2022-2023学年苏教版高一数学新教材同步讲义5.4 函数的奇偶性

文档来源网络侵权删除5.4函数的奇偶性【知识点梳理】知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤1、函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．知识点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）的等价形式为：，的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有．2、奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．3、用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．若，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数知识点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．知识点三、关于函数奇偶性的常见结论（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．【题型归纳目录】题型一：函数的奇偶性的判断与证明题型二：已知函数的奇偶性求表达式题型三：已知函数的奇偶性求值题型四：已知函数的奇偶性求参数题型五：已知奇函数+M题型六：抽象函数的奇偶性问题题型七：奇偶性与单调性的综合运用题型八：利用函数奇偶性识别图像题型九：对称性与奇偶性的综合应用【典型例题】题型一：函数的奇偶性的判断与证明例1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数是奇函数的是（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功．例2．（2022·山东·青岛二中高一期中）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（

）A． B． C． D．例3．（2022·北京·中国农业大学附属中学高一期中）下列函数是偶函数的是（

）A． B． C． D．，变式1．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（

）A．奇函数的图象关于原点对称，且B．偶函数的图象关于y轴对称，且C．存在既是奇函数又是偶函数的函数D．奇､偶函数的定义域可以不关于原点对称变式2．（2022·全国·高一课时练习）已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，则下列说法正确的是（

）A．为上的奇函数 B．为上的奇函数C．为上的偶函数 D．为上的偶函数变式3．（2022·浙江绍兴·高二期末）已知为上的函数，其中函数为奇函数，函数为偶函数，则A．函数为偶函数B．函数为奇函数C．函数为偶函数D．函数为奇函数变式4．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数变式5．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列判断正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是非奇非偶函数变式6．（2022·全国·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4)．变式7．（2022·四川·重庆第二外国语学校高一期中）已知函数图象经过点．(1)求函数的解析式；(2)判断函数的奇偶性并说明理由．变式8．（2022·广东·深圳市高级中学高一期中）已知定义在上的函数，(1)求证：为偶函数；(2)用定义法证明在上单调递增.变式9．（2022·河南南阳·高一阶段练习）设函数.(1)某同学认为，无论实数取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由；(2)若是偶函数，求实数的值；(3)在（2）的情况下，求函数的单调递增区间.题型二：已知函数的奇偶性求表达式例4．（2022·全国·高三竞赛）已知是R上的奇函数，是上的偶函数.若,则（）.A． B．C． D．【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式．例5．（2022·福建·泉州鲤城北大培文学校高一期中）函数f（x）是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为(1)求f（-1）的值∶(2)用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；(3)求当x<0时，函数的解析式.例6．（2022·全国·高一课时练习）函数是定义在上的奇函数，且．(1)确定的解析式；(2)判断在上的单调性，并用定义证明．变式10．（2022·广东·广州大学附属中学高一阶段练习）已知是偶函数，当时，，时，等于（

）A． B． C． D．变式11．（2022·河南周口·高一阶段练习）已知偶函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．变式12．（2022·全国·高一课时练习）设为奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B．C． D．变式13．（2022·北京铁路二中高一期中）已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则（

）A． B．2 C．1 D．3变式14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求当x＞0时，函数的解析式；(2)解不等式．变式15．（2022·广西·兴安县第二中学高一期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________．题型三：已知函数的奇偶性求值例7．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知奇函数，当时，（为常数），则（

）A．1 B．2 C．－3 D．3【方法技巧与总结】充分利用奇偶性进行求解．例8．（2022·全国·高一专题练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．例9．（2022·上海市建平中学高一期中）定义在R上的奇函数满足，则___________．变式16．（2022·安徽·安庆市第七中学模拟预测（文））已知是定义域为的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______．变式17．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，的定义域为，且为偶函数，为奇函数，若，则__．变式18．（多选题）（2022·广东·揭阳华侨高中高一期中）是奇函数，是偶函数，且，，则（

）A． B． C． D．变式19．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一阶段练习）已知是偶函数，是奇函数，且，则（）A． B． C． D．题型四：已知函数的奇偶性求参数例10．（2022·全国·高一课时练习）若函数是奇函数，则实数a的值为___________.【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解．10．（2022·江苏省新海高级中学高一期中）已知函数是定义在上的偶函数，则的值是（

）A． B． C． D．11．（2022·江苏·海门市第一中学高一期中）若函数是定义上的偶函数，则（

）A．1 B． C． D．312．（2022·全国·高一单元测试）设函数，若函数的图象关于点对称，则（

）A． B．0 C．1 D．213．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知函数为奇函数，则（）A．－1 B．0 C．1 D．214．（2022·全国·高一课时练习）若函数是定义在上的偶函数，则（

）A．1 B．3 C．5 D．715．（2022·辽宁沈阳·高一期末）若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B．0 C．1 D．316．（2022·湖北·高一期末）若函数f(x)＝ax2＋(2b－a)x＋b－a是定义在[2－2a，a]上的偶函数，则＝（

）A．1 B．2 C．3 D．417．（2022·全国·高一课时练习）已知函数为奇函数，则（

）A． B．0 C．1 D．232．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是奇函数，则_____．题型五：已知奇函数+M例11．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（

）A．－506 B．506 C．2022 D．2024【方法技巧与总结】已知奇函数+M，，则（1）（2）例12．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则__．例13．（2022·浙江·宁波咸祥中学高一期中）若函数是奇函数，且函数在上有最大值10，则函数在上的最小值为___________.变式20．（2022·全国·高一课时练习）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.变式21．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，则的值是_______.题型六：抽象函数的奇偶性问题例14．（多选题）（2022·全国·高一专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（

