30题（一次函数、反比例函数大题）2022中考数学考点必杀500题（江苏专用）（解析版）

2022中考考点必杀500题

专练12（一次函数、反比例函数大题）（30道）

1.（2021•江苏南通•一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与函数丫=工（抄0）

X

的图象交于点/（1,加），与不轴交于点8.

n

8-

7-

6-

5-

4-

3-

2-

1-

IIIIA

2345X

（1）求k的值；

（2）过动点P（«,0）（»>0）作平行于y轴的直线，交函数y=A（左>0）的图象于点C,

X

交直线y=x+3于点。；

①当〃=2时，求线段8的长；

②若CDWOB,结合函数的图象，直接写出“的取值范围.

【答案】（1）"?=4,4=4；（2）①。=3；②V13-3<n<2

【解析】

【分析】

（1）把点/代入一次函数解析式求解〃?，然后再代入反比例函数求解《即可；

（2）①根据（1）可得：反比例函数解析式为>=&,由题意可得如图，把〃=2分别代入

X

一次函数及反比例函数解析式得点O（2,5）,C（2,3）,然后问题可求解：

②设点当点。在点C上方时，如图①图所示，当点。在点C下方时，

4

则有当CO=O3时，则有：--3=3,进而问题可求解.

n

【详解】

k

解：（1）由直线y=x+3与函数>=一（Q0）的图象交于点A（1,加），与x轴交于点8,

x

可得：把点4代入一次函数解析式得机=4,

团点A（l,4）,

回把点A（L4）代入反比例函数解析式得：Jt=4；

（2）①根据（1）可得：反比例函数解析式为＞=&,山题意可得如图所示:

x

回当〃=2时，

回把n=2分别代入一次函数及反比例函数解析式得:

y=2+3=5,

y=i=2，

团点£＞（2,5）,C（2,3）,

0C£＞=3；

②设点,

当点。在点C上方时，如图所示，

=-2（不符合题意，舍去）;

n

回当1W/W2时，时;

当点。在点C下方时，如图所示:

^CD<OB,

4「「

团当CD=O8时，则有：一一〃一3=3,解得：勺=屈一3,%=—后一3（不符合题意，舍去）；

n

回当C"08时，”的取值范围为屈-34〃42.

【点睛】

本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题

的关键.

2.（2021•江苏常州•一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,8在反比例函数y」（x>0）

X

的图像上（点8的横坐标大于点/的横坐标），点N的坐标为（2,4）,过点/作轴于

点。，过点8作BC_Lx轴于点C,连接OA,A8.

x

（2）若点。是0C的中点，求四边形04BC的面积.

Q

【答案】（1）y=—；（2）10

x

【解析】

【分

（1）反比例函数待定系数法求解析式，将已知点4的坐标代入反比例函数丫="即可;

X

（2）四边形OABC的面积可以拆解为AAOD和四边形ABCD

【详解】

（1）把x=2,y=4代入y=V得4=&,

x2

.・.％=8.

Q

回反比例函数的表达式是y=9.

X

（2）应点。是0C的中点，

:.OC=2OD=4.

8

当x=4时y=7=2.

二BC=2.

S四边形OA8C=S.AOO+S四边形BAC。=5乂2*4+］乂（2+4）x2=10.

本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，第二问考查了求反比例函数图像上的点的

特点，解题的关键是求出点8的坐标.

3.（2021•江苏连云港•一模）如图，反比例函数y=K（x>0）的图象经过线段0A的端点A,

3

。为原点，作AB取轴于点B,点B的坐标为（2,0）,tan0AOB=y.

（1）求k的值;

(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y=：(x>0)的图象恰好

经过DC的中点E,求直线AE的函数表达式；

(3)若直线AE与x轴交于点M、与丫轴交于点N,请你探索线段AN与线段ME的大小关

系，写出你的结论并说明理由.

