人教版九年级上册数学全册课件PPT

21.1一元二次方程第二十一章一元二次方程1.将实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识.2.理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程.3.知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式中一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.问题一：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？

问题二：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？

1.观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？

共同特点：（1）等号两边都是整式；（2）整式的最高次数是2次.

2．归纳：（1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程；（2）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

【例1】将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出各项系数.一般形式：二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.例题【解析】下列方程哪些是一元二次方程?为什么？(2)2x2－5xy＋6y＝0(5)x2＋2x－3＝1＋x2(1)7x2－6x＝0【解析】(1)、(4)．(3)2x2－－1＝0

－13x(4)＝0－y22跟踪训练下列方程的根是什么？方程的根：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.猜测：（1）下列哪些数是方程的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4从中你能体会根的作用吗？

（2）若x＝2是方程的一个根，你能求出a的值吗？

（提示：根的作用：可以使等号成立.）思考：【例2】关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-2【解析】选A.将x=3代入方程x2-kx-6=0得32-3k-6=0，解得k=1.例题1．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？（1）（2）.2．有人解这样一个方程解：x+5=1或x－1=7，所以x1=－4，x2=8，你的看法如何？跟踪训练【解析】根据平方根的定义得方程（1）的根为x=±6，方程（2）的根为x=±.【解析】上述解法是错误的，将

x1、x2

代入原方程等式两边不相等，因此它们并不是原方程的解.当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是什么?【解析】当a-1≠0，即a≠1时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程，这时方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是a-1,-b,c.2.（衡阳·中考）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A.B．C．50(1+2x)＝182 D．

【解析】选B.该农机厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，第二季度共生产零件万个.3.（兰州·中考）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元.下列所列方程中正确的是（）

A.168（1+a%）2=128

B.C．D．【解析】选B.第一次减价后为168（1-a﹪）元，第二次降价后为168（1-a﹪）（1-a﹪）元，即168（1-a﹪）元，因此所列方程为.4.（毕节·中考）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入3千万元，预计2010年投入5千万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）

A.B.C.D.【解析】选A.依题意可列方程.

通过本课时的学习，需要我们掌握：1.一元二次方程的特征：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2.2.一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0)，一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项都是根据一般形式确定的.21.2解一元二次方程（第1课时）九年级上册学习目标：

1．会用直接开平方法解一元二次方程，理解配方的

基本过程，会用配方法解一元二次方程；

2．在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中，

进一步加深对化归的数学思想的理解．学习重点：

理解配方法及用配方法解一元二次方程．课件说明问题1在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以

上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全

身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕

像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？解：设雕像的下部高为xm，据题意，列方程得整理得x

2+

2x

-

4

=

0．ACB1．创设情境，导入新知x

2

=

2

2

-

x

，（）你会解哪些方程，如何解的？二元、三元一次方程组一元一次方程一元二次方程消元降次思考：如何解一元二次方程．1．创设情境，导入新知问题2解方程x

2=

25，依据是什么？解得x

1=

5，x

2=

-

5．平方根的意义请解下列方程：

x

2=

3，2x

2-

8=0，x

2=

0，x

2=

-

2…

这些方程有什么共同的特征？结构特征：方程可化成x

2=

p

的形式，平方根的意义降次（当p≥0时）问题3解方程：（x

+

3）=

5．22．推导求根公式问题4怎样解方程x

2+

6x

+

4

=

0

①？x

2+

6x

+

9

=

5

②（x

+

3）=

522．推导求根公式试一试：与方程x2

+6x

+9

=5

②比较，怎样解方程x2

+6x

+

4=0

①？怎样把方程①化成方程②的形式呢？

怎样保证变形的正确性呢？

即由此可得…解：左边写成平方形式移项x2

+6x

=-4

③两边加9

=-4+9

x2

+6x

+92．推导求根公式（x

+

3）=

52回顾解方程过程：两边加9，左边

配成完全平方式移项左边写成完全

平方形式降次解一次方程x2

+6x

+4

=0x2

+6x=-4x2

+6x

+9

=-4+9，或，2．推导求根公式（x

+

3）=

52想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加9？

加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．两边加9

一般地，当二次项系数为1时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式．x2

+6x=-4

③x2

+6x

+9

=-4+92．推导求根公式（x

+

3）=

529，即2

=

3

2

=

9

（

）议一议：结合方程①的解答过程，说出解一般二次

项系数为1

的一元二次方程的基本思路是什么？具体步

骤是什么？配成完全平方形式通过来解一元二次方程的方法，

叫做配方法．配方具体步骤：（1）移项；（2）在方程两边都加上一次项系数一半的平方．2．推导求根公式平方根的意义降次（当p≥0时）问题5通过解方程x

2+

6x

+

4=0，请归纳这类方程是怎样解的？3．归纳配方法解方程的步骤结构特征：方程可化成的形式，（x

+

n）=

p2（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些?3．归纳配方法解方程的步骤（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？

