3.1-从算式到方程讲义-教师版

第三章一元一次方程3.1从算式到方程学习要求了解从算式到方程是数学的进步．理解方程、方程的解和解方程的概念，会判断一个数是否为方程的解．理解一元一次方程的概念，能根据问题，设未知数并列出方程．初步掌握等式的性质1、性质2．掌握等式的性质，能列简单的方程和求简单方程的解．知识点一：方程例题．下列各式3x﹣2，2m+n=1，a+b=b+a（a，b为已知数），y=0，x2﹣3x+2=0中，方程有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】含有未知数的等式叫做方程．根据方程的定义可以解答．【解答】解：2m+n=1，y=0，x2﹣3x+2=0，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程．3x﹣2不是等式，因而不是方程．a+b=b+a（a，b为已知数）不含未知数所以都不是方程．故有3个式子是方程．故选：C【点评】解题关键是依据方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．变式1．在以下的式子中：+8=3；12﹣x；x﹣y=3；x+1=2x+1；3x2=10；2+5=7；其中是方程的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：12﹣x不是方程，因为不是等式；2+5=7不是方程，因为不含有未知数；+8=3、x﹣y=3、x+1=2x+1、3x2=10都是方程，字母是未知数，式子又是等式；故选：B．【点评】本题考查的是方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解答此题的关键．变式2．下列各式：①5+2=7；②x=1；③2a＜3b；④4x+y；⑤x+y+z=0；⑥x+=1；⑦+1=3x，其中方程式的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案．【解答】解：①5+2=7中没有未知数，不是方程；②x=1、⑤x+y+z=0、⑥x+=1、⑦+1=3x符合方程的定义；③2a＜3b、④4x+y都不是等式，不是方程．故选：C．【点评】本题考查了方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．知识点二：一元一次方程例题．下列方程：①x=3；②x+2y=1；③+2=0；④﹣1=x；⑤x2﹣4=3x．其中是一元一次方程的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据一元一次方程的定义求解即可．【解答】解：①x=3；④﹣1=x是一元一次方程，故选：A．【点评】本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1．变式1．已知下列方程：①；②0.3x=1；③；④x2﹣4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0．其中一元一次方程的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．【解答】解：①是分式方程，故①错误；②0.3x=1，即0.3x﹣1=0，符合一元一次方程的定义．故②正确；③，即9x+2=0，符合一元一次方程的定义．故③正确；④x2﹣4x=3的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程．故④错误；⑤x=6，即x﹣6=0，符合一元一次方程的定义．故⑤正确；⑥x+2y=0中含有2个未知数，属于二元一次方程．故⑥错误．综上所述，一元一次方程的个数是3个．故选：B．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．变式2．在下列方程中①x2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据一元一次方程的定义，即可解答．【解答】解：①x2+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2个，故选：B．【点评】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．知识点三：解方程和方程的解例题1．下列方程的解是x=2的方程是（）A．4x+8=0 B．﹣x+=0 C．x=2 D．1﹣3x=5【分析】把x=2代入各方程验证判定即可．【解答】解：把x=2代入各方程验证可得出x=2是方程﹣x+=0的解．故选：B．【点评】本题主要考查了方程的解，解题的关键是把x=2代入各方程验证．例题2．关于x的方程3（x+1）﹣6a=0的一个根是﹣2，则a的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．【分析】使方程左右两边相等的未知数的值是该方程的解．把x=﹣2代入原方程就得到一个关于a的方程，解这个方程即可求出a的值．【解答】解：把x=﹣2代入原方程得到：3（﹣2+1）﹣6a=0解得：a=﹣．故选C．【点评】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母a的方程进行求解．变式．判断括号内未知数的值是不是方程的根：（1）x2﹣3x﹣4=0（x1=﹣1，x2=1）；（2）（2a+1）2=a2+1（a1=﹣2，a2=﹣）．