【答案】解：⑴k=6

、39

(2)y=——x+—

42

(3)AN=ME

【解析】

【分析】

(1)在直角E1A0B中利用三角函数求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值.

(2)己知E是DC的中点，则E的纵坐标已知，代入反比例函数的解析式即可求得E的坐

标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式.

(3)首先求得M、N的坐标，延长DA交y轴于点F,则AF回。N,利用勾股定理求得AN和

EM的长，即可证得.

【详解】

解：(1)由已知条件得，在Rti30AB中，0B=2,tan0AOB=1,El^=-.E1AB=3.

2OB2

回A点的坐标为(2,3).

0k=xy=6.

3

(2)回DC由AB平移得到，点E为DC的中点;，团点E的纵坐标为Q.

又团点E在双曲线y=勺匕回点E的坐标为(4,：).

x2

设直线AE的函数表达式为丫=1</+1),则

r3

2k1.+b=3k1,

4

人卜3,解得Q.

4K+b=5b=2

I2

3Q

团直线AE的函数表达式为y="x+-.

(3)结论：AN=ME.理由：

399

在表达式丫=-zX+耳中，令y=。可得x=6,令x=0可得y=—.

9

团点M(6,0),N(0,-).

2

解法一：延长DA交y轴于点F,则AFIBON,且AF=2,0F=3,

3

团根据勾股定理可得AN二:.

3

0CM=6-4=2,EC=-,

2

3

团根据勾股定理可得EM=5.

0AN=ME.

解法二：连接0E,延长DA交y轴于点F,则AF团ON,且AF=2,

11391199

回S4f=-OMEC=_x6x±=_，=-(»1AF=-x-x2=-,

皿2222必2222

阿窿

S01f=0H，

团AN和ME边上的高相等，

回AN=ME.

4.(2021•江苏南京•一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数产幻x+b的图象与反比例

函数方&■的图象交于4(4,-2)、B(-2,〃)两点，与x轴交于点C.

x

(1)求上2,n的值；

(2)请直接写出不等式人/x+6<k的解集；

X

(3)将x轴下方的图象沿x轴翻折，点/落在点4处，连接48,A'C,求A48C的面积.

【答案】(1)依=-8,〃=4；(2)-2VxV0或x>4：(3)8

【解析】

【详解】

分析：(1)将A点坐标代入y=殳求出k2=-8,得到反比例函数的解析式y=-»,再把B点坐

XX

Q

标代入y=-一得n=4;

x

(2)用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；

(3)求出对称点坐标，求面积.

详解：(1)将A(4,-2)代入丫=%,得k2=-8.

X

8

回y=・一,

X

Q

将(-2,n)代入y=--,得n=4.

x

0k2=-8,n=4

(2)根据函数图象可知：

-2Vx<0或x>4

(3)将A(4,-2),B(-2,4)代入y=kix+b,得ki=-l,b=2

团一■次函数的关系式为y=-x+2

与x轴交于点C(2,0)

0图象沿x轴翻折后，得A，(4,2),

SAA'BC=(4+2)x(4+2)x；-gx4x4-；x2x2=8

EEAEC的面积为8.

点睛：本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不

等式问题.

5.(2021・江苏盐城•一模)如图，点/是直线y=-2x与反比例函数了="(机为常数)的

X

图象的交点.过点N作x轴的垂线，垂足为8,且08=2.

(1)求点/的坐标及机的值；

(2)已知点P(0,n)(0</?<10),过点P作平行于x轴的直线，交直线y=-2x于点C(x/,

»)，交反比例函数>=—(加为常数)的图象于点。(X2,竺)，交垂线48于点£(X3,歹3),

X

若3VX2,结合函数的图象，直接写出X/+X2+X3的取值范围.

【解析】

【分析】

(1)由点/在正比例函数y=-2x的图象上，可得点力的坐标为(-2,4),再根据点/在反

2m

比例函数的图象上，即可得出用的值；

X

(2)依据结合函数的图象，即可写出X/+X2+XJ的取值范围.

