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总结

dyP(x)yQ(x)dyP(x)yQ(x)

(n0,变量可分离的方 dyg(x)h(

dy

g(y 例例1L是一条平面曲线,Pxyx0距离y轴上的截距L经过点(1L2设曲线L过点Px,y)的切线方程为YyyX令Xy轴上的截距为yuyx

yx2yxuyux211xu

1

x两边积分，解得

u)lnxln11x2

uC11 y

C由L经过点 ,0可知C 于是L

y

1x2x2

y1x2．4 3kg3kg4txkgxttdtx增加到x[t,tdt]内，34d减少的盐量为x4d 所以dx12dtx dxx x

1d

[12

1

dtC]120Cex(040280，C x12040e10 xf(x)dxx3

f(

yx例3例3yyf(与yx3(x阴影部分的面积,fx).x ydxx3

yf(0两边求导得yy3x2

解得yedxC3x2edxdxCex3x26x 由y|x0

得C所求曲线为y3(2exx22x4已知连续函数fx)满足条件fx)求fx)．

f(3

)dte2x x求导，得一阶线性微分方f(x)3f(x)2e2x， f(x)3f(x)2e2x， f(x)e3dx2e2xe3dxdxC e3x2exdxCe3x(2exC)Ce3x2e2由f(0)得C3．于 f(x)3e3x2e2例

1

2xarctany4

解uarctany，则du

1y2dx

du2xu4ue2xdx4x3e2xdxdxC ex2[4x3ex2dxC]ex2[2x2ex2 2ex2 C]Cex22x2 arctanyCe 2x2注 (y)dyP(x)(y)Q( u(y)，du(y)dy，将原方程化 uP(x)uQ((2) dyyexyln 将方程化 1dylnyex，yulny，u1y，y

uuexuedxexedxdxC ex[

e2xdxC]ex1e2

C

Ce

1e

lnyCex1ex2yy2 将方程化 x2yx2y2uxy则yuxu，xuuu2

u2u

lnu13lnxlnCu2 u1Cx3，所求通解为u2

xy1

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