）A．B．为奇函数C．在区间上有最大值D．的解集为【方法技巧与总结】判断抽象函数的奇偶性，可用特殊值赋值法来求解．在这里，由于需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行．例15．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知函数对任意都有，且．则下列结论正确的是（

）A．为偶函数 B．若，则C． D．若，则例16．（2022·全国·高一课时练习）设函数对任意，都有，证明：为奇函数．变式22．（2022·全国·高一课时练习）设函数的定义域为R，并且满足，且当时，(1)求的值；(2)判断函数的单调性，并给出证明；(3)如果，求的取值范围；变式23．（2022·全国·高一课时练习）定义在上的函数满足：对于，成立；当时，恒成立.(1)判断并证明函数的奇偶性，判断并证明的单调性；(2)当时，解关于的不等式.变式24．（2022·全国·高一单元测试）已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：①对任意的实数，恒成立；②当时，；③.(1)求及的值；(2)求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的增函数；(3)若，求实数的取值范围.变式25．（2022·四川·宁南中学高一开学考试）定义域在R的单调函数满足恒等式，且.(1)求，；(2)判断函数的奇偶性，并证明；(3)若对于任意都有成立，求实数的取值范围.变式26．（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）已知函数的定义域为，对任意的，都有，且当时，．(1)求证：是奇函数；(2)判断在上的单调性，并加以证明；(3)解关于的不等式，其中常数．变式27．（2022·全国·高一课时练习）设函数的定义域为，且满足：①当时，；②，．则是_______函数（填“奇”或“偶”），在定义域上是_______函数（填“增”或“减”）．又为奇函数，所以在上是减函数．题型七：奇偶性与单调性的综合运用例17．（2022·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．例18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集为______.例19．（2022·全国·高一单元测试）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________.变式28．（2022·全国·高一课时练习）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______.变式29．（2022·全国·高一专题练习）奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________.变式30．（2022·全国·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意，，且，有，则的最小值为______．变式31．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图像如图所示，则不等的解集是______．变式32．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．对任意，都有变式33．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．变式34．（2022·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．变式35．（2022·全国·高一课时练习）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．变式36．（2022·全国·高一单元测试）设是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，，且，那么一定有（

）A． B． C． D．变式37．（2022·全国·高一单元测试）设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．题型八：利用函数奇偶性识别图像例20．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数的图像大致是（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】利用奇偶性进行排除.例21．（2022·河南·郑州外国语学校高一期中）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．例22．（2022·广东·铁一中学高一阶段练习）函数的图像为（

）A． B．C． D．变式38．（2022·全国·高一期中）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．变式39．（2022·全国·高一）函数的图象为（

）A． B．C． D．题型九：对称性与奇偶性的综合应用例23．（2022·全国·高一课时练习）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.（1）求函数图象的对称中心；（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.例24．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高三期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.(1)请写出一个图象关于点（-1，0）成中心对称的函数解析式；(2)利用题目中的推广结论，求函数图象的对称中心.例25．（2022·全国·高一期中）有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”.据此，对于函数，可以判定：（1）函数的对称中心是_____.（2）__.变式40．（2022·全国·高二专题练习）函数的图象关于原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，则的对称中心为（

）A． B． C． D．变式41．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）我们知道，函数的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现在已知，函数的图像关于点对称，则（

）A．B．C．对任意，有D．存在非零实数，使变式42．（2022·全国·高一单元测试）已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，则横坐标之和__________.变式43．（2022·山东·高三开学考试）已知函数是奇函数，若函数与图象的交点分别，，，，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为___________．变式44．（2022·江苏扬州·高三阶段练习）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.则函数图象的对称中心为___________.变式45．（2022·河北·石家庄一中高一期中）一般地，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．某同学发现此结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．依据以上推广，则函数图象的对称中心的坐标为______．【同步练习】一、单选题1．（2022·山东·青岛二中高一期中）已知，其中a，b为常数，若，则（

）A．4042 B．2024 C．－4042 D．－20242．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知，用表示不超过x的最大整数，记，若，则与的大小关系是（

）．A．不确定（与a的值有关） B．C． D．3．（2022·山东·青岛二中高一期中）已知，设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（

）A．4与3 B．3与2 C．4与2 D．7与44．（2022·黑龙江·海林市朝鲜族中学高三阶段练习（文））设为定义上奇函数，当时，（b为常数），则（

）A．3 B． C．－1 D．－35．（2022·江西省丰城中学高一期中）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2022·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）已知是奇函数，在区间上是增函数，又，那么的解集是（

）A．或 B．或C．或 D．或7．（2022·山东省青岛第十七中学高一期中）设奇函数在递减，且的解为（

）A． B．C． D．8．（2022·河南南阳·高一期中）已知函数为偶函数，则（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2022·河北唐山·高一期中）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，则（

）A． B．是奇函数C．的值域 D．10．（2022·河北唐山·高一期中）奇函数在区间[1，3]上是增函数且最小值为2，最大值为5，则在区间[-3，-1]上是（

）A．增函数且最小值为-5 B．减函数且最小值为-5C．增函数且最大值为-2 D．减函数且最大值为-211．（2022·浙江·高一阶段练习）【多选题】设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的有（

）A．是偶函数 B．是偶函数C．是奇函数 D．是偶函数