【详解】

解：(1)由题意得，可知点/的横坐标是-2,

由点/在正比例函数y=2\•的图象上，

13点4的坐标为(-2,4),

又回点N在反比例函数v=也2m的图象上,

X

即m=-4.

(2)回过点尸(0,〃)作平行于x轴的直线，交直线方-2%于点C(k，j，交反比例函数

2m

y--(m为常数)的图象于点。(xz,g)，交垂线43于点E(xj,jj)，如图，

x

而Xl<X3<X2f

04<//<10,

o

由(1)知，反比例函数解析式为：y=--

x

Q

团当〃=4时，把〃=4代入片-Zx,y=——得，=-2,X=-2

x2

ELr/+.X2+xj=-2-2-2=-6：

4

同理，当77=10时，%)=-5,X2=--

439

0X/+XJ+X3=-5---2=---,

39

0---<X/+X2+X3<-6.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是运用反比例函数图象上

点的坐标特征.

6.(2021•江苏泰州•一模)如图，以菱形。力的顶点。为坐标原点建立平面直角坐标系，

点A在x轴的正半轴上，点8、C在第一象限内.反比例函数y=4(k=0)在第一象限内的

X

图

像过点C,交直线08于点D点8的坐标为(8,4).

(1)求直线的函数表达式；

(2)求点D的坐标.

【答案】（I）y=5；（2）（26，76）.

【解析】

【分析】

（1）观察图像可知直线0B为正比例函数，设直线08：产射，把8（8,4）代入计算即可；

（2）作8M私轴，垂足为“，则可得到。〃=8,BH=4,然后利用勾股定了和菱形的性质可

计算出菱形的边长，然后算出点C的坐标，计算反比例函数表达式，联立反比例函数和正

比例函数解方程即可.

【详解】

解：（1）设直线y=kx,把例8,4）代入可得：4=84，解得：吟,

回设直线。8的函数表达式为：y=^x.

（2）作8械轴，垂足为，，则04=8,BH=4,

设OA=a,则AH=S-a,

(3四边形O48C是菱形

^AB=0A=BC=a,

Rt0sH4中，BH^AH^ABZ,即邛+(8-。『=储，解得a=5,

05c=5,点C的坐标为(3,4),

把C（3,4）代入），=",解得&=12，

X

12

团"—，

x

12

>=一x=2\/6x=-2\[6

x}2

联立解得:一,V

1

V=­X

2

回点。的坐标为（26，x/6）.

【点睛】

本题主要考查菱形的性质和勾股定理，利用相关性质表示和计算边长是解题的关键.

7.（202L江苏宿迁•二模）如图，已知反比例函数y=§（x>o）的图象经过点A（4,2）,过A作

轴于点C.点5为反比例函数图象上的一动点，过点B作轴于点O,连接

AD.直线8C与x轴的负半轴交于点E.

（1）求女的值；

（2）若BO=3OC,求四边形ACED的面积.

【答案】（1）A=8；（2）6.

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法即可解决问题.

（2）分别求出点8、C坐标，再求出直线BC的解析式，进而求出E点坐标，的长，即

可利用梯形面积公式解决问题.

【详解】

解：（1）回反比例函数y=§（x>0）的图象经过点A（4,2）,

02=-

4

解得：k=8,

Q

团反比例函数解析式为：y=-(x>0).

x

(2)团ACJ_y轴，A(4,2),

0OC=2,

团=3006,

团8£>_Lx轴，

QQ

团点8的纵坐标为6,代入y=2中，得：6=-,

xx

解得：”号4

崂,6),

0C(O,2),

设直线BC的解析式为：y=kx+b,

-k+b=6

则有13,

b=2

解得：LZ=；3,

o=2

团直线BC的解析式为：y=3x+2,

令y=0,得：3x+2=0,

2

解得：x=~,

回-|,o),

团叫名)=2,

ACUDE,

13s四边形ACQ=3(4C+OE卜。C=gx(4+2)x2=6.