【分析】利用方程解的定义找到相等关系．即将未知数分别代入方程式看是否成立．【解答】解：（1）当x1=﹣1时，左边=1+3﹣4=0=右边，则它是该方程的根；当x2=1时，左边=1﹣3﹣4=﹣6≠右边，则它不是该方程的根；（2）当a1=﹣2时，左边=（﹣4+1）2=9，右边=4+1=5，左边≠右边，则它不是该方程的根；当a2=﹣时，左边=（﹣×2+1）2=，右边=（﹣）2+1=，左边=右边，则它是该方程的根．【点评】本题主要考查了方程的解的定义．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．知识点四：等式的性质例题．已知a=b，则下列等式不成立的是（）A．a+1=b+1 B．+4=+4 C．﹣4a﹣1=﹣1﹣4b D．1﹣2a=2b﹣1【分析】利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案．【解答】解：A、根据等式性质1，a+1=b+1两边同减去1，得a=b；B、根据等式性质1，+4=+4两边同减去4，再根据等式性质2，两边乘以5得，a=b；C、根据等式性质1，两边同时加1，再根据等式性质2，两边都除以﹣4，得a=b；D、根据等式性质2，两边都乘以﹣2，再根据等式性质1，两边都加1，应得1﹣2a=﹣2b+1；故选D．【点评】本题考查的是等式的性质：等式性质1，等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；等式性质2，等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等；变式1．根据等式性质，下列结论正确的是（）A．如果2a=b﹣2，那么a=b B．如果a﹣2=2﹣b，那么a=﹣bC．如果﹣2a=2b，那么a=﹣b D．如果2a=b，那么a=b【分析】根据等式的性质，可得答案．【解答】解：A、左边除以2，右边加2，故A错误；B、左边加2，右边加﹣2，故B错误；C、两边都除以﹣2，故C正确；D、左边除以2，右边乘以2，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质是解题关键．变式2．已知ax=ay，下列等式变形不一定成立的是（）A．b+ax=b+ay B．x=yC．x﹣ax=x﹣ay D．=【分析】根据等式的性质，可得答案．【解答】解：A、两边都加b，结果不变，故A不符合题意；B、a=0时两边都除以a，无意义，故B符合题意；C、两边都乘以﹣1，都加x，结果不变，故C不符合题意；D、两边都除以同一个不为零的整式结果不变，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．知识点五：运用等式性质解方程例题．利用等式的性质解方程：（1）5﹣x=﹣2（2）3x﹣6=﹣31﹣2x．【分析】（1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案；（2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案．【解答】解：（1）两边都减5，得﹣x=﹣7，两边都除以﹣1，得x=7；（2）两边都加（2x+6），得5x=﹣25，两边都除以5，得x=﹣5．【点评】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．变式1．用等式的性质解下列方程：（1）4x+7=3；（2）x﹣x=4．【分析】（1）根据等式的两边都加或都减同一个数，结果仍是等式，等式的两边都除以同除以一个不为零的数，可得答案；（2）根据等式的两边都乘以同一个不为零的数，结果仍是等式，可得答案．【解答】解：（1）方程两边都减7，得4x=﹣4．方程两边都除以4，得x=﹣1．（2）方程两边都乘以6，得3x﹣2x=24，x=24．【点评】本题考查了等式的性质，利用了等式的性质解方程．变式2．利用等式的性质解下列方程：（1）x﹣3=9；（2）5=2x﹣4；（3）﹣4+5x=2x﹣5；（4）﹣﹣2=10．【分析】（1）等式的两边同时加3即可得出结论；（2）先把等式的两边同时加4，再把两边同时除以2即可得出结论；（3）先把等式的两边同时加4﹣2x，再把两边同时除以3即可得出结论；（4）先把等式的两边同时加2，再把两边同时乘以﹣3即可得出结论．【解答】解：（1）等式的两边同时加3得，x=12；（2）等式的两边同时加4得，2x=9，两边同时除以2得，x=；（3）先把等式的两边同时加4﹣2x得，3x=﹣1，再把两边同时除以3得，x=﹣；（4）把等式的两边同时加2得，﹣=12，拓展点一：根据已知条件中的相等关系列方程例题．根据下列条件列出方程（1）x比它的大15（2）2xy与5的差的3倍等于24（3）y的与5的差等于y与1的差．【分析】（1）根据文字表述找出题中的等量关系：x﹣它的=15，根据此等式列方程即可；（2）根据文字表述找出题中的等量关系：2xy减去5的差的3倍=24，根据此等式列方程即可；（3）根据文字表述找出题中的等量关系：y的﹣5=y﹣1，根据此等式列方程即可．【解答】解：（1）根据题意可得：x﹣x=15；（2）根据题意可得：3（2xy﹣5）=24；（3）根据题意可得：y﹣5=y﹣1．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程的关键是正确找出题目的相等关系，找的方法是通过题目中的关键词如：大，小，倍等．