把方程配方为的形式，运用开平方法，

降次求解．（x

+

n）=

p2解一元二次方程的一般步骤：两边加9，左边

配成完全平方式移项左边写成完全

平方形式降次x2

+6x

+4

=0x2

+6x=-4x2

+6x

+9

=-4+9，或3．归纳配方法解方程的步骤（x

+

3）=

52解一次方程，4．归纳小结

（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些?（3）在配方法解一元二次方程的过程中应该注意

哪些问题?（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？

把方程配方为的形式，运用开平方法，

降次求解．（x

+

n）=

p2

1．教科书第6

页练习；第9页练习．

2．思考：利用本节课的知识，试解关于x

的方程

x

2

+

px

+

q

=

0．5．布置作业九年级上册21.2解一元二次方程（第2课时）通过配方法推导一元二次方程求根公式，公式法解一

元二次方程，一元二次方程根的判别式．课件说明学习目标：

1．会用公式法解一元二次方程，理解用根的判别式

判别根的情况；

2．经历探究一元二次方程求根公式的过程，初步了

解从具体到抽象、从特殊到一般的认识规律．学习难点：

推导求根公式的过程，理解根的判别式的作用．课件说明1．复习配方法，引入公式法问题1什么叫配方法？配方法的基本步骤是什么？

（1）将方程二次项系数化成

1；

（2）移项；

（3）配方；

（4）化为（x

+

n）=

p（n，p是常数，p≥0）的形

式；

（5）用直接开平方法求得方程的解．2问题2能否用公式法解决一元二次方程的求根问

题呢？1．复习配方法，引入公式法问题3

我们知道，任意一个一元二次方程都可以

转化为一般形式ax

2

+

bx

+

c

=

0（a≠0）你能用配方法得出它的解吗？2．推导求根公式

此时可以用开平方法求解吗？2．推导求根公式

一般地，一元二次方程

ax

2

+

bx

+

c

=

0（a≠0）的根

由方程的系数

a，b，c确定．将

a，b，c代入式子就得

到方程的根：利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．2．推导求根公式你能总结一下推导求根公式的基本步骤吗？推导过

程中要注意那些问题？当时，方程有两个不相等的实根；

当时，方程有两个相等的实根；

当时，方程没有实根.2．推导求根公式b

2

-

4ac＞0b

2

-

4ac

=

0b

2

-

4ac＜0

例1

用公式法解下列方程：

（1）x

2

-

4x

-

7

=

0；

（2）；

（3）5x

2

-

3x

=

x

+

1；

（4）x

2

+

17

=

8x．3．归纳公式法解方程的步骤问题4：你能总结用公式法解一元二次方程的步骤

吗？应用公式时要注意什么问题？3．归纳公式法解方程的步骤

回到本章引言中的问题，雕像下部高度

x（m）满

足方程

x

2+

2x

-

4

=

0．

用公式法解这个方程：4．练习巩固公式法（1）如果雕像的高度设计为

3m，那雕像的下部

应是多少？4m呢？（2）进而把问题一般化，这个高度比是多少？问题5：请大家思考并回答以下问题：（1）本节课学了哪些内容？（2）我们是用什么方法推导求根公式的？（3）你认为判别式有哪些作用？（4）应用公式法解一元二次方程的步骤是什么？5．归纳小结

