第01讲平面向量的概念与运算（6.1平面向量的概念+6.2平面向量的运算）(原卷版)

第01讲平面向量的概念与运算目录高频考点1：向量平行与共线定义高频考点2：向量加法（减法）及其几何意义高频考点3：平面向量共线定理高频考点4：三点共线充要条件高频考点5：向量的数乘运算高频考点6：平面向量的数量积①平面向量的数量积（定义法）②求模③求夹角④投影高频考点1：向量平行与共线定义典型例题例题1．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高一期中）命题：若，则，则命题为_______（填写：真命题或假命题）例题2．（2022·全国·高一专题练习）设是的相反向量，则下列说法错误的是（）A．与的长度必相等 B．C．与一定不相等 D．是的相反向量核心知识点（1）方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（又称平行向量）.（2）规定：与任何向量共线.在遇到平行（共线）向量时特别注意，考试容易忽略而导致错误.变式训练1．（2022·湖北·高一期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2022·全国·高一课时练习）已知命题“若，，则”是假命题，则__________.高频考点2：向量加法（减法）及其几何意义典型例题例题1．（2022·内蒙古包头·高三期末（文））已知分别是的边､､的中点，且，，，则下列结论中错误的是（

）A． B．C． D．例题2．（2022·湖南·长郡中学高一期中）如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则（

）A． B． C． D．核心知识点（向量的加减，注意向量的指向）（1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.（2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.（3）向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量变式训练1．（2022·四川省科学城第一中学高一阶段练习）如图，正六边形中，则（

）A． B． C． D．2．（2022·江西宜春·模拟预测（文））如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习（理））如右图，在平行四边形中，是中点，为与的交点，若则用表示（

）A． B．C． D．高频考点3：平面向量共线定理典型例题例题1．（2022·广东·华南师大附中高一阶段练习）如图，在平行四边形中，，为的中点，为上的一点，且，则实数的值为________.例题2．（2022·全国·高一课时练习）如图，经过的重心的直线与分别交于点，，设，，则的值为________．核心知识点（1）向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.（2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则.（3）、、三点共线规律：已知三向量起点相同，则终点共线系数和为1.(4)、、三点共线(是直线外任意一点）()变式训练1．（2022·山西·高一期中）在平行四边形中，为的中点，若，，则______．2．（2022·广西玉林·高一期中）已知、、三点共线，对该直线外任意一点，都有，则的最小值为_______高频考点4：三点共线充要条件典型例题1．（2022·全国·高一单元测试）在中，，，若与线段交于点，且满足，，则的最大值为_________．2．（2022·全国·高三专题练习（文））在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为___________.核心知识点（1）、、三点共线规律：已知三向量起点相同，则终点共线系数和为1.(2)、、三点共线(是直线外任意一点）()变式训练1．（2022·全国·高三专题练习）中，为上的一点，满足若为上的一点，满足，的最小值为______.2．（2022·全国·高三专题练习）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，，若的最小值为，则正数的值为___________3．（2022·湖南·长沙一中高一期中）如图，中点是线段上两个动点，且，则的最小值为______．高频考点5：向量的数乘运算典型例题例题1．（2022·上海交大附中高一期中）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，、、、、是正五边形的五个顶点，且，若，则______．例题2．（2022·河南·濮阳一高高一阶段练习）在中，点满足，若存在点，使得，且，则______．核心知识点（1）向量数乘的定义一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：①②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.（2）向量数乘的几何意义对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍．实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义．变式训练1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，点是上的点，且，且是的中点，与的交点为，又，则实数________.2．（2022·湖南·高一课时练习）已知和点满足.若存在实数使得成立，则＝__________.高频考点6：平面向量的数量积①平面向量的数量积（定义法）典型例题例题1．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））在菱形中，若，则等于_______.例题2．（2022·全国·高一单元测试）在中，，其面积为，设点在内，且满足，则________.例题3．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））在中，，，，，则___________.核心知识点向量的数量积：(1)定义法(2)几何意义法(3)坐标法（4）用基底表示向量变式训练1．（2022·山东淄博·高一期中）如图，，则_________2．（2022·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．3．（2022·河北·模拟预测）在平行四边形中，，则___________.②求模典型例题例题1．（2022·天津南开·高二学业考试）已知，则__________．例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，且，则_______.例题3．（2022·全国·高一专题练习）已知向量，向量，则的最大值为______．核心知识点向量求模(1)，.(2)坐标法，变式训练1．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知向量的夹角为，，，则___________．2．（2022·广东广州·三模）已知为单位向量，若，则__________.3．（2022·山东德州·高一期中）已知，，，则______．4．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期中）已知向量，则的最大值为_________．5．（2022·广西柳州·三模（理））已知平面向量，，若，则___________.③求夹角典型例题例题1．（2022·山东·夏津第一中学高三阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．例题2．（2022·贵州黔东南·一模（文））在四边形中，，，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．例题3．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量，向量，且，则向量的夹角为___________.核心知识点计算向量数量积的三种方法（1）定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即（是与的夹角）．（2）基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．（3）坐标法：若向量用坐标形式表示，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．变式训练1．（2022·河南·模拟预测（文））若向量满足，则与的夹角为__________．2．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量，的夹角为，且，，则与夹角的余弦值为______．3．（2022·湖南永州·三模）已知非零向量，满足，，则与夹角为__________．4．（2022·全国·高一课时练习）已知向量的夹角为30°，且，求向量与的夹角的余弦值________④投影典型例题例题1．（2022·山东滨州·高一期中）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．例题2．（2022·辽宁沈阳·高一期中）在函数的图象对称中心中，与原点最近的为点，定点，则在上投影的数量是___________.例题3．（2022·四川·富顺第二中学校高一阶段练习）设平面三点､､.(1)试求向量的模；(2)求向量在上的投影.核心知识点（1）注意求投影向量，还是投影数量；（2）投影数量可正，可负，可为0.变式训练1．（2022·广东·深圳中学高一期中）在中，，若，则向量在