本题为反比例函数与一次函数综合题，考查了待定系数法求反比例函数、一次函数解析式,

熟练掌握待定系数法，理解函数图象上点的坐标特点是解题关键.

8.(2021•江苏盐城•一模)如图，一次函数y=，nx+l的图象与反比例函数y=幺的图象相交

X

于42两点，点C在x轴负半轴上，点连接04、OD、DC、AC,四边形OAC£>

为菱形.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；

(3)设点户是直线上一动点，且聊以3，求点P的坐标.

【答案】(1)y=-x+l,y=-；(2)x>0或X<-1；(3)(-5,6)或(3,-2)

X

【解析】

【分析】

(1)由菱形的性质可知A、。关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函

数解析式可求得女和加值：

(2)由(1)可知A点坐标为。,2),结合图象可知在A点的下方时，反比例函数的值小于2,

可求得x的取值范围；

(3)根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为(。,a+1),根据条件

可得到关于“的方程，可求得尸点坐标.

【详解】

解：(1)如图，连接AZ),交x轴于点E,

0(—1,-2),

：.0E=\,DE=2,

•••四边形AOOC是菱形，

:.AE=DE=2,EC=OE=\,

将4-1,2)代入直线y=mx+l,

得：—，"+1=2,

解得：机=-1,

将A(-l,2)代入反比例函数y=&,

X

得：2哈,

解得：k=-2；

2

..•一次函数的解析式为y=-*+1；反比例函数的解析式为y=--

X；

⑵・••当x=-l时，反比例函数的值为2,

•­.当反比例函数图象在A点下方时，对应的函数值小于2,

\》的取值范围为：x>0或x<-l：

(3)-.OC=2OE=2,A£>=2£>£=4,

$箜形OACO=万OC.4。=4,

_16

3AOAP=/3电陵MC。，

二SRQAP-2,

设P点坐标为(也一帆+1),A8与y轴相交于点F,

则mi),

・・.QF=1,

1-1

••c•Sw=/Xlxl=5,

当P在A的左侧时，S^^S^-S^.=,

\m=-5,一机+1=5+1=6,

•.P(—5,6),

当尸在A的右侧时，SMAP=S1so匹口+SMAF=-m-OF+-=-m+-,

1

2-/7?+-=2,

2

ni=3f-m+1=-2,

・•・P(3,-2),

综上一所述，点P的坐标为(-5,6)或(3,-2).

【点睛】

本题为反比例函数的综合应用，主要考查了待定系数法求函数解析式、菱形的性质、三角形

的面枳及数形结合思想、分类讨论思想等，题目难度不大，但是属于中考常考题，熟练掌握

反比例函数图像和性质及待定系数法等相关知识，并能够灵活运用方程思想、数形结合思想

和分类讨论思想是解题关键.

9.（2021•江苏盐城•三模）如图，一次函数>=丘+6的图像与反比例函数>=竺的图像相交

X

于A（l,a）,8（-3,c、）两点直线、=京+〃分别交x轴、y轴于C、O两点.

（1）直接写出不等式履+人-'>0的解集;

X

(2)求”的值;

a+c

（3）求C点的坐标.

3

【答案】（1）-3<xV0或x>l；（2）-；（3）C（-2,0）

【解析】

【分析】

（1）取直线y=H+b在双曲线>='的上方部分所对应的X的值，即可求解；

X

（2）把A（La）,5（-3,c）代入y=?中，用含m的代数式表示a,c,进而即可求解;

（3）令1=0,得0=6+。，从而得：》=-9=即t，进而即可求解.