教科书习题

21.2

第

4，5题．6．布置作业九年级上册21.2解一元二次方程（第3课时）本课是在学习配方法、公式法的基础上，进一步学习

解一类特殊的一元二次方程的方法——因式分解法．课件说明学习目标：

1．会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次

方程；

2．在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降

次的数学思想．学习重点：

因式分解法解一元二次方程．课件说明1．探究因式分解法

问题1解一元二次方程的基本思路是什么？我们

已经学过哪些解一元二次方程的方法？

配方法，求根公式法．

问题2

根据物理学规律，如果把一个物体从地面

以

10m/s的速度竖直上抛，那么经过

xs物体离地面的

高度（单位：m）为10x

-

4.9x

2．

你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到

0.01

s）？1．探究因式分解法你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这

个方程？配方法公式法降次？1．探究因式分解法10x

-

4.9x

2

=

0x

1

=

0，x

2

=问题3观察方程10x

-

4.9x

2

=

0，它有什么特点？

你能根据它的特点找到更简便的方法吗？两个因式的积等于零至少有一个因式为零1．探究因式分解法

10x

-

4.9x

2=

0x

1

=

0，x

2

=

x

=

0或

10

-

4.9x

=

0x10

-

4.9x=

0（）

例

解下列方程：

（1）

（2）2．应用举例

归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：

（1）化方程为一般形式；

（2）将方程左边因式分解；

（3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方

程；

（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．xx

-

2

+

x

-

2

=

0（）3．练习巩固

教科书第

14

页

练习第1题．问题4请回答以下问题：（1）因式分解法的依据是什么？解题步骤是什么？（2）回顾配方法、公式法和因式分解法，你能说

出它们各自的特点吗？4．归纳小结

教科书习题

21.2

第

6，10

题．5．布置作业九年级上册21.2解一元二次方程（第4课时）本课是在学生已经学习了一元二次方程求根公式的基

础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再

探究，通过本课的学习，使学生进一步了解一元二次

方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间

的关系．课件说明学习目标：

1．了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单

应用．

2．在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感

受由特殊到一般的认识方法．学习重点：

一元二次方程根与系数的关系的探究及简单应用．课件说明问题1

一元二次方程的根与方程中的系数之间有

怎样的关系？

1．复习知识，回顾方法2．小组合作，类比探究问题2方程

（x1、x2

为已知数）

的两根是什么？将方程化为x

2+

px

+

q

=

0的形式，你能

看出x1，x2

与p，q之间的关系吗？（）（）x

-

x1

x

-

x2=

0归纳：2．小组合作，类比探究x1+x2=-px1x2=q问题3一元二次方程ax

2+

bx

+

c

=

0中，二次项系数a

未必

是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？2．小组合作，类比探究问题3

如何探究这两者之间的关系呢？

利用一元二次方程的一般形式和求根公式．

2．小组合作，类比探究归纳：一元二次方程的两个根x1，x2

和系数a，b，c有如

下关系：2．小组合作，类比探究例

根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2

的和与积：

（1）x

2-

6x

-

15

=

0（2）3x

2+

7x

-

9

=

0（3）5x

-

1

=

4x

23．运用性质，巩固练习x1+x2=6x1x2=-15x1+x2=x1x2=

-3x1+x2=x1x2=练习

不解方程，求下列方程两个根的和与积：（1）x

2-

3x

=

15（2）3x

2+

2

=

1-

4x

（3）5x

2-

1

=

4x

2+

x

（4）2x

2-

x

+

2

=

3x

+

1

x1+x2=3x1

x2=-15x1

+x2

=x1

x2

=x1

+x2

=1x1

x2

=-1x1+x2=2x1

x2

=3．运用性质，巩固练习（1）一元二次方程根与系数的关系是什么？

（2）我们是如何得到一元二次方程根与系数关系

的？4．小结知识，梳理方法教科书习题21.2

第7题．5．课后反思，布置作业21.3

实际问题与一元二次方程

（第1课时）九年级上册本节课以流感为问题背景，学习用一元二次方程解决

实际问题．课件说明学习目标：

1．能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二

次方程；

2．通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生

活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的

过程，提高数学应用意识．学习重点：

正确列出一元二次方程，解决有关的实际问题．课件说明1．分析“传播问题”的特征

列方程解应用题的一般步骤是什么？第一步：审题，明确已知和未知；第二步：找相等关系；第三步：设元，列方程，并解方程；第五步：作答．第四步：检验根的合理性；2．解决“传播问题”探究有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）每一轮的传染源和传染之后的患流感人数是

