数学中考复习 圆的综合

2/2九年级数学中考复习圆的综合角平分线1．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BF＝8，OB＝12，求证：AE＝2BE．2．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，△ABC的外角平分线BD交⊙O于点D，DE是⊙O切线，交CB的延长线于点E，连接AD．（1）求证：AC∥DE；（2）若，BE＝4，求CB的长．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，点O是AB边上的点，以BD为弦的⊙O交AB于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，OB＝1，求阴影部分的面积．4．如图，在△ABC中，AB＝BC，CO平分∠ACB交AB于点O．当AC＝CO时，以点O为圆心OA为半径作圆交AC于点D，过点D作DE⊥BC垂足为E．（1）求∠B的度数；（2）证明：DE是⊙O的切线．

5．如图，在⊙O中，AB是直径，点C在圆上，AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC，AD的延长线交⊙O于点E，连接BE．（1）求证：BE＝DE；（2）若AB＝10，BC＝6，求BE的长．​6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，若BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是5，BC＝8，求AD的长．

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠CAB交BC于点O，以OC为半径作⊙O，直线AO交⊙O于点E，D，连接CD．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若2AC＝3AE，⊙O的直径为5，求CD的长．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，过点A作⊙O的切线，交BD的延长线于点F．（1）求证：DF＝DE；（2）若AB＝6，BC＝2，求AF的长．

9．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，连结OD．（1）求证：OD⊥AB；（2）过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点E，若，，求DE．10．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若∠CAB＝30°，求阴影部分的面积．

11．如图，AB为⊙O的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C为的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分∠DAE．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）作DF⊥CD，OF⊥DF，垂足分别为点D，F，若AB＝10，OF＝3，求AE的长．12．已知AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交圆O于点E．（1）如图①，求证：AC平分∠DAB；（2）如图②，若，DC＝4，过B作BF∥AD交圆O于点F，连接CF，求圆O半径和CF．