变式1．一件衬衫先按成本加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的成本是多少钱？设衬衫的成本为x元．（1）填写下表：（用含有x的代数式表示）成本标价售价xx+600.8x+48（2）根据相等关系列出方程：（0.8x+48）﹣x=24．【分析】（1）设这件衬衫的成本是x元，根据题意：标价=成本价+60，售价=标价×0.8，由此即可解决问题．（2）设这件衬衫的成本是x元，根据：利润=销售价﹣成本，即可列出方程．【解答】解：（1）可得：标价为：x+60；售价为：0.8x+48，故答案为：x+60；0.8x+48；（2）根据题意可得：（0.8x+48）﹣x=24，故答案为：（0.8x+48）﹣x=24．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，搞清楚，成本价、标价、销售价，以及利润、成本、售价之间的关系是解本题的关键．变式2．在一次美化校园活动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的2倍．问支援拔草和植树的分别有多少人？（只列出方程即可）【分析】首先设支援拔草的有x人，则支援植树的有（20﹣x）人，根据题意可得等量关系：原来拔草人数+支援拔草的人数=2×（原来植树的人数+支援植树的人数）．【解答】解：设支援拔草的有x人，由题意得：31+x=2[18+（20﹣x）]．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．拓展点二：根据一元一次方程的定义解题例题1．已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18=0是一元一次方程，试求：（1）m的值；（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．【分析】（1）根据题意得出|m+4|=1且m+3≠0，求出即可；（2）先算乘法，合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：（1）依题意有|m+4|=1且m+3≠0，解之得m=﹣5，故m=﹣5；（2）当m=﹣5时，2（3m+2）﹣3（4m﹣1）=﹣6m+7=﹣6×（﹣5）+7=37．【点评】本题考查了一元一次方程的定义和求代数式的值，能求出m的值是解此题的关键．变式．已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+8=0是关于x的一元一次方程，求a的值并求该方程的解．【分析】由一元一次方程的定义可知|a|﹣1=1且a﹣2≠0，从而可求得a的值，然后将a的值代入求解即可．【解答】解：∵方程（a﹣2）x|a|﹣1+8=0是关于x的一元一次方程，∴|a|﹣1=1且a﹣2≠0．∴a=﹣2．将a=﹣2代入得：﹣4x+8=0．解得：x=2．【点评】本题蛀牙考查的是一元一次方程的定义和一元一次方程的解法，根据一元一次方程的定义求得a的值是解题的关键．例题2．（|k|﹣1）x2+（k﹣1）x+3=0是关于x的一元一次方程，求k的值．【分析】根据题意首先得到：|k|﹣1=0，解此绝对值方程，求出k的两个值．分别代入所给方程中，使系数不为0的方程，解即可；如果系数为0，则不合题意，舍去．【解答】解：根据题意，得，解得，k=﹣1．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．变式．已知方程2kx2+2kx+3k=4x2+x+1是关于x的一元一次方程，求k值，并求出这个方程的根．【分析】先将方程整理，然后根据一元一次方程只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，列出关于k的方程，【解答】解：将方程整理得：（2k﹣4）x2+（2k﹣1）x+3k﹣1=0，∴2k﹣4=0，解得：k=2，当k=2时，原方程化为：3x+5=0，移项化系数为1得：x=．即这个方程的根为：﹣．【点评】本题考查了一元一次方程的概念和解法，属于基础题，注意掌握一元一次方程只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1．拓展点三：方程解的应用例题．x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解．【分析】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由为：由x=2为已知方程的解，把x=2代入已知方程求出a的值，再将a的值代入所求方程，检验即可．【解答】解：x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由为：∵x=2是方程ax﹣4=0的解，∴把x=2代入得：2a﹣4=0，解得：a=2，将a=2代入方程2ax﹣5=3x﹣4a，得4x﹣5=3x﹣8，将x=3代入该方程左边，则左边=7，代入右边，则右边=1，左边≠右边，则x=3不是方程4x﹣5=3x﹣8的解．【点评】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．变式．已知x=﹣1是关于x的方程8x3﹣4x2+kx+9=0的一个解，求3k2﹣15k﹣95的值．