集,故A项为真命题;B项中,设,则,,所以集合是“和谐集”,故B项为真命题;C项中,根据已知条件,可以相等,故任意“和谐集”中一定含有0,所以,故C项为真命题;D项中,取,,都是“和谐集”,但5不属于,也不属于,所以不是实数集,故D项为假命题.故选:D.例40.(2022·广东·金山中学高一期中)设,与是的子集,若,则称为一个“理想配集”.规定与是两个不同的“理想配集”,那么符合此条件的“理想配集”的个数是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】,∴集合A和B必然同时含有1,2两个元素,若则或,共有2种,若,则,共有1种,故共有种;故选:B.例41.(2022·全国·高一课时练习)戴德金分割,是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B,且满足Q,,A中的每一个元素都小于B中的每一个元素.请给出一组满足A中无最大元素且B中无最小元
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