【人教数学A版选修】《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》

1．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则第一课时基本公式及四则运算法则-1--1-1.能利用给出的基本初等函数的导数公式求函数的导数．2．能利用初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.-1-1.基本初等函数的导数公式(1)若f(x)＝c，则f′(x)＝①________.(2)若f(x)＝xn，则f′(x)＝②________.(3)若f(x)＝sinx，则f′(x)＝③________.(4)若f(x)＝cosx，则f′(x)＝④________.(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝⑤________.(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝⑥________.(7)若f(x)＝logax则f′(x)＝⑦________.(8)若f(x)＝lnx，则f′(x)＝⑧________.-1--1--1--1-A．0

B．1C．2 D．3解析：①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③④均正确，直接利用公式即可验证．答案：D-1-2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于(

)A．1 B．2C．3 D．4解析：y′|x＝2＝n·2n－1＝12，解得n＝3.答案：C-1-3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y－1＝0，则 (

)A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在答案：B-1--1-5．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，由f′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，∴a＝c.③由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④∴由①③可得a＝c＝2.-1--1--1-1.对基本初等函数的导数公式的理解：(1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的形式，学会使用公式解题即可，对公式的推导不要求掌握．(2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别，这是易错点．-1-2．对导数的运算法则的理解：

(1)两个函数和(或差)的函数的求导法则设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2)两个函数积的函数的求导法则设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．-1-推论：常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数．即[cf(x)]′＝cf′(x)．(3)两个函数商的函数的求导法则-1-例1求下列函数的导数．(1)y＝tanx；(2)y＝3x2＋x·cosx；-1-[分析]

求函数的导数主要有直接求导和先变形然后再求导两种方法，要注意正确区分．-1-[点拨]

理解和掌握求导法则和公式的结构是灵活进行求导运算的前提条件，当函数解析式较为复杂时，应先变形，然后求导，当函数解析式不能直接用公式时，也要先变形，使其符合公式形式．-1--1-(3)y′＝(3x4＋2x3＋5)′＝12x3＋6x2.(4)y′＝(sinx＋tanx)′-1-例2

已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式．[分析]

根据f′(x)为一次函数，可设f(x)的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用对一切x∈R方程恒成立，转化为关于a，b，c的方程组，即可求出f(x)的解析式．-1-[解]

由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，把f(x)，f′(x)代入方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0，-1-[点拨]

待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决．待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数．-1-练2求满足下列条件的函数f(x)．(1)f(x)是二次函数，且f(0)＝4，f′(0)＝－1，f′(1)＝7；(2)f′(x)是二次函数，(x2＋1)f′(x)－(3x＋1)f(x)＝5.[解]

(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f(0)＝4，得c＝4.由f′(0)＝－1，得b＝－1.由f′(1)＝7，得2a＋b＝7，得a＝4，所以f(x)＝4x2－x＋4.-1-(2)由f′(x)为二次函数可知f(x)为三次函数，设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.把f(x)、f′(x)代入方程得(x2＋1)(3ax2＋2bx＋c)－(3x＋1)(ax3＋bx2＋cx＋d)＝5，即(－a－b)x3＋(3a－b－2c)x2＋(2b－c－3d)x＋c－d－5＝0.-1--1-例3已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.(1)求曲线C在点(1，－4)的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，说明理由．[分析]

(1)利用导数的几何意义和导数的运算法则，求出切线的斜率，由点斜式写出切线的方程．(2)将切线方程与曲线C的方程联立，看是否还有其他解即可．-1-[解]

(1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12，所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12，所以所求切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.整理得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0.x3(3x－2)－(3x－2)2＝0，(3x－2)(x3－3x＋2)＝0，即(x＋2)(3x－2)(x－1)2＝0.-1-[点拨]

(2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于对式子的恒等变形．-1-练3在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程．[解]

y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时，切线的斜率最小，最小斜率为3，此时，y＝(－1)3＋3×(－1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.-1-例4假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t,