【分析】将x=1代入方程求出k的值，代入所求式子中计算即可求出值．【解答】解：将x=﹣1代入方程得：﹣8﹣4﹣k+9=0，解得：k=﹣3，当k=﹣3时，3k2﹣15k﹣95=27+45﹣95=﹣23．【点评】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．拓展点四：利用等式的性质将等式变形例题．将方程4x+3y=6变形成用y的代数式表示x，则x=．【分析】先根据等式的性质1：等式两边同加﹣3y，再根据等式性质2：等式两边同除以4，得出结论．【解答】解：4x+3y=6，4x=6﹣3y，x=，故答案为：．【点评】本题考查了等式的性质，表示x就是求未知数x的值，把等式变形为ax=b的形式，再利用等式性质2变形为x=；注意本题要把y当常数．变式1．由2x﹣16=3x+5得2x﹣3x=5+16，在此变形中，是在原方程的两边同时加上了16﹣3x．【分析】根据等式2x﹣16=3x+5到2x﹣3x=5+16的变形，即可得出结论．【解答】解：∵2x﹣16=3x+5，∴2x﹣16+（16﹣3x）=3x+5+（16﹣3x），即2x﹣3x=5+16．故答案为：16﹣3x．【点评】本题考查等式的性质，熟练掌握“等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式”是解题的关键．变式2．方程5x﹣2=4（x﹣1）变形为5x﹣2=4x﹣4的依据是去括号法则．【分析】根据去括号的法则解答即可．【解答】解：∵程5x﹣2=4（x﹣1）去括号后变为5x﹣2=4x﹣4，∴方程5x﹣2=4（x﹣1）变形为5x﹣2=4x﹣4的依据是去括号法则．【点评】本题考查的是去括号的法则：（1）括号前面有“+“号，把括号和它前面的“+“号去掉，括号里各项的符号不改变；（2）括号前面是“﹣“号，把括号和它前面的“﹣“号去掉，括号里各项的符号都要改变为相反的符号．拓展点五：利用等式的性质解简易方程例题．利用等式的性质解下列方程，并口算检验：（1）3x﹣5=6；（2）﹣7x=6x﹣26；（3）﹣x﹣2=1；（4）2﹣x=﹣3．【分析】（1）利用等式性质1，方程两边加上5，然后利用等式性质2，方程两边除以3即可得到方程的解；（2）利用等式性质1，方程两边加上﹣6x，然后利用等式性质2，方程两边除以﹣13可得到方程的解；（3）利用等式性质1，方程两边加上2，然后利用等式性质2，方程两边除以﹣即可得到方程的解；（4）利用等式性质1，方程两边加上﹣2，然后利用等式性质2，方程两边除以﹣即可得到方程的解．【解答】解：（1）3x=6+5，x=；（2）﹣7x﹣6x=﹣26，﹣13x=﹣26，x=2；（3）﹣x=3，x=﹣；（4）﹣x=﹣5，x=15．【点评】本题考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．变式．利用等式的性质解下列方程：（1）2x+3=11；（2）x﹣1=x+3；（3）x﹣1=6；（4）﹣3x﹣1=5﹣6x．【分析】（1）利用等式的性质1变形为：2x=8，然后利用等式的性质2得到x=4；（2）利用等式的性质1得到：，然后利用等式的性质2可得到x=16；（3）利用等式的性质1得到=7，然后利用等式的性质2可得到x=14；（4）利用等式的性质1得到3x=6，然后利用等式的性质2可得到x=2．【解答】解：（1）等式两边同时减3得：2x=8，等式两边同时除以2得x=4；（2）等式两边同时减再加1得：，等式两边同时乘以4得x=16；（3）等式两边同时加1得：=7，等式两边同时乘以2得x=14；（4）等式两边同时加上6x+1得：3x=6，等式两边同时除以3得x=2．【点评】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．易错点一：对一元一次方程概念理解错误例题．（1）3x=10（2）5x﹣y=35（3）x2﹣4=0（4）4z﹣3（z+2）=1（5）=3（6）x=3．其中是一元一次方程的个数是（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．【解答】解：（1）符合一元一次方程的定义；（2）含有两个未知数，不是一元一次方程；（3）未知项的最高次数为2，不是一元一次方程；（4）符合一元一次方程的定义；（5）不是整式方程，不是一元一次方程；（6）符合一元一次方程的定义．故选B．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．变式．已知下列方程，①3x﹣2=6；②x﹣1=y；③+1.5x=8；④3x2﹣4x=10；⑤x=0；⑥=3．其中一元一次方程的个数有（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．【解答】解：①3x﹣2=6，符合一元一次方程的定义，正确；②x﹣1=y，含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；③+1.5x=8，符合一元一次方程的定义，正确；④3x2﹣4x=10，是一元二次方程，错误；⑤x=0，符合一元一次方程的定义，正确；⑥=3，是分式方程，错误．故选A．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．易错点二：忽略一次项系数不能为0这个条件例题．已知（a﹣2）x|a|﹣1+4=0是关于x一元一次方程，求|x+2a|