专题04 直线和圆的位置关系4种压轴题型全攻略（解析版）

专题04直线和圆的位置关系4种压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一由直线和圆的位置关系求半径的取值范围】 1【考点二由直线和圆的交点个数求半径或距离的大小】 2【考点三直线和圆相切问题的应用】 2【考点四动点问题在直线和圆的位置关系中的拓展提高】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一由直线和圆的位置关系求半径的取值范围】【例题1】如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等面积法算出坐标原点到直线的距离，根据圆与直线有交点可判断圆半径范围；【详解】

解：过原点作交于点C，直线与坐标轴的交点为A、B两点，令解得，故A点坐标为：令解得，故B点坐标为：故直线到坐标原点的距离为：，直线与圆有公共点，故；故选：C．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．【变式1】已知中，，、．以C为圆心作，如果圆C与斜边有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（）A． B． C． D．．【答案】C【分析】作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有两个公共点，即可得出的取值范围．【详解】解：作于，如图所示：，，，，∵的面积，，即圆心到的距离，，以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，若与斜边有两个公共点，则的取值范围是．故选：C．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．4．中，，，，若以点C为圆心，以r为半径的圆与所在直线相交，则r可能为（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】D【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出，再利用面积法求出的长，即可得到答案．【详解】解：如图，中，，，，∴，∵，∴，∴当时，以点C为圆心r为半径的圆与所在直线相交，故选：D．．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积法求斜边上的高线，直线与圆的位置关系，理解以点C为圆心r为半径的圆与所在直线相交先求出最短距离进行判断是解题的关键．5．已知，以点为圆心，以为半径画圆，以点为圆心，半径为，画圆已知与外离，则的取值范围为（）A．0 B．0 C．0 D．0【答案】C【分析】设半径为，则cm，根据两圆外离的条件得到，从而得到的范围．【详解】解：设半径为，则，与外离，，，即，，故选：C．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为、两圆的半径分别为，两圆外离；两圆外切；两圆相交；两圆内切；两圆内含．【考点二由直线和圆的交点个数求半径或距离的大小】【例题2】已知⊙O的半径为4，点O到直线l的距离为d若直线l与⊙O的公共点的个数为2个则d的值不能为（）A．0 B．2 C．3 D．5【答案】D【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．【详解】解：∵直线l与⊙O公共点的个数为2个，∴直线l与⊙O相交，∴d＜半径＝4，故选D．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交则d＜r②直线l和⊙O相切则d＝r，③直线l和⊙O相离则d＞r．【变式1】已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】A【分析】根据题意得点到直线的距离小于圆的半径，即可解答．【详解】∵的半径为5，直线与有2个公共点，∴点到直线的距离．故选：A．【点睛】本题考查了点、直线、圆的位置关系．熟练掌握直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，是解题的关键．【变式2】已知的斜边，直角边．以点C为圆心，当半径r取值_____时，与边只有一个公共点．【答案】或【分析】分当圆和斜边相切和当圆和斜边相交两种情况求解即可．【详解】如图，∵斜边，直角边，∴．当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高；当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则．故答案为或．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，在解答此题时要注意分两种情况讨论，不要漏解．【变式3】如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是．【答案】【分析】过M作于H，根据直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论．【详解】解：过M作于H，如图所示：∵，，∴，∵，与线段有交点，∴r的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离．【考点三直线和圆相切问题的应用】【例题3】如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点．若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】由题意得，是直角三角形，设OA=x，则OB=x，在中，，根据勾股定理得，，解得，即可得．【详解】解：由题意得，，，，∴是直角三角形，设OA=x，则OB=x，在中，，根据勾股定理得，解得，则半径OA的长为，故选B．【点睛】本题考查了圆，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点【变式1】如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（

