2022-2023学年苏教版高一数学新教材同步讲义专题01 含参数与新定义的集合问题 （苏教版2019必修第一册） 解析

文档来源网络侵权删除专题01含参数与新定义的集合问题【技巧总结】一．解决与集合有关的创新题的对策：（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．二．解决与集合有关的参数问题的对策（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．（4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组)，求出相关的参数的取值范围或值.（5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答.【题型归纳目录】题型一：根据元素与集合的关系求参数题型二：根据集合中元素的个数求参数题型三：根据集合的包含关系求参数题型四：根据两个集合相等求参数题型五：根据集合的交、并、补求参数题型六：集合的创新定义【典型例题】题型一：根据元素与集合的关系求参数例1．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，则（

）A． B．或 C． D．【答案】D【解析】∵，∴或．若，解得或．当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，集合，满足题意，故成立．若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，．故选：D．例2．（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中）已知集合，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，解得，故选：C例3．（2022·全国·高一课时练习）设全集，，若，则B等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，解得，所以，故选：C.例4．（多选题）（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）已知，且，，，则取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】选项A：当时，，，故，A错误；选项B：当时，，，故，B正确；选项C：当时，，，故，C正确；选项D：当时，，，故，D正确.故答案为：BCD.例5．（多选题）（2022·湖北孝感·高一期中）已知集合，，则为（

）A．2 B． C．5 D．【答案】BC【解析】依题意，当时，或，若，则，符合题意；若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.当时，或，若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.若，则，符合题意.综上所述，的值为或.故选：BC题型二：根据集合中元素的个数求参数例6．（2022·上海·上外附中高一期中）集合中所有元素之和为，则实数________．【答案】【解析】由得或所以，，当时，是方程的根，解得，当时，若方程的一根为1，则，方程的另一根为4，不合题意；若1不是方程的根，则方程两根，此时不满足，舍去.故答案为：．例7．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）已知集合，记集合中的元素个数为，若，则实数______.【答案】或或【解析】因为，，解得或者，时，即只有一个元素，当只有一个解而无解时，即，解得，当只有一个解而无解时，即，不存在，时，有三个元素，当只有一个解而有2个不同解时，即，不存在，当只有一个解而有2个不同解时，即，解得或者，综上所述，或或.故答案为：或或.例8．（2022·江苏南通·高一期中）已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是______【答案】【解析】当时，只有一个解，则集合有且只有一个元素，符合题意；当时，若集合A中只有一个元素，则一元二次方程有二重根，即，即综上，或，故实数a的取值的集合为故答案为：例9．（2022·全国·高一课时练习）已知，集合.(1)若A是空集，求实数a的取值范围；(2)若集合A中只有一个元素，求集合A；(3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.【解析】（1）若A是空集，则关于x的方程无解，此时，且，所以，即实数a的取值范围是.（2）当时，，符合题意；当时，关于x的方程应有两个相等的实数根，则，得，此时，符合题意.综上，当时；当时.（3）当时，，符合题意；当时，要使关于x的方程有实数根，则，得.综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为.例10．（2022·天津市静海区第四中学高一阶段练习）已知集合.(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；【解析】(1)当时，方程化为，有一个根，不符合题意；当时，若方程无根，则即综上，a的取值范围为(2)当时，方程化为，有一个根，；当时，若方程只有一个根，则即此时方程化为，有二重根，题型三：根据集合的包含关系求参数例11．（2022·上海·高一专题练习）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则实数a的值为（

）A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1【答案】D【解析】A={x|x2=1}={1，-1}.当a=0时，，满足B⊆A；当a≠0时，B=，因为B⊆A，所以=1或=-1，即a=±1.综上所述，a=0或a=±1.故选：D例12．（2022·江苏·高一课时练习）设集合．若，则实数的值为（

）A．1 B． C．1或 D．0或1或【答案】D【解析】由题可得，，当时，，满足；当时，，则或，即.综上所述，或.故选：D.例13．（2022·安徽宣城·高一期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，即当时，，合乎题意；当时，即当时，由可得，解得，此时.综上所述，.故选：A.例14．（2022·上海市控江中学高一期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为______;【答案】【解析】集合，因为集合，且，所以或或，当时，，当时，，当时，，故的所有取值构成的集合为.故答案为：.例15．（2022·江苏省沭阳高级中学高一期中）集合，，若，则的值为__________.【答案】0【解析】因为，所以，显然，若，则与集合元素的互异性矛盾，舍去；若，则或（舍去），综上，．故答案为：0．例16．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．【答案】或【解析】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使，只需或，解得或．所以实数的取值范围或.故答案为：或例17．（2022·全国·高一课时练习）已知为实数，，．(1)当时，求的取值集合；(2)当时，求的取值集合.【解析】（1）因为，所以当时，，当时，．又，所以，此时，满足．所以当时，的取值集合为．（2）当时，，不成立；当时，，，成立；当且时，，，由，得，所以．综上，的取值集合为．例18．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习）不等式组的解集是，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，，因为不等式组的解集为，则，所以.故选：D.例19．（2022·全国·高一）已知集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围【解析】(1)当时，，；(2)由，则有：，解得：，即，实数的取值范围为．例20．（多选题）（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）设，．若，则实数的值可以为（