KC-CI

【详解】

解：（1）团丘+6-生>0,即：kx+b>-,

XX

团从图像上看，取直线丫=辰+6在双曲线y=%的上方部分所对应的x的值，

X

fYl

即：不等式依+。>0的解集为：-3VxVO或x>l；

x

（2）把A（l,a）,8（-3,‘）代入丫=生中，得："?，c=三,

x1—3

2

回a+c=一相,

.a—c

（■..k=-----

（3）把A（l,a）,B（-3,c）代入产—+b中,得一3二匕=」解得：3a+c,

I-b=-------

4

0m

3/W-

令产0,得0=点+"解得：x=--b=-3-a+c=---->T=-2,

kc-a---m----m

3

0C（-2,0）.

【点睛】

本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法以及函数图像匕点的坐标

特征，是解题的关键.

10.（2021•江苏泰州•一模）在平面直角坐标系中，直线y="+2卬:<0）与x轴交于点A,

Q

与y轴交于点尸，过点A作1轴的垂线，交反比例函数丁=-2。<0）图像于点B.

X

(2)若四边形A8OP为平行四边形，求直线)，=&+2Z的函数关系式；

Q

(3)在(2)间的条件下，直接写出关于x的不等式履+2&+4+2<0的解集.

x

【答案】(1)(-2,0)；(2)y=-2x-4.(3)-2<x<0或x>2

【解析】

【分析】

(1)根据一次函数的解析式，令y=o求解即可；

(2)结合(1)的结论，设出8的坐标，再根据反比例函数解析式求出8的坐标，然后结

合平行四边形的性质，得到P的坐标，最后利用待定系数法求解即可；

(3)对原不等式进行变形，然后结合函数与不等式之间的联系判断取值范围即可.

【详解】

(1)对于一次函数y=Ax+2k(k<0),

令y=o,得：kx+2k=G,

解得：x=—2,

13A的坐标为(-2,0)；

(2)EW8ax轴，

胡、8两点的横坐标相等，即8点的横坐标为-2,

Q

将X=-2代入反比例函数解析式y=--(X<0),

x

得：尸4,

鲂点的坐标为(—2,4),AB=4,

回四边形4BOP为平行四边形，

^AB=OP,即：P的坐标为(O,Y),

将(0,-4)代入直线解析式y=kx+2k(k<0),

得：2k=-4,解得：％=-2,

回一次函数的解析式为y=-2x-4；

QQ

(3)要求依+2A+4+—<0的解集，即为求不等式h+22+4<—-的解集，

xx

8

令y=履+2攵+4,y=——,

2x

即为求y<%所对应的自变量的取值范围，

由(2)可知，此时弘即为直线08的解析式，

Q

如图，根据对称性，直线08与双曲线为=-£的交点为3(-2,4),9(2,T),

自凹<为所对应的自变量的取值范围为-2<x<0或x>2,

Q

团不等式履+2k+4+—<0的解集为一2<x<0或x>2.

x

【点睛】

本题考查一次函数与反比例函数综合问题，理解函数与不等式之间的关系是解题关键.

11.(2021•江苏常州•二模)如图，一次函数>6的图像与反比例函数y='(x>0)的图

X

像交于点A(3,4),点B(14-2a,2).

(1)求反比例函数y=‘(x>0)的表达式;

X

（2）若一次函数＞=奴+方的图像与y轴交于点C,连接OB,求ABOC的面积.

12

【答案】（1）y=—：（2）18

X

【解析】

【分析】

（1）利用反比例函数的性质得3a=2（14-2a）,求出。的值，即可求出力的值

（2）过点B作轴丁f,先求出一次函数解析式，可出。C的长度，即可求出ABOC

的面积.

【详解】

解：（1）由题意，得

3a=2(14-2a).

解得

a=4.

13m=3x4=12.

回反比例函数的表达式是丫=亍12.

(2)过点8作BHLy轴于凡

回8(6,2),

0BH=6.

把x=3,y=4和x=6,y=2代入＞=履+6得

仁⑶1+八6=4r,解得

[6k+b=2.

k=W

b=6.