多少？（1）本题中的数量关系是什么？分析：……被传染人被传染人……被传染人被传染人…………xx开始传染源1被传染人被传染人x设每轮传染中平均一个人传染了x

个人，开始传染源被传染人被传染人……x第二轮的传染源有

人，有

人被传染．1xx+12．解决“传播问题”xx

+

1

（）传染源数、第一轮被传染数和第二轮被传染数的总和是121

个人．2．解决“传播问题”探究有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（3）如何理解经过两轮传染后共有121个人患了流感？分析：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．x1=______，x2=______答：平均一个人传染了10个人．10（不合题意，舍去）．-122．解决“传播问题”探究有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（4）如何利用已知数量关系列出方程，并解方程

得出结论？分析：1

+

x

+

x1

+

x=

121（）（5）如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多

少个人患流感？121+121×10=1331（人）（6）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？2．解决“传播问题”3．巩固训练某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又

长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是

91，每个支干长出多少个小分支？主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xx解：设每个支干长

出x

个小分支，则

1

+

x

+

x·x

=

91

x1=9，

x2=-10（不合题意，舍去）．答：每个支干长出9个小分支．x你能说说本节课所研究的“传播问题”的基本特征

吗？解决此类问题的关键步骤是什么？

“传播问题”的基本特征是：以相同速度逐轮传播．

解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传

染源个数，以及这一轮被传染的总数．4．归纳小结

教科书复习题

21

第

7题．5．布置作业21.3实际问题与一元二次方程第2课时1.了解几种特殊图形的面积公式.2.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题.1.列方程解应用题有哪些步骤?

对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题.

上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题”.2.直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？

3.正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？

4.梯形的面积公式是什么？

5.菱形的面积公式是什么？

6.平行四边形的面积公式是什么？

7.圆的面积公式是什么？

【例1】

要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?2721【解析】这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7.例题

解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm

依题意得解得

左右边衬的宽度为:故上下边衬的宽度为:解方程得(以下请自己完成)方程的哪个根合乎实际意义?为什么?解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm,依题意得【例2】学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.

（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.例题【解析】(1)方案1：长为米，宽为7米;方案2：长为16米，宽为4米;方案3：长=宽=8米;注：本题方案有无数种（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米.由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的长为x米，则宽为（16-x）米.x(16-x)=63+2，x2-16x+65=0，∴此方程无解.∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米1．用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.【解析】设这个矩形的长为xcm,则宽为cm,即x2-10x+30=0这里a=1,b=－10,c=30,∴此方程无解.∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.跟踪训练2.某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.(1)(2)(1)【解析】（1)如图，设道路的宽为x米，则化简得，其中的x=25超出了原矩形的宽，应舍去.∴图(1)中道路的宽为1米.则横向的路面面积为

（2）解析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2.解法一、如图，设道路的宽为x米，32x米2,纵向的路面面积为

20x米2.注意：这两个面积的重叠部分是x2,所列的方程是不是？图中的道路面积不是米2.(2)而是从其中减去重叠部分，即应是m2所以正确的方程是：化简得，其中的x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为：草坪面积=32×20-100=540（米2）答：所求道路的宽为2米.解法二：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）(2)横向路面:如图，设路宽为x米，32x米2纵向路面面积为:20x米2草坪矩形的长（横向）为:草坪矩形的宽（纵向:）为：相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2(20-x)米（32-x)米即化简得：再往下的计算、格式书写与解法1相同.1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?【解析】设道路宽为x米，化简得，其中的x=35超出了原矩形的宽，应舍去.答:道路的宽为1米.则2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.ABCD化简得，其中x=-20.5应舍去.答:小路的宽为3米.【解析】设小路宽为x米，则3.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，（1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？【解析】(1)设宽AB为x米，则BC为(24-3x)米，这时面积S=x(24-3x)=-3x2+24x(2)由条件-3x2+24x=45化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3∵0＜24-3x≤10得≤x＜8∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米4.（绍兴·中考）某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？【解析】（1）24间；（2）10.5或15万元.1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答.2.这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求.

