2024届新高考一轮复习湘教版 高考大题研究课六 向量法求空间角与距离 课件（54张）

高考大题研究课六向量法求空间角与距离

例1[2023·河北沧州模拟]如图，在三棱锥P-ABC中，AB是△ABC外接圆的直径，△PAC是边长为2的等边三角形，E，F分别是PC，PB的中点，PB＝AB，BC＝4.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求直线AB与平面AEF所成角的正弦值．

题后师说利用空间向量求线面角的解题步骤巩固训练1[2023·江西赣州模拟]如图，四棱锥P-ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝2AB＝2BC＝2，PA⊥平面ABCD.点M是PC的中点，且平面AMD⊥平面PCD.(1)证明：AM⊥平面PCD；(2)求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．

题后师说用法向量求二面角的关键是正确写出点的坐标和法向量，再利用两个平面的夹角公式求解．

例3[2023·辽宁沈阳模拟]如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，CF⊥BC，CF＝BC＝2，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别是PD，AB中点．(1)求证：EF∥平面PBC；(2)若CE与平面PCF所成角θ为30°，求点B到平面CEF的距离d.

题后师说利用向量法求点到平面的距离的步骤

解析：(1)证明：因为l∥AB，l⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，所以AB∥平面PCD.因为AB⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.因为∠BOC＝45°，所以∠BOC＝∠OCD＝∠ODC＝45°，所以∠DOC＝90°，即OC⊥OD.

真题展台1.[2022·新高考Ⅰ卷](多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则(

)A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°答案：ABD

如图(3)，连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO，A1B.易证A1C1⊥平面BDD1B1，所以∠C1BO为直线C1B与平面BDD1B1所成的角，∠C1BO＝30°，所以C错误．如图(4)，因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，且∠C1BC＝45°，所以D正确．故选ABD.

3．[2022·新高考Ⅱ卷]如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．(1)证明：OE∥平面PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值．解析：(1)证明：方法一连接OA.因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以∠POA＝∠POB＝90°.又PA＝PB，PO＝PO，所以△POA≌△POB，所以OA＝OB.取AB的中点D，连接OD，DE，则有OD⊥AB.又AB⊥AC，所以OD∥AC.因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以OD∥平面PAC.因为D，E分别为AB，PB的中点，所以DE∥PA.因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC.因为OD，DE⊂平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC.又OE⊂平面ODE，所以OE∥平面PAC.方法二连接OA.因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以∠POA＝∠POB＝90°.又PA＝PB，PO＝PO，所以△POA≌△POB，所以OA＝OB.延长BO交AC于点H，连接PH.因为AB⊥AC，所以△ABH为直角三角形．又OA＝OB，则可得OA＝OB＝OH，所以点O为BH的中点．在△PBH中，O，E分别为BH，PB的中点，所以OE∥PH.因为OE⊄平面PAC，PH⊂平面PAC，所以OE∥平面PAC.

4.[2022·北京卷]如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥MN；条件②：BM＝MN.注：如果选择条件①和条件②分别解答，那么按第一个解答计分．

选择条件②.由(1)知四边形DNMB1是平行四边形，所以DB1＝MN.又BM＝MN，所以DB1＝BM.由(1)知AB＝A1B1，又AB＝BC，M，D分别是A1B1，BC的中点，所以BD＝B1