0OC-6.

团SQBC=gxOCxBH=；x6x6=18.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，以及函数图像与坐标轴交点,

熟练掌握反比例函数性质，以及待定系数法求一次函数解析式是解题关键.

12.（2021•江苏常州•一模）如图，将放在平面直角坐标系中，AB=OB=2,ABA.OB,

反比例函数尸&经过点4在反比例函数的图像上取一点C,使得AC=2AO,过点C作AB

X

的垂线，交A8于点。，连接。。，并延长。。交AC于点E.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）当点E刚好是AC的中点时，求/DOB的度数.

4

【答案】（1）y=-；（2）15°

X

【解析】

【分析】

（1）确定点A的坐标，再代入确定左的值即可；

（2）利用直角三角形、等腰三角形的性质，得出=即可.

【详解】

解：（1）AB=OB=2,

.•.A（2,2）,

,•,反比例函数）="过点A,

X

k=2x2=4,

4

・••反比例函数的关系式为y=—；

x

（2）・.CD_LA3,AB-LOB,

\CD/【OB,

在中，点C是AC的中点，

:.DE=AE=CE=-AC,

2

-AC=2OA,

OA-AE,

:.ZAOE=/AEO,/EDC=/ECD,

ZAOE=ZA£O=2NEDC=2ZDOB,

•.•ZAOB=45°,

:.ZAOD+ZDOB=45°

.■.ZDOB=-ZAOB=-x45o=15o.

33

【点睛】

本题考查待定系数法求反比例函数关系式，直角三角形、等腰三角形的性质，掌握直角三角

形斜边中线等于斜边一半是解决问题的关键.

13.(2021•江苏苏州•一模)如图，平行四边形O/8C的顶点/在x轴正半轴上，。1=3,反

4

比例函数y=—在第一象限的图象经过点C,交4B于点、D,其中点8的坐标是(5,〃).

x

(1)求〃的值和点C的坐标；

(2)若。是的中点，求OD的长.

【答案】(1)〃=2,C(2,5)；(2)0口=而.

【解析】

【分析】

4

(1)根据平行四边形的性质8c=04=3,即可得到。(2,〃)，代入y=-即可得〃的值,

x

从而求得C的坐标；

(2)根据/、8的坐标求得。的坐标，然后根据勾股定理求解求得.

【详解】

(1)•四边形O48C是平行四边形，

:・BC=OA=3,

2点3坐标为(5,〃)，

：.C(2,〃)，

4

•・•反比例函数y=—在第一象限的图象经过点C,

x

：.C(2,2)；

(2)Vn=2,

：.B(5,2),

・.・CU=3,

：.A(3,0),

•:D是AB的中点,

.q等*，即(⑼

OD-,/42+]2=717.

【点睛】

本题考察反比例函数与平行四边形的综合、平行四边形的性质、中点坐标公式、两点间的距

离公式，属于比较简单的函数综合题，难度不大.解题的关键是利用平行四边形的性质表示

点的坐标.

14.(2021•江苏镇江•一模)如图1,点C在线段48上，图中共有3条线段A8、4(7、和8。，

若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段A8的“二倍点”.

如图2,一次函数y=or+2a(a>0)与x轴交于点与y轴交于点8,与反比例函数y=g

的图像位于第一象限的部分相交于点C.

(1)求点A的坐标；

(2)若点8是线段AC的"二倍点"，则。=.(直接写出结果)

।41

【答案】(1)A(-2,0)；(2)不或；或二.

【解析】

【分析】

(1)把产0代入一次函数的解析式求得x的值，即可得点力的坐标；

(2)分AB=2BC、8C=2/8、点8为ZC的中点三种情况求。的值即可.