通过本课时的学习，需要我们掌握：21.3

实际问题与一元二次方程

（第3课时）九年级上册列一元二次方程解决有关“面积问题”的实际问题．课件说明学习目标：

1．能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二

次方程；

2．进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应

用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提

高数学应用意识．学习重点：

利用面积之间的关系建立一元二次方程模型，解决实

际问题．课件说明1．创设情境，导入新知

问题1

要设计一本书的封面，封面长

27cm，宽

21cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？2721

还有其他方法列出方程吗？方法一1．创设情境，导入新知2721解：可设四周边衬的宽度为

xcm，则中央矩形的面

积可以表示为

（）（）27

-

2x

21

-

2x（）（）27

-

2x

21

-

2x方法二1．创设情境，导入新知

利用未知数表示边长，通过面

积之间的等量关系建立方程解决问题．2721解：可设四周边衬的宽度为

xcm，则中央矩形的面

积可以表示为

（）（）27

-

2x

21

-

2x（）（）27

-

2x

21

-

2x2．动脑思考，解决问题

问题2要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21

cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？分析：封面的长宽之比是

9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7．27219a7a设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是（）（）27

-

9a

∶21

-

7a=9∶7.整理得：16y

2-

48y

+

9

=

0．解法一：设上、下边衬的宽均为9y

cm，左、右边

衬宽均为7ycm，依题意得方程的哪个根合乎实际意义？为什么？2．动脑思考，解决问题解方程得≈1.8cm，≈1.4cm．（）（）27

-

18y

21

-

14y解法二：设正中央的矩形两边分别为9xcm，7x

cm，

依题意得故上、下边衬的宽度为：2．动脑思考，解决问题解得：，（不合题意，舍去）．左、右边衬的宽度为：≈1.8cm，（）≈1.4cm．（）3．动脑思考，巩固训练

教科书习题21.3第9题．问题3回顾前面几节课的学习内容，你能总结一

下建立一元二次方程模型解决实际问题的基本步骤吗？

需要注意哪些问题？4．归纳小结

教科书复习题

21

第

8

题．5．布置作业22.1

二次函数的图象和性质

（第1课时）九年级上册本课是在学生已经学习了一次函数的基础上，继续进

行函数的学习，学习二次函数的定义，这是对函数知

识的完善与提高．课件说明学习目标：

通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．

学习重点：

理解二次函数的定义．

课件说明观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它

们的形状是怎样画出来的？1．由实际生活引入二次函数

正方体的棱长为

x

，那么正方体的表面积

y

与

x

之

间有什么关系？

2．通过实例，归纳二次函数的定义

n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比

赛的场次数

m与球队数

n有什么关系？2．通过实例，归纳二次函数的定义

某种产品现在的年产量是

20t，计划今后两年增加

产量．如果每一年都比上一年的产量增加

x

倍，那么两

年后这种产品的产量

y

将随计划所定的

x

的值而确定，

y与

x

之间的关系应该怎样表示？

2．通过实例，归纳二次函数的定义

这三个函数关系式有什么共同点？

2．通过实例，归纳二次函数的定义二次函数的定义：一般地，形如

（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中，x

是自变量，a，

b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项

系数和常数项．2．通过实例，归纳二次函数的定义例某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为

xm，宽为

ym，面积为

Sm

2（x＞y）．

（1）如果用

18m的建筑材料来修建绿地的边缘

（即周长），求

S

与

x

的函数关系，并求出

x

的取值范

围．

（2）根据小区的规划要求，

所修建的绿地面积必

须是

18m

2，在满足（1）的条件下，矩形的长和宽各为多少

m？3．练习、巩固二次函数的定义3．练习、巩固二次函数的定义解：（1）由题意，得．

∵

x＞y＞0，

∴

x的取值范围是＜x＜9，

∴

S矩形=xy=x9

-

x=

-x2+9x．（

）

（2）当矩形面积S矩形=18时，即

-

x

2+9x=18，

解得

x1

=3，x2

=6．

当x=3时，y=9-3=6，但y＞x，不合题意，舍

去．

当x=6时，y=9-6=3．

所以当绿地面积为18m

2

时，矩形的长为6m，宽

为3m．3．练习、巩固二次函数的定义

练习1

函数

（m为常数）．

（1）当

m______时，这个函数为二次函数；

（2）当

m______时，这个函数为一次函数．≠2=23．练习、巩固二次函数的定义（）m

-

2x

2

+

mx

-

3y

=练习2

填空：

（1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积

S与底面半径

r之间的关系式是_________；

（2）

n支球队参加比赛，每两队之间进行两场比

赛，则比赛场次数

m与球队数

n之间的关系式是

________________．S=4πr

23．练习、巩固二次函数的定义m=nn

-

1（

）（1）一个函数是否为二次函数的关键是什么？（2）实际问题中列二次函数解析式需要考虑什么？

4．小结教科书习题22.1

第1，2

题．5．布置作业九年级上册22.1

二次函数的图象和性质

（第2课时）本节课由最特殊最简单的二次函数出发，通过类比一次函数的图象和性质的研究内容和研究方法，从特殊到一般地对二次函数的图象和性质进行探究，继续加深对函数的一般性认识．课件说明学习目标：

