【2022届完美领航一轮复习】逻辑联结词与量词

§1.3逻辑联结词与量词

目录本部分主要为了使学生的表述更清晰，使表达的意思更严密，教学时应让学生体会全称，特称的意思，语境，而不能单纯的用一些特定的词语来衡量．另外，教学时也要注意区别否定、否命题、非命题之间联系与区别．自主·基础构建导学建议1．全称量词与全称命题(1)短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中所有x，p(x)”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”．知识梳理2．存在量词与存在性命题(1)存在量词的定义短语“有一个”或“有些”或“至少一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做存在性命题．(3)存在性命题的符号表示设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．3．逻辑联结词命题中的或、且、非叫逻辑联结词．4．命题p∧q，p∨q，﹃p的真假判断pqp∧qp∨q﹃

p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真5.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，﹃

p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，﹃

p(x)【解析】由全称命题的定义可知：“圆有内接四边形”，即为“所有圆都有内接四边形”，是全称命题．【答案】

A达标自测2．命题“对任意实数x∈R，x4－x3＋x2＋5≤0”的否定是(

)A．不存在x∈R，x4－x3＋x2＋5≤0B．存在x∈R，x4－x3＋x2＋5≤0C．存在x∈R，x4－x3＋x2＋5>0D．对任意x∈R，x4－x3＋x2＋5>0【解析】全称命题的否定为特称命题，相应的结论也要否定．【答案】

C3．已知(﹃p)∧q为真，则下列命题中的假命题是(

)①p；②p∨q；③p∧q；④﹃

q.A．①④B．①②③C．①③④ D．②③④【解析】∵(﹃

p)∧q为真∴﹃

p为真且q也为真，即p为假，q为真．【答案】

C4．分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“﹃p”形式的复合命题，并判断其真假．(1)p：菱形的对角线相等，q：菱形的对角线互相垂直；(2)p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}；(3)p：不等式x2＋2x＋2>1的解集为R.q：不等式x2＋2x＋2≤1的解集为Ø.【解析】(1)p∨q：菱形的对角线相等或互相垂直，为真命题．p∧q：菱形的对角线相等且互相垂直，为假命题．﹃p：菱形的对角线不一定相等，为真命题．(2)p∨q：a∈{a，b，c}或{a}⊆{a，b，c}，为真命题．p∧q：a∈{a，b，c}且{a}⊆{a，b，c}，为真命题．﹃p：a∉{a，b，c}，为假命题．(3)p∨q：不等式x2＋2x＋2>1的解集为R或不等式x2＋2x＋2≤1的解集为Ø，为假命题．p∧q：不等式x2＋2x＋2>1的解集为R且不等式x2＋2x＋2≤1的解集为Ø，为假命题．﹃p：不等式x2＋2x＋2>1的解集不是R，为真命题． 【交流感悟】________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型一注重基础，类型二是新课标新增知识点，容易出错，建议多加训练，类型三是综合应用，是考试常考题型．从学生角度讲，特称、全称命题较易理解，但其否定难于理解．教学时，要立足于“理解题意”的基础上，而不要纠缠于“都”、“都不”、“不都”等关键词上，更不要强记．互动·方法探究导学建议类型一复合命题真假的判断【温馨提示】先判断简单命题p，q的真假，再利用真值表判断复合命题真假情况．记住真值表是解题关键．

典例研习

已知命题p：∃x∈R，使tanx

＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(﹃q)”是假命题；③命题“(﹃p)∨q”是真命题；④命题“(﹃p)∨(﹃q)”是假命题．其中正确的是(

)A．②③B．①②④C．①③④ D．①②③④【切入思维】先判断p、q的真假状况，再利用真值表判断．例1【解答】命题p：∃x∈R，使tanx＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(﹃q)”是假命题；③命题“﹃p∨q”是真命题；④命题“(﹃p)∨(﹃q)”是假命题，故应选D.【点评】p，q真假的判断是解题基础，而真值表是解题依据．【变式与思考】已知p，q的真假状况，得出p∨q，p∧q，﹃p的真假状况，这叫做正面用真值表．反面怎么用呢？举例，已知p∨q为真且﹃p为真，则q为真还是假？【提示】﹃p为真，则p为假，又∵p∨q为真∴q为真

类型二全(特)称命题的否定【温馨提示】全(特)称命题的否定有两个地方发生了变化．①全(特)称量词改变，全(特)称换成特(全)称；②谓语动词否定，例“x>1”换成“x≤1”，“是”换成“不是”．写出下列全称命题或特称命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)有的三角形是等边三角形；(4)有一个素数含有三个正因数．例2【切入思维】先判断是全称命题还是特称命题再进行否定．【解答】(1)该命题的否定是：存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2)该命题的否定是：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)该命题的否定是：所有三角形都不是等边三角形．(4)该命题的否定是：每一个素数都不含有三个正因数．【点评】有些全(特)称命题的量词被省略，所以判断时，要先补上量词，再否定．【变式与思考】“锐角都相等”是全称命题吗？全称量词是什么？【提示】是，省略了全称量词“任何”．类型三真值表的综合应用【温馨提示】由真值表判断出p，q真假值．然后反馈到“命题的真假，求字母范围”的问题上．由于由多个命题真假，求字母范围，这就把或、且、非与并，交，补完全联系在一起．

(12分)已知p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，q：“存在x0∈R，x02＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．【切入思维】(1)由全称命题p和特称命题q分别确定a的取值范围．(2)由“p且q”是真命题得出p，q都是真命题，从而求出a的取值范围．例3【标准答案】由“p∧q”真命题，知p为真命题，q也为真命题.3分若p为真命题，即a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1.6分若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，10分综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.12分【点评提升】本题综合了全(特)称命题与真值表，其中a＝1容易漏掉．

已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p∧q为假，求m

的取值范围．同类训练 写出下列命题的否定：(1)可以被5整除的数，末位是0；(2)能被8整除的数，能被4整除．【错解】(1)可以被5整除的数，末位不是0；(2)能被8整除的数，不能被4整除．【剖析】由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其省略掉的全称量词，然后将全称量词改写为存在量词，对结论进行否定，要避免忽略命题中隐含的量词．例高考排雷【正解】(1)隐含全称量词“任何一个”，否定为：有些可以被5整除的数，末位数不是0；(2)隐含全称量词“所有”，否定为：存在一个能被8整除的数，不能被4整除．1．(2010年·安徽)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．【答案】存在x∈R，使|x－2|＋|x－4|≤3成立【考题赏析】考查全称命题的否定．。三年高考2．(2010年·海南、宁夏)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数；p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(﹃p1)∨p2和q4：p1∧(﹃p2)中，真命题是(

)A．q1，q3

B．q2，q3C．q1，q4 D．q2，q4【解析】p1为真命题，p2为假命题，∴﹃p1为假命题，﹃p2为真命题．故选C.【答案】

C【