【详解】

(1)13一次函数的解析式为y=or+2a(a>0),

回当产0时，ax+2a=0,

取=-2,

西(-2,0)；

(2)团点8是线段AC的〃：倍点”，

^AB=2BC或BC=2AB或点6为4c的中点；

过点C作CMlx轴于点M,

OAAB

0--=--,

OMBC

(-2,0),

0OJ=2；

91

①当点8为ZC的中点时，可得二

OM1

回。％2,

团点。横坐标为2,

4

把x=2代入y=-得片2,

x

团C(2,2),

把C(2,2)代入y=or+2a(Q＞。)得，

2=2a+2af

团a=5；

22

②当N8=28C时，可得"^二；，

OM1

0O;W=1,

回点。横坐标为1,

4

把x=2代入y=—得片4,

x.

0C(1,4),

把C(1,4)代入y=or+2a(a>0)得,

4=。+2。，

4

团。=5；

21

③当BC=2/8时，可得二

OM2

团。W=4,

团点。横坐标为4,

4

把x=4代入y=一得歹=1,

x

0C(4,1),

把C(4,1)代入丁=公+2〃(。＞0)得，

1=4。+勿，

I

团”=7；

6

141

综上，点8是线段AC的〃二倍点〃时，。的值为J或彳或工.

236

141

故答案为：5或丁或£.

z3o

【点睛】

本题是一次函数与反比例函数的综合题，解决第(2)题时要注意分情况讨论，不要漏解.

15.(2021•江苏常州•一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(0,4)作＞轴垂线交反

比例函数y=K(x＞0)图像于点8.在A8延长线上取点C,连接。C,交反比例函数y="

XX

(2)在x轴正半轴上取点E,当0。平分/30E时，求点。的坐标.

【答案】(1)12；(2)0(276,76)

【解析】

【分析】

(1)直接利用反比例函数的性质建立方程求出人的值；

(2)先求出08=5,再判断出8c=08=5,进而求出点C的坐标，进而求出直线C。的解

析式，再联立反比例函数解析式，求解，即可得出结论.

【详解】

解：⑴-：SAAB0=6,48_Ly轴，

一左=6,

2

：.k=12；

(2)由(1)知，左=12,

12

・♦・反比例函数的解析式为),

x

'：AB±y^tA(0,4),

：.B(3,4),

在RtZXZBO中，AB=3,。4=4,

・・・见＞/0*+3=5

,/OQ平分NOBE,

工NBOC=NCOE,

:.ZCOE=ZC9

：.ZBOC=ZC,

：.0B=BC=5,

：.C(8,4),

设直线CD的解析式为》=〃状，

将(8,4)代入歹中，得4=8〃7,

.1

・・〃？=一.

2

直线CQ的解析式为产;x,

12

y-1

联立解析式得：*

解得，x=±2x/6,

•..点。在第一象限内，

：.D（2）,娓）.

【点睛】

此题时反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数的性质，勾股定理，角平分线，等腰三

角形的判定，待定系数法，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

16.（2021,江苏镇江•二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点。重

合，点5在y轴的正半轴上，点4在反比例函数y=?x>0）的图象上，点。的坐标为（4,3）.

（1）求发的值.

（2）设点M在反比例函数图象上，连接M4,MD,若△M4D的面积是菱形A8C。面积的

7.求点M的坐标.

4

16

【答案】（1）左=32；（2）点A/坐标为（2,16）或（6,―）.

【解析】

【分析】

（1）如图，延长/。交x轴于E,根据菱形的性质可得XE〃。&即可证明/曲轴，根据

点。坐标可得OD的长，即可求出NE的长，可得点/坐标，代入反比例函数解析式求出k

值即可得答案；

32

（2）由（1）可知h32,根据点。坐标及。。的长可得菱形N5CQ的面积，设M（a,—）,

a

根据的面积是菱形ABCD面积的5列方程求出。值即可得答案.