1．会用描点法画出形如

y=ax

2

的二次函数图象，了

解抛物线的有关概念；

2．通过观察图象，能说出二次函数

y=ax

2

的图象特

征和性质；

3．在类比探究二次函数

y=ax

2

的图象和性质的过程

中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法

和数形结合的思想．学习重点：

观察图象，得出二次函数

y=ax

2

的图象特征和性质．课件说明问题1你认为我们应该如何研究函数的图象和性质？1．复习研究函数的一般方法2．类比探究二次函数y=ax

2

的图象和性质问题2类比一次函数的研究内容和研究方法，画出二次函

数y=x

2

的图象，你能说说它的图象特征和性质吗？问题3在同一直角坐标系中，画出函数

，的图象，这两个函数的图象与函数y=x

2

的图象相比，有什么共同点？有什么不同点？当

a＞0

时，二次函数

y

=ax

2

的图象有什么特点？2．类比探究二次函数y=ax

2

的图象和性质问题4

类比a＞0时的研究过程，画图研究当a＜0时，二

次函数

y=ax

2的图象特征．2．类比探究二次函数y=ax

2

的图象和性质问题5你能说出二次函数y=ax

2

的图象特征和性质吗？2．类比探究二次函数y=ax

2

的图象和性质归纳：一般地，抛物线y=ax

2

的对称轴是y轴，顶点是

原点．当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最

低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最

高点．对于抛物线y=ax

2，｜a｜越大，抛物线的开口越

小．2．类比探究二次函数y=ax

2

的图象和性质归纳：如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当

x＞0时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当

x＞0时，y随x的增大而减小．2．类比探究二次函数y=ax

2

的图象和性质说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：（1）

；（2）；（3）

；（4）

．3．巩固练习开口向上、y轴、原点．开口向下、y轴、原点．开口向上、y轴、原点．开口向下、y轴、原点．抛物线，其对称轴左侧，y随x的增大而

；在对称轴的右侧，y随x的增大而

．增大减小3．巩固练习（1）本节课学了哪些主要内容？（2）本节课是如何研究二次函数

y=ax

2

的图象和

性质的？4．小结教科书习题22.1

第3，4题．5．布置作业九年级上册22.1

二次函数的图象和性质

（第3课时）本课是在学生已经学习了二次函数y=ax

2

的基础上，

继续进行二次函数的学习，这是对二次函数图象和性

质研究的延续．课件说明课件说明学习目标：

1．会用描点法画出二次函数y=ax

2+k

的图象；

2．通过图象了解二次函数的图象特征和性质．学习重点：观察图象，得出图象特征和性质．问题1（1）二次函数

y=ax

2

的图象是什么？

（2）它具有怎样的图象特征和性质？

（3）你是怎么研究的？1．复习y=ax

2

的图象和性质2．类比探究二次函数

y=ax

2+k的图象和性质问题2类比y=ax

2

的研究内容和研究方法，画出二次函数

y=2x

2+1，

y=2x

2-1

的图象，并探究它们的图象特征

和性质．通过对二次函数y=2x

2+1，

y=2x

2-1的探究，你

能说出二次函数y=ax

2+k（a＞0）的图象特征和性质

吗？2．类比探究二次函数

y=ax

2+k的图象和性质归纳：一般地，当a＞0时，抛物线y=ax

2+

k的对称轴是

y轴，顶点是（0，k），开口向上，顶点是抛物线的最

低点，a越大，抛物线的开口越小．当x＜0

时，

y

随x

的增大而减小，当x＞0

时，y

随x

的增大而增大．2．类比探究二次函数

y=ax

2+k的图象和性质

你能说出二次函数y=ax

2+k（a＜0）的图象特征

和性质吗？2．类比探究二次函数

y=ax

2+k的图象和性质归纳：一般地，当a＜0时，抛物线y=ax

2+

k的对称轴是

y轴，顶点是（0，k），开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小．当x＜0

时，y

随x

的增大而增大，当x＞0

时，y

随x

的增大而减小．2．类比探究二次函数

y=ax

2+k的图象和性质

抛物线y=2x

2+1，y=2x

2-1与抛物线y=2x

2

有什

么关系？抛物线y=ax

2+k与抛物线y=ax

2

有什么关系？2．类比探究二次函数

y=ax

2+k的图象和性质归纳:

