数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习第81课重要的不等式及其应用

第81课重要的不等式及其应用【自主学习】第81课重要的不等式及其应用自主学习回归教材1.(选修45P24例2改编)求函数y=+的最大值.【解答】由于y2=(+·)2≤[12+()2]·(1x+2+x)=9，所以y≤3，当且仅当=，即x=0时取“=〞，故ymax=3.2.(选修45P38习题6改编)求函数f(x)=x+(x>1)的最小值.【解答】由于x>1，所以f(x)=x+=++≥3=3，当且仅当=，即x=2时取等号，故f(x)min=3.3.(选修45P37习题6改编)正数a，b，c满意a+2b+3c=6，求证：++≤6.【解答】由于a+2b+3c=6，所以(a+1)+(2b+2)+(3c+3)=12.由柯西不等式，得[(a+1)+(2b+2)+(3c+3)](12+12+12)≥(++)2，那么++≤6，当且仅当==时取等号，此时a=3，b=1，c=.4.(选修45P37习题11改编)设a，b，c均为正实数，求证：a+b+c≤.【解答】设a≥b≥c，右边==a3·+b3·+c3·≥a3·+b3·+c3·≥a2·+b2·+c2·=a+b+c=左边.1.柯西不等式：设n为大于1的自然数，ai，bi(i=1，2，3，…，n)为任意实数，那么≥，其中等号当且仅当==…=时成立(当ai=0时，商定bi=0，i=1，2，3，…，n).2.排序不等式：设两组实数a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn，且a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，假设记c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任意一个排列，那么和数a1c1+a2c2+…+ancn在a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn同序时最大，反序时最小，即a1b1+a2b2+…+anbn≥a1c1+a2c2+…+ancn≥a1bn+a2+…+anb1，等号当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时成立.3.均值不等式：假设a1，a2，…，an均为正数，那么≥，等号当且仅当a1=a2=…=an时成立.【要点导学】要点导学各个击破利用柯西不等式证明不等式例1ad1+bd2+cd3=2，且a，b，c，d1，d2，d3均大于零，求证：++≥(a+b+c)2.【思维引导】利用ad1+bd2+cd3=2变形为++=2=(ad1+bd2+cd3)，构造符合柯西不等式的形式，再利用柯西不等式进行证明.【解答】ad1+bd2+cd3=2，所以由柯西不等式，得++=2=(ad1+bd2+cd3)=[()2+()2+()2]·++≥(a+b+c)2.故原不等式得证.变式(2015·苏州期末)设实数x，y，z满意x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值，并求此时x，y，z的值.【解答】由于6=x+2y+3z=(1，2，3)·(x，y，z)≤·，所以x2+y2+z2≥，当且仅当==时，取等号.又x+2y+3z=6，所以x=，y=，z=.综上所述，当x=，y=，z=时，x2+y2+z2取得最小值.利用排序不等式证明不等式例2a，b，c均为正实数，求证：a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.【思维引导】题目中没有给出a，b，c三个数的大小挨次，且a，b，c在不等式中的“地位〞是对等的，不妨设a≥b≥c，再利用排序不等式加以证明.【解答】由于a，b，c均为正实数，不妨设a≥b≥c>0，那么a2≥b2≥c2>0，由排序不等式，得a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.【精要点评】运用排序不等式证明的关键点在于：(1)不要遗忘使用排序不等式的前提条件，即不要遗忘“不妨设〞；(2)要制造出两个数相乘的项之和的形式；(3)在证明过程中始终记住“同序和最大，乱序和其次，反序和最小〞.利用均值不等式证明不等式例3假设a>0，b>0，且+=1，求a+2b的最小值.【思维引导】利用“1〞的代换，将a+2b凑成2a+4b+3，再将2a+4b+3乘以+=1，然后再利用均值不等式求解.【解答】由于a>0，b>0，且+=1，所以2a+4b+3=(2a+4b+3)+=4++≥4+2，当且仅当a=+，b=时取等号，所以a+2b的最小值为.【精要点评】运用均值不等式证明不等式，当题目中未明显给出构成平均值的n个正数时，需要作拆项、添项等处理，学会制造条件再利用均值不等式解题.变式(2015·常州期末)a>0，b>0，求证：(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)≥9a2b2.【解答】由于a>0，b>0，所以a2+b2+ab≥3=3ab>0，ab2+a2b+1≥3=3ab>0，当且仅当a=b时上式取等号，所以(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)≥9a2b2.几个重要不等式的综合应用例4(2015·陕西卷)关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a，b的值；(2)求+的最大值.【解答】(1)由|x+a|<b，得ba<x<ba，那么解得a=3，b=1.