答案版1．【解答】证明：（1）∵∠BEF＝∠CAE，∠CAE＝∠CBE，∴∠BEF＝∠CBE，∴BC∥EF；如图：连接OE，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∴，∴OE⊥BC，∵BC∥EF，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）如图，∵OB＝12，BF＝8，则OE＝OB＝12，OF＝12+8＝20，在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，∴EF2＝OF2﹣OE2＝202﹣122＝256，解得：EF＝16，∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，∴△EBF∽△AEF，∴＝＝＝，∴AE＝2BE，2．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵BD平分∠ABE，∴∠ABD＝∠DBE，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠DBE，∴OD∥BE，∴∠DEC＝180°﹣∠ODE＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠C+∠DEB＝180°，∴AC∥DE；（2）解：过点O作OF⊥CE，垂足为F，∴∠OFE＝90°，BC＝2BF，∵∠ODE＝∠DEB＝90°，∴四边形ODEF是矩形，∴OD＝EF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ADB＝∠DEB＝90°，∠ABD＝∠DBE，∴△ABD∽△DBE，∴＝，∴＝，∴AB＝20，∴OD＝EF＝AB＝10，∴BF＝EF﹣BE＝10﹣4＝6，∴BC＝2BF＝12，∴CB的长为12．3．【解答】（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC，∵OD是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：作OF⊥BD于点F，则，∵OB＝1，∴OB＝OD＝OE＝1，由（1）得∠ADO＝∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，∴∠DOA＝60°，∴∠ODB＝∠OBD＝30°，∴，，∴，∴．4．【解答】（1）解：设∠ACO＝x，∵CO平分∠ACB，∴∠BCO＝∠ACO＝x，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝2x，∴∠B＝180°﹣4x，∵AC＝CO，∴∠COA＝∠BAC＝2x，∵∠COA＝∠B+∠BCO，∴2x＝x+180°﹣4x，解得：x＝36°，∴∠B＝180°﹣4x＝36°；（2）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAC＝72°，∴∠AOD＝36°，∴∠AOD＝∠B，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．5．【解答】（1）证明：∵AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠CAE＝∠BAD，∠CBD＝∠DBA，∵∠CBE＝∠CAE，∴∠EBD＝∠CBE+∠DBC＝∠CAE+∠CBD＝∠BAD+∠DBA，∵∠EDB＝∠BAD+∠DBA，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE；（2）解：AE与BC相交于点F，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∵AF平分∠BAC，∴点F到AC和AB的距离相等，∴S△ACF：S△ABF＝AC：AB，∵S△ACF：S△ABF＝CF：BF，∴＝＝＝，∴CF＝BC＝，BF＝BC＝，在Rt△ACF中，AF＝＝＝，∵∠CAF＝∠EBF，∠C＝∠E，∴△ACF∽△BEF，∴AC：BE＝AF：BF，即8：BE＝：，解得BE＝，即BE的长为．6．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠OBD，∴∠EBD＝∠ODB，∵DE⊥BC，∴∠EBD+∠EDB＝90°，∴∠ODE＝∠ODB+∠EDB＝90°，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图，作DF⊥AB于点F，∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝DF，在Rt△DFB和Rt△DEB中，，∴Rt△DFB≌Rt△DEB（HL），∴BF＝BE．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB＝180°，∵∠ECD+∠DCB＝180°，∴∠A＝∠ECD，在△DFA和△DEC中，，∴△DFA≌△DEC（AAS），∴AF＝CE．∵⊙O的半径是5，∴AB＝2×5＝10．设AF＝CE＝x，则AB＝AF+BF＝AF+BE＝AF+BC+CE＝x+8+x＝10，解得x＝1，∴AF＝CE＝1．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠AFD，∵∠DAB＝∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴，即，∴．．7．【解答】（1）证明：过点O作OF⊥AB于点F，如图，∵∠ACB＝90°，∴OC⊥AC，∵AO平分∠CAB，OF⊥AB，OC⊥AC，∴OF＝OC，∵OC为⊙O的半径，∴AB到圆心的距离等于半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接CE，∵DE为⊙O的直径，∴∠DCE＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ECB＝∠ECB+∠BCD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD．∵OC＝OD，∴∠BCD＝∠D，∴∠ACE＝∠D．∵∠EAC＝∠CAD，∴△AEC∽△ACD．∴．∵2AC＝3AE，∴，设AC＝3k，则AE＝2k．∴，∴AD＝k，∴DE＝AD﹣AE＝k．∵⊙O的直径为5，∴k＝5，∴k＝2．∴AC＝6，AE＝4，∴，设CE＝2a，则CD＝3a，∵CE2+CD2＝DE2，∴（2a）2+（3a）2＝52，∴a＝，∴CD＝3a＝．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，角平分线的性质，圆的有关性质，圆的切线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，过点O作OF⊥AB于点F是解决此类问题常添加的辅助线．8．【解答】（1）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠C＝90°，∴AD⊥EF，∠CBD+∠CEB＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥OA，∴∠BAF＝90°，∴∠F+∠ABD＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠F＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AEF，∴∠F＝∠AEF，∴AE＝AF，∴DF＝DE；（2）解：∵∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，∴，∵∠BAF＝∠C＝90°，∠ABF＝∠CBE，∴△ABF∽△CBE，∴，∴AF＝3CE，∵AF＝AE，∴AE＝3CE，∴，∴；故答案为：．9．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠AOD＝90°，∴OD⊥AB；（2）解：过点C作CH⊥AB于点H．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵BC＝2，AC＝4，∴AB＝＝10，∵S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CH，∴CH＝＝4，∴BH＝＝2，∴OH＝OB﹣BH＝5﹣2＝3，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE∥AB，∴∠COH＝∠E，∵∠CHO＝∠ODE＝90°，∴△CHO∽△ODE，∴，∴，∴DF＝．10．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点C．∴CO⊥CD．∵AD⊥CD．∴AD∥CO，∴∠DAC＝∠ACO．∵OA＝OC．∴∠ACO＝∠CAO．∴∠DAC＝∠CAO．即AC平分∠DAB；（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，设⊙O半径为r．在Rt△ABC中，，∴AC2+BC2＝AB2，∴，∴r＝2，在Rt△OEC中，∠COE＝60°，∴∠E＝60°，∴OC＝2，OE＝4，∴，11．【解答】（1）证明：∵点C为的中点，∴，∴AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠CDA＝∠CBA，∴∠CAD＝∠CBA．∵AC平分∠DAE，∴∠EAC＝∠CAD，∴∠EAC＝∠CBA．∵AB为⊙O的直径，∴ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∴∠CAB+∠EAC＝90°，∴∠EAB＝90°，即OA⊥AE，∵OA为⊙O的半径，∴AE为⊙O的切线；（2）解：过点O作OH⊥CD于点H，如图，则DH＝CH＝CD．∵DF⊥CD，OF⊥DF，OH⊥CD，∴四边形OFDH为矩形，∴DH＝OF＝3，∴CD＝6．∵AC＝CD，∴AC＝6．∴BC＝＝8．由（1）知：∠EAB＝90°，∵AC⊥BC，∴△BAC∽△BEA，∴，∴，∴AE＝．12．解：如图②连接AF，