当k＞0时，把抛物线

y=ax

2

向上平移

k个单位，就

得到抛物线

y=ax

2+k；

当

k＜0时，把抛物线

y=ax

2

向下平移｜k｜个单位，

就得到抛物线

y=ax

2+k．2．类比探究二次函数

y=ax

2+k的图象和性质在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：（1）；（2）

；（3）

．观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口

方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么联系？3．运用性质，巩固练习

开口方向：向上；对称轴：y轴；

顶点：（0，k）．

当k＞0

时，把抛物线向上平移

k个单位，就得到抛物线

；

当k＜0时，把抛物线向下平移｜k｜个单位，就得到抛物线．3．运用性质，巩固练习

（1）本节课学了哪些主要内容？

（2）抛物线y=ax

2+k与抛物线y=ax

2

的区别与联

系是什么？4．小结教科书习题22.1第5

题（1）.5．布置作业九年级上册22.1

二次函数的图象和性质

（第4课时）九年级上册22.1

二次函数的图象和性质

（第5课时）本节课是在讨论了二次函数

的图象和

性质的基础上对二次函数

y

=

ax

2+bx+c的图象和性质

进行研究．主要的研究方法是通过配方将

y=ax

2+bx+c

向

转化，体会知识之间内在联系．在

具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究

a＞0

和

a＜0的情况，再从特殊到一般，得出

y=ax

2+bx+c

的图象和性质．课件说明（x

-

h）

+

k2y

=

a（x

-

h）

+

k2y

=

a学习目标：

1．理解二次函数

y

=

ax

2

+

bx

+

c与

之间

的联系，体会转化思想；

2．通过图象了解二次函数y

=

ax

2

+

bx

+

c的性质，体

会数形结合的思想．学习重点：

会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为

y=

的形式，并能由此得到二次函数

y=ax

2

+

bx

+

c的图象和性质．课件说明（x

-

h）

+

k2y

=

a（x

-

h）

+

k2

a问题1

如何研究二次函数

的图象和性质？1．探究二次函数

的图象和性质

如何将

转化成

的形

式？1．探究二次函数

的图象和性质（x

-

h）

+

k2y

=

a（x

-

6）

+

32=

=（x2

-

12x

+

42）=（x2

-

12x

+

36

-

36

+

42）

·你能画出的图象吗？1．探究二次函数

的图象和性质

·如何直接画出的图象？

·观察图象，二次函数

的性质是什么？

你能用前面的方法讨论二次函数

y=-2x

2-4x+1

的

图象和性质吗？2．探究二次函数

y=-2x

2-4x+1的图象和性质

你能说说二次函数y

=

ax

2

+

bx

+

c的图象和性质吗？3．探究二次函数

y=ax

2+bx+c的图象和性质

对于一般的二次函数

y=ax

2+bx+c，如果

a＞0，

当x＜

时，

y随

x

的增大而减小，当

x＞时，

y随

x

的增大而增大；如果

a＜0，当

x＜时，y随

x的增大而增大，当

x＞时，y随

x

的增大而减小．3．探究二次函数

y=ax

2+bx+c的图象和性质（1）求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点

坐标．

①y=2x

2-4x+5②y=-x

2+2x-34．巩固练习开口向上、x=1、（1，3）．开口向下、x=1、（1，-2）．（2）二次函数

y

=

-2x

2+4x

-1，

当

x

时，

y

随

x

的增大而增大，

当

x

时，

y

随

x

的增大而减小．＜1＞14．巩固练习

（1）本节课研究的主要内容是什么？

（2）我们是怎么研究的（过程和方法是什么）？

（3）在研究过程中你遇到的问题是什么？怎么解

决的？5．小结

教科书习题

22.1

第

6题，第7

题（2）．6．布置作业九年级上册22.2二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程的联系再次展示了函数与方