其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(精确到0.01)-1-[解]

∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.根据基本初等函数的导数公式表，有p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln1.05.∴p′(10)＝1.0510·ln1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．[点拨]

在第10个年头，商品的价格上涨的速度，即是函数的导数在t＝10的函数值．因此由基本初等函数的导数公式表，求出相应的导数即可．-1-练4

若上题中某种商品的p0＝5，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？[解]

当p0＝5时，p(t)＝5×(1＋5%)t＝5×1.05t.由导数的公式表，有p′(t)＝(5×1.05t)′＝5×1.05t·ln1.05.∴p′(10)＝5×1.0510·ln1.05≈0.40(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.40元/年的速度上涨.-1-基本初等函数的导数公式及导数的运算法则在高考中是一个重要的考点，在高考中单独考查该知识点的题目不多，常与其他知识结合进行综合考查．如以导数的四则运算、基本初等函数的导数公式、复合函数的求导法则、曲线的切线(切线方程、切线斜率、切点坐标等)、数列的求和、实际生活中的变化率、增长率问题等．-1-例5已知抛物线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两切点之间的线段，称为公切线段．

(1)当a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；

(2)若C1和C2有两条公切线，求证相应的两条公切线段互相平分．-1-[分析]

(1)分别设出切点，求出两抛物线C1，C2的切线方程，使其表示同一条直线，即可找到解题的突破口．(2)只需证明两线段的中点重合即可．-1--1--1--1--1-第二课时复合函数-1--1-

1.要掌握复合函数的求导法则．复合函数对自变量的导数，等于该函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，即y′x＝y′u·u′x.2.能综合运用函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，求一些初等函数的导数[形如f(ax＋b)型].-1-1.由几个函数复合而成的函数，叫复合函数，函数y＝f[φ(x)]是由①________和②________复合而成的．2．设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′x＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′u＝f′(u)，则复合函数y＝f[φ(x)]在点x处也有导数，且y′x＝③________，或写作f′x[φ(x)]＝④________.3．复合函数y＝f(ax＋b)的导数为：[f(ax＋b)]′＝⑤________.-1-自我校对：①y＝f(u)

②u＝φ(x)

③y′u·u′x

④f′(u)·φ′(x)

⑤af′(ax＋b)-1-1.函数y＝(3x－4)2的导数是 (

)A．4(3x－2)

B．6xC．6x(3x－4) D．6(3x－4)解析：∵y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)．答案：D-1-2．函数y＝2sin3x的导数是 (

)A．2cos3x B．－2cos3xC．6sin3x D．6cos3x解析：∵y′＝(2sin3x)′＝2cos3x·(3x)′＝6cos3x.答案：D-1--1-答案：D-1--1--1--1-一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f[g(x)]．如函数y＝(2x＋3)2，是由y＝u2和u＝2x＋3复合而成的．复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．-1-特别注意以下几点：(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选择中间变量．(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如(sin2x)′＝2cos2x，而(sin2x)′≠cos2x.-1--1-例1说出下列函数分别由哪几个函数复合而成．

-1-[分析]

解决复合关系问题的关键是正确分析函数的复合层次．-1-[点拨]

找复合函数的复合关系一般是从外向里分析，每层的主体为基本初等函数，一层一层的分析，最里层应为关于x的基本函数或基本函数的和与差．-1--1-[解]

函数的复合关系分别是：(1)y＝um，u＝a＋bxn；-1-例2

求y＝ln(2x＋3)的导数．[分析]

复合函数求导三步曲：第一步：分层(从外向内分解成基本函数用到中间变量)．第二步：层层求导(将分解所得的基本函数进行求导)．第三步：作积还原(将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原为原来的自变量)．-1-[点拨]

(1)复合函数求导三步曲形象直观，请同学们认真理解，在应用中首先应准确分层，然后能够正确地层层