4

【详解】

（1）如图，延长/。交X轴于E,

回菱形ABC。的顶点。与原点。重合，点8在〉轴的正半轴匕

酎E//OB,AD=OD,

EWfflt轴，

田点。的坐标为（4,3）,

回OE=4,DE=3,

^OD=yJoE2+DE2=5.

&4E=AD+DE=8,

13点4坐标为（4,8）,

回点A在反比例函数y=*>0）的图象上,

k

08=—,

4

05菱形ABCD二ADOE=20,

欧=32,点M在反比例函数图象上，

32

回设M（a,—）,

a

0AMAD的面积是菱形ABCD面枳的!，

SSAMAD=3ZDk-4=20X；,即,一4卜2,

解得：4=2或用6,

回点M坐标为（2,16）或（6,y）.

【点睛】

本题考查菱形的性质及反比例函数图象上的点的坐标特征,熟练掌握菱形的性质是解题关键.

17.（2021•江苏常州•一模）已知一次函数丫=履+8的图像与反比例函数丫=丝的图像交于点

X

A,与x轴交于点8（5,0）,若OB=AB,且“叩=£.

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)直接写出当》>0时-，丘+人〈》的解集；

X

(3)若点尸为x轴上一点，A/WP是以A8为底边的等腰三角形，求尸的坐标.

【答案】(1)y=~，y=^-x-i(2)0<x<9：(3)点P的坐标为爵医

x44袂

【解析】

【分析】

(1)先利用AAOB的面积求出再用勾股定理求出BM,进而得出OM,求出点A的

坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；

(2)直接由图象，即可得出结论；

(3)先判断出=设40=BP=〃，进而表示出最后用勾股定理求出“，即可

得出结论.

【详解】

解：(1)如图1,过点A作轴于

；B(5,0),

OB=5,

Q^DOAB~万,

/.-OB?AM—,

22

AM=3,

・.・OB=AB,

/.AB=5,

在RtAAMB中，根据勾股定理得，BM=yjAB2-AM2=4.

\OM=OB+BM=9,

A(9,3),

・・・点A在反比例函数y='的图象上，

X

\m=9?327,

27

.••反比例函数的表达式为y=—;

x

•・•点49,3),8(5,0)在一次函数)，=履+力的图象上，

j9Z+b=3

|5*+Z?=0，

315

・•・一次函数的表达式为y

44

m

(2)由图象知，丘+b<一的解集为0<x<9；

x

(3)如图2,

过点A作AW_Lx轴于M,

•.•A48尸是以AB为底边的等腰三角形，

:.BP=AP,

设BP=AP=n,

由(1)知，BM=4,

\PM=BM-BP=4-n,

在RtDAMP中，根据勾股定理得，AM2+PM2=AP1,

\3?+(4-n)2=n2,

\、n=—25,

8

\0P=OB+BP=5+——=——,

88

\P片，0）.

o

【点睛】

本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，三角形的面积公式，待定系数法，等腰三角形

的性质，勾股定理等知识点，求出点A坐标是解本题的关键.

18.（2021•江苏南京•二模）已知反比例函数乂=：与正比例函数必=》相交于A（2,2）.

（1）求々值.

（2）画出反比例函数的图像.

（3）当,>当时，直接写出龙的范围？

（4）根据图像，解不等式幺<x-3.

x

【答案】（1）4=4；（2）见解析；（3）0<x<2和x<—2；（4）-l<x<0和x>4

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法即可求得；

（2）画出反比例函数图象即可；

（3）根据图象即可求得；

（4）观察图象求得即可.

【详解】

解：(1)国反比例函数〃=幺与正比例函数”=X相交于Z(2,2).

■x

■=2x2=4；

(2)描出点(1,4),(2,2),(4,1),

用平滑的曲线连接，画出反比例函数的图象如图，

(3)由图象可知，当0<xV2和xV-2时，y,>y2.

(4)观察图象，直线y=x向下平移3个单位，与反比例函数的交点为(4,1)和(-1,-4),

回不等式七<x-3的解集为：