程的联系，一方面可以深化对一元二次方程的认识，

另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有

关问题．课件说明学习目标：

了解二次函数与一元二次方程的联系.学习重点：

二次函数与一元二次方程的联系．课件说明问题1

以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向

击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑

空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间

t（单位：s）之间具有函数关系h=20t-

5t

2．

（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需

要多少飞行时间？

（2）小球的飞行高度能否达到20m？如能，需要

多少飞行时间？

（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？

（4）小球从飞出到落地要用多少时间？1．复习知识，回顾方法2．小组合作，类比探究问题2

下列二次函数的图象与

x轴有公共点吗？如果有，

公共点的横坐标是多少？

y=x

2

-

x+1y=x

2

+

x-2y=x

2

-6x+9y

654321-1-2-3-2-1

1

2

3

4

5

6xO2．小组合作，类比探究问题3

当

x取公共点的横坐标时，函数值是多少？

y=x

2

-

x+1y=x

2

+

x-2y=x

2

-6x+9y

654321-1-2-3-2-1

1

2

3

4

5

6xO2．小组合作，类比探究问题4

由二次函数的图象，你能得出相应的一元二次方程的根吗？二次函数与一元二次方程具有怎样的联系？

x

2

+

x-2=0x

2

-6x+9=0x

2

-

x+1=0y=x

2

-

x+1y=x

2

+

x-2y=x

2

-6x+9y

654321-1-2-3-2-1

1

2

3

4

5

6xO归纳一般地，从二次函数

y=ax

2

+bx+c的图象可知：

（1）如果抛物线

y=ax

2

+bx+c与

x

轴有公共点，

公共点的横坐标是

x0，那么当

x=x0

时，函数值是

0，

因此

x=x0是方程

ax

2

+bx+c=0的一个根．

（2）二次函数

y=ax

2

+bx+c的图象与

x

轴的位置

关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共

点．

这对应着一元二次方程

ax

2

+bx+c=0的根的三种

情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等

的实数根．2．小组合作，类比探究3．运用性质，巩固练习

例

利用函数图象求方程x

2

-2x

-2=0的实数根

（结果保留小数点后一位）．（1）本节课学了哪些主要内容？

（2）二次函数与一元二次方程有什么区别与联系？4．小结知识，梳理方法教科书习题22.2第1，3，5题．5．课后反思，布置作业九年级上册22.3实际问题与二次函数

（第1课时）本节课是在学生学习完二次函数的图象和性质的知识

的基础上的进一步拓展与应用．课件说明学习目标：

能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系，会运

用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最

小值）．学习重点：

探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问

题的方法．课件说明从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：

m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是

h=30t-

5t

2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小

球最高？小球运动中的最大高度是多少？1．创设情境，引出问题

小球运动的时间是

3s

时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m．2．结合问题，拓展一般由于抛物线y=ax

2

+

bx+c的顶点是最低（高）点，

当时，二次函数

y=ax

2

+

bx+c有最小（大）值如何求出二次函数y=ax

2

+

bx+c的最小（大）值？3．类比引入，探究问题整理后得用总长为60m

的篱笆围成矩形场地，矩形面积S

随矩形一边长l

的变化而变化．当l

是多少米时，场地

的面积S

最大？解：，∴当

时，S有最大值为．当l

是15m

时，场地的面积S

最大．（0＜l＜30）．（）（）4．归纳探究，总结方法

2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际

意义，确定自变量的取值范围.

3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大

值或最小值.

1．由于抛物线y=ax

2

+

bx+c的顶点是最低（高）点，当时，二次函数

y=ax

2

+

bx+c有最小（大）值5．运用新知，拓展训练为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙

（墙长

25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿

化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如

下图）．设绿化带的BC

边长为xm，绿化带的面积为y

m

2．（1）求y

与x

之间的函数关系

式，并写出自变量x

的取值范围.（2）当x

为何值时，满足条件

的绿化带的面积最大？DCBA25m（1）如何求二次函数的最小（大）值，并利用其

解决实际问题？

（2）在解决问题的过程中应注意哪些问题？你学到了哪些思考问题的方法？6．课堂小结教科书习题22.3

第1，4，5

题．7．布置作业22.3实际问题与二次函数 第2课时1.会建立直角坐标系解决实际问题；2.会解决与桥洞水面宽度有关的类似问题.（1）磁盘最内磁道的半径为rmm，其上每0.015mm的弧长为一个存储单元，这条磁道有多少个存储单元？（2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm，磁盘的外圆周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？（3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同，最内磁道的