(2)由(1)知+=+≤=2=4，当且仅当=，即t=1时等号成立，故(+)max=4.【精要点评】此题先通过代数变形，将问题转化，再两次敏捷运用柯西不等式，从而使问题获解，对于一些表达式较为简单的不等式，这样的处理方法值得我们好好地加以体会.要留意运用柯西不等式证题的关键是能够制造“模型〞：(++…+)(++…+)，领悟了这一点，解题时就能敏捷自如，得心应手.变式(2015·泰州二模)不等式a+b+c≤|x21|对于满意条件a2+b2+c2=1的任意实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围.【解答】由于(a+b+c)2≤(1+1+2)(a2+b2+c2)=4，所以a+b+c≤2.又a+b+c≤|x21|对于满意条件a2+b2+c2=1的任意实数a，b，c恒成立，故|x21|≥(a+b+c)max=2，解得x≤或x≥，故x的取值范围是{x|x≤或x≥}.1.(2014·陕西卷改编)设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，求的最小值.【解答】由柯西不等式可知(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2，所以m2+n2≥5，当且仅当an=bm时等号成立，故的最小值为.2.(2015·南京调研)a，b是正数，且a+b=1，求证：(ax+by)(bx+ay)≥xy.【解答】由于a，b是正数，且a+b=1，所以(ax+by)(bx+ay)=abx2+(a2+b2)xy+aby2=ab(x2+y2)+(a2+b2)xy≥ab·2xy+(a2+b2)xy=(a+b)2xy=xy.即(ax+by)(bx+ay)≥xy成立.3.(2015·南京、盐城、徐州二模)x，y，z都是正数且xyz=1，求证：(1+x)(1+y)(1+z)≥8.【解答】由于x为正数，所以1+x≥2.同理1+y≥2，1+z≥2.所以(1+x)(1+y)(1+z)≥2·2·2=8.由于xyz=1，所以(1+x)(1+y)(1+z)≥8.4.(2014·无锡一模)a，b，c均为正数，且a+2b+4c=3，求++的最小值，并指出取得最小值时a，b，c的值.【解答】由于a+2b+4c=3，所以(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.由于a，b，c为正数，所以由柯西不等式得[(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]·++≥(1++2)2，当且仅当(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2时等号成立，所以++的最小值是，取最小值时2(c+1)+2(c+1)+4(c+1)=10，所以c=，b=，a=.趁热打铁，事半功倍.请同学们准时完成?配套检测与评估?中的练习第161~162页.【检测与评估】第81课重要的不等式及其应用1.(2015·苏北四市期末)假设a>0，b>0，且+=，求a3+b3的最小值.2.(2015·南京三模)实数x，y满意x>y，求证：2x+≥2y+3.3.(2015·南通、扬州、淮安、连云港二调)实数a，b，c满意a+2b+3c=4，求证：a2+b2+c2≥.4.(2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)实数a，b，c，d满意a>b>c>d，求证：++≥.5.(2014·苏北四市期末)a，b，c均为正数，求证：a2+b2+c2+≥6.6.(2015·泰州期末)正实数a，b，c满意a+b+c=3，求证：++≥3.7.(2015·苏州、无锡、常州一调)求函数y=+的最大值.8.(2015·福建卷)a>0，b>0，c>0，函数f(x)=|x+a|+|xb|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值；(2)求a2+b2+c2的最小值.【检测与评估答案】第81课重要的不等式及其应用1.由于a>0，b>0，所以+≥.又由于+=，所以ab≥2，当且仅当a=b=时取等号，所以a3+b3≥2≥4，当且仅当a=b=时取等号，所以a3+b3的最小值为4.2.由于x>y，所以xy>0，从而左边=(xy)+(xy)++2y≥3+2y=2y+3=右边，所以原不等式得证.3.由柯西不等式得(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2.由于a+2b+3c=4，所以a2+b2+c2≥，当且仅当==，即a=，b=，c=时取等号.4.由于a>b>c>d，所以ab>0，bc>0，cd>0，ad>0，故[(ab)+(bc)+(cd)]++≥(1+2+3)2=36，所以++≥.5.方法一：由于a，b，c均为正数，由均值不等式得a2+b2+c2≥3(abc.由于++≥3(abc，所以≥9(abc，故a2+b2+c2+≥+9(abc.又3(abc+9(abc≥2=6，所以原不等式成立.方法二：由于a，b，c均为正数，由根本不等式得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.同理++≥++，所以a2+b2+c2+≥ab+bc+ca+++≥6，当且仅当a=b=c=时取等号，所以原不等式成立.6.由于正实数a，b，c满意a+b+c=3，所以3=a+b+c≥3，所以abc≤1，所以++≥3=3≥3，当且仅当a=b=c时取等号.7.由于(+)2=≤(33x+3x+2)=，所以y=+≤.当且仅当=，即x=时等号成立，所以y的