【第一方案一轮复习】对数与对数函数

第七节对数与对数函数点击考纲1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，且a≠1).关注热点1.对数运算是高中学习的一种重要运算，而对数函数又是最重要的一类基本初等函数，因此该节内容是高考的重点．2.考查热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合思想方法.1．对数的概念(1)对数的定义如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作

，其中

叫做对数的底数，

叫做真数．(2)几种常见对数x＝logaNaN2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①alogaN＝

；②logaaN＝

(a>0且a≠1)．(2)对数的重要公式对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)

常用对数底数为

.

自然对数底数为

.

logaNlgNlnNe10NNlogad

logaM＋logaN

logaM－logaN

nlogaM

3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：

.(2)值域：R(3)过点

，即x＝

时，y＝

.(4)当x>1时，

.当0<x<1时，

.(4)当x>1时，

.当0<x<1时，

.(5)是(0，＋∞)上的

.(5)是(0，＋∞)上的

.(0，＋∞)(1,0)10y>0y<0y<0y>0增函数减函数4.反函数指数函数y＝ax与对数函数

互为反函数，它们的图象关于直线

对称．y＝xy＝logax如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？提示：作一直线y＝1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，∴0<c<d<1<a<b.1．对于a>0且a≠1，下列结论正确的是(

)①若M＝N，则logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.A．①③

B．②④C．②

D．①②④解析：当M＝N＝0时，①、④均错误；当M＝2，N＝－2时，排除③.答案：C答案：B答案：A4．已知loga(3a－1)有意义，那么实数a的取值范围是________．答案：1【解析】

(1)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3lg22－lg6＋lg6－2＝3lg5lg2＋3lg5＋3lg22－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝1.【方法探究】

对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化．【思路导引】

利用对数函数的单调性，限定每个对数值的取值区间，借助于中间数0,1等结合不等式的传递性来比较大小．【方法探究】

比较对数值大小的类型及相应方法：若底数为字母时要分类讨论，对一些较复杂的对数式大小比较，还常用作差法、特殊值法．

已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【思路导引】

函数f(x)为复合函数，且含参数a，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在再证明．【方法探究】

这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，问题的处理，一般是先假设存在，再结合条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之存在性成立．3．设a＞0且a≠1，函数f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，求不等式loga(x2－5x＋7)＞0的解集．解析：首先根据函数有最大值确定范围，再根据对数函数的单调性将求解不等式去对数符号，转化成解代数不等式，一定注意对数的真数大于零．∵lg(x2－2x＋3)＝lg[(x－1)2＋2]，又f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，∴0＜a＜1.由loga(x2－5x＋7)＞0得0＜x2－5x＋7＜1，解得2＜x＜3，故不等式的解集是{x|2<x<3}．(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．(取e0.05≈1.051)【思路导引】

利用给定的函数研究实际问题，根据实际问题情景的含义，第(1)题实质是判断函数f(x＋1)－f(x)是减函数，第(2)题实质是对数方程的求解．【评价探究】

对于指、对数函数的综合应用，不仅重视指、对数函数内在的综合联系，还要重视函数与其他知识的综合渗透，以及在实际问题中的应用．【考向分析】从近两年的高考试题看，对数函数的性质是高考的热点，题型一般为选择题、填空题，属中低档题，主要考查利用对数函数的性质比较对数值大小，求定义域、值域、最值以及对数函数与相应指数函数的关系．预测2012年高考仍将以对数函数的性质为主要考点，重点考查运用知识解决问题的能力．1．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2010)＝8，则f(x12)＋f(x22)＋…＋f(x20102)＝(

)A．4 B．8C．16 D．2loga8解析：∵f(x1x2…x2010)＝f(x1)＋f(x2)＋…＋f(2010)＝8，∴f(x12)＋f(x22)＋…＋f(x20102)＝2[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(x2010)]＝2×8＝16.答案：C2．(2011·福建福州)三个对数函数图象如图所示，若ax1＝bx2＝cx3>1，则x1、x2、x3的大小关系是(

)A．x1>x2>x3B．x3>x2>x1C．x3>x1>x2D．x2>x1>x3解析：由图知：0<b<a<1<c，又ax1＝bx2＝cx3>1，x1<x2<0，x3>0，故x3>x