）A．1 B．2 C．0 D．【答案】ACD【解析】由得：,当时，,符合题意；当时，，若，则；若，则；由于B中至多有一个元素，故,所以实数的值可以为，故选：ACD例21．（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）设集合，.(1)若，试求；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）由，解得或，.当时，得解得或；∴.（2）由（1）知，，，于是可分为以下几种情况．当时，，此时方程有两根为，，则，解得.当时，又可分为两种情况．当时，即或，当时，此时方程有且只有一个根为，则，解得，当时，此时方程有且只有一个根为，则，此时方程组无解，当时，此时方程无实数根，则，解得.综上所述，实数a的取值为.例22．（2022·江苏·高一）已知集合．(1)若，求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的取值范围；(3)若，求实数a的取值范围．【解析】(1)，；(2)，；(3)，，，，且，．例23．（2022·广东·揭阳华侨高中高一期中）已知集合，(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【解析】(1)当时，又；(2)，且，即,且所以实数的取值范围为.例24．（2022·湖南益阳·高一期末）设集合，，．(1)求；(2)若_________，求实数m的取值范围．请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如多选，则按第一个选择的解答给分）【解析】（1）∵集合，，∴．（2）①若，∴，即，∴实数m的取值范围是．②若，∴，即，∴实数m的取值范围是．③若，∵或，∴，即，∴实数m的取值范围是．题型四：根据两个集合相等求参数例25．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知集合，若，则___________；若，则___________.【答案】

【解析】若时，由可知，必有；若时，①当时，可得或，由集合的互异性，必有，可得，有或可得或②当时，可得，有可得，与集合的互异性矛盾；③当时，可得，有或，可得或无解，不合题意.由上可知或可得.故答案为：0；0.例26．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）集合，且，则实数m=________.【答案】1或【解析】因为，且，所以，由，得，解得或故答案为：1或例27．（2022·湖南·高一期中）若，集合A={1，a，a+2}，B={1，3，5}，且A=B，则a=___________.【答案】3【解析】∵，∴，解得，或，无解所以.故答案为：3.例28．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合，，若，则实数_______【答案】【解析】因为，所以方程有且只有一个实数根，所以，解得.所以故答案为：例29．（2022·上海市向明中学高一阶段练习）已知全集为R，A＝{x|x2+px﹣6＝0}，B＝{x|x2+2x+q＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数p，q的值；(2)若B＝{x|x2+2x+q＝0}＝{m，n}（m，n∈R），求使得为整数的实数的整数值【解析】（1）由题意A＝{x|x2+px﹣6＝0}，B＝{x|x2+2x+q＝0}，且A∩B＝{2}，故所以解得（2）由题意，解得此时故为整数所以，又故题型五：根据集合的交、并、补求参数例30．（2022·天津市军粮城中学高一阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，故可得或，因为，，故可得.故选：C.例31．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一阶段练习）已知集合.(1)若集合，且，求的值；(2)若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围.【解析】（1）由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}，因为A＝B，所以，解得，故a＝5.（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A.当C＝∅时，△＝1﹣24a＜0，解得a；当C＝{2}时，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此时无解；当C＝{6}时，1﹣24a＝0.且62a﹣6+6＝0，此时无解或a＝0.综上，a的取值范围为.例32．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）已知集合，，是否存在实数，使得?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解析】由，得，当，即时，，此时不合题意，故当时，，因为，所以所以或，解得或，当时，不合题意；当时，，，符合题意，综上所述，存在实数，使得成立.例33．（2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合.(1)当时，求的非空真子集的个数；(2)若，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围.【解析】（1）当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.（2）（2）因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；当B≠∅时，根据题意，可得，解得2≤m≤3.综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}.（3）（3）当B＝∅时，由（1）知m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或解得m>4.综上可得，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}.例34．（2022·湖南·高一期中）集合，.(1)当，求；(2)若，求实数的取值范围.【解析】(1)当，又所以；(2)因为，①当时，则，即，符合题意，②当时，所以，解得，综上所述，例35．（2022·安徽·池州市贵池区乌沙中学高一期中）已知集合，，若，，则______，______．【答案】

【解析】因为，所以方程与有公共解，又同时满足方程与，所以，，所以；由上可知，，由得：，联立方程组解得，，所以，，故.故答案为：，.例36．（2022·全国·高一课时练习）已知集合.(1)若集合，且，求的值；(2)若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围.【解析】（1）由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}，因为A＝B，所以，解得，故a＝5.（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A.当C＝∅时，△＝1﹣24a＜0，解得a；当C＝{2}时，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此时无解；当C＝{6}时，1﹣24a＝0.且62a﹣6+6＝0，此时无解或a＝0.综上，a的取值范围为.例37．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，或．(1)若，求实数m的取值范围；(2)若，求实数m的取值范围．【解析】（1）∵，∴．在数轴上标出集合A，B，如图1所示，则由图1可知，解得．∴实数m的取值范围为．（2）∵，∴．当，即，即时，满足．当，即时，在数轴上标出集合B，C，若，则有两种情况，如图2、图3所示．由图2可知，解得，又，∴无解；由图3可知，解得．综上，实数m的取值范围是或．例38．（2022·全国·高一课时练习）若集合，，且，则______，______．【答案】

4

0【解析】若，则，显然不成立，所以；所以，即，得，此时，所以，即，得．故答案为：4；0题型六：集合的创新定义例39．（2022·上海市控江中学高一期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（

）.A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集B．集合是“和谐集”C．若都是“和谐集”，则D．对任意两个不同的“和谐集”，总有【答案】D【解析】A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A项为真命题；B项中，设，则，，所以集合是“和谐集”，故B项为真命题；C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C项为真命题；D项中，取，，都是“和谐集”，但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D项为假命题.故选：D.例40．（2022·广东·金山中学高一期中）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”．规定与是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，∴集合A和B必然同时含有1，2两个元素，若则或，共有2种，若，则，共有1种，故共有种；故选：B.例41．（2022·全国·高一课时练习）戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足Q，，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素．请给出一组满足A中无最大元素且B中无最小元