）A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0)或（-6，0）【答案】D【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解．【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示：∵∴，，是等腰直角三角形，∴∵∴是等腰直角三角形，∴⊙M与直线AB相切于点A∵∴∴圆心M的坐标为；②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作于点C，如下图所示：∵⊙M与直线AB相切，∴根据直线AB的解析式：可知∴是等腰直角三角形∴∵∴圆心M的坐标为，综上所述：圆心M的坐标为或，故选：D．【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键．【变式2】如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为___________．【答案】（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）【详解】当⊙P与x轴相切时可求得P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．【解答】解：∵⊙P与x轴相切，∴P到x轴的距离等于半径1，∴点P的纵坐标为1或﹣1，当y＝1时，代入可得1＝x2﹣1，解得x＝2或x＝﹣2，此时P点坐标为（2，1）或（﹣2，1）；当y＝﹣1时，代入可得﹣1＝x2﹣1，解得x＝0，此时P点坐标为（0，﹣1）；综上可知P点坐标为（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1），故答案为：（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）．【点睛】此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．【变式3】已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作，(1)当半径为何值时，与直线相切；(2)当半径为何值时，与直线相切；(3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离。【答案】(1)当半径为3时，与直线相切(2)当半径为2.4时，与直线相切(3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可；（2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求；（3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可．【详解】（1）解：∵四边形为矩形，∴，∴，，∵圆心到边的距离为，与直线相切，∴，则当半径为3时，与直线相切；（2）连接，过作，交于点，∵在中，，，∴，又∵，∴圆心到边的距离，又与直线相切，∴，则当半径为2.4时，与直线相切；（3）∵与直线相交，圆心到边的距离为，∴，又与直线相离，圆心到的距离为，∴，则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离．【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键．【考点四动点问题在直线和圆的位置关系中的拓展提高】【例题4】如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（

）A．6 B． C．5 D．【答案】B【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可知圆C上点到直线y=x-3的最短距离是，由此求得答案．【详解】解：∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴当x=0时，y=-3；y=0时，x=4∴OB=3；OA=4由勾股定理得，∵C（0，1）∴∴BC=OB+OC=3+1=4过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，∴5×CM=16，∴CM=，∴圆C上点到直线y=x-3的最小距离是，∴△PAB面积的最小值是×5×=，故选：B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离．【变式1】如图，等腰中，是腰上的高，点O是线段上一动点，当半径为的与的一边相切时，的长为________．【答案】或．【分析】作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质可得HC的长，再利用三角函数可得DC，根据勾股定理得到BD的长，根据半径为的⊙O与△ABC的一边相切，分三种情况讨论根据相似三角形的性质求解即可得到结论．【详解】解：如图，作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴HC＝3，∵∠AHC＝90°，AC＝5，∴cosC，∴DC，∴BD，①⊙O与AC相切时，切点为D，∵半径为，∴OD，∵BD，∴OB＝BD﹣OD；②⊙O与BC相切时，切点为M，∴OM⊥BC，∴∠BMO＝∠BDC＝90°，∵∠MBO＝∠DBC，∴△MBO∽△DBC，∴，∴，∴BO；③⊙O与AB相切时，切点为N，∴ON⊥AB，∴∠BNO＝∠BDA＝90°，∵∠NBO＝∠DBA，∴△NBO∽△DBA，∴，∴，∴BO．当圆O与AB相切时，OB的长为，∵BD，∵，也就是说，圆O与AB相切，是圆心O在线段BD外即在直线BD上的时候，不符合题意，故答案只有两种情况，即圆O与AC，AB相切时．综上所述，AP的长为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．【变式2】如图，直线与轴、轴分别相交于A、B两点，点，点，圆心的坐标为，圆与轴相切于点．若将圆沿轴向左移动，当圆与线段有公共点时，令圆心的横坐标为，则的取值范围是___________．

【答案】【分析】根据题意可得，进行分类讨论：①当点P在点A右边，且与线段只有一个交点时，；②当点P在点A左边，且与线段只有一个交点时，与线段相交于点A．【详解】解：∵点，点，∴，∴，∴，当点P在点A右边，且与线段只有一个交点时，如图中：∵与线段只有一个交点，∴，∴，则；当点P在点A左边，且与线段只有一个交点时，如图中：∵与线段只有一个交点，∴与线段相交于点A，∴，，则；综上：的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了切线的定义，解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法和步骤，圆与直线的位置关系．【过关检测】一、单选题1．在中，，，，以点C为圆心，2为半径作，直线与的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交【答案】C【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形．熟记相关结论即可．若⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，当时，直线与⊙O相切；当时，直线与⊙O相交；当时，直线与⊙O相离．【详解】解：作，如图所示：

∵，，∴∴故直线与的位置关系是相交故选：C2．已知与直线相交，且圆心O到直线的距离是方程的根，则的半径可为（

）．A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】D【分析】根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得，又因为圆心O到直线的距离是方程的根，解得即可得到答案．【详解】∵圆心O到直线的距离是方程的根，∴，∵与直线相交，∴∴，故选：D．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系及解一元一次方程的知识，熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系，同时注意圆心到直线的距离是非负数是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为2，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作于，过点作轴于，交于，连接．分别求出、，相加即可．【详解】解：过点作于，过点作轴于，交于，连接．，，半径为2，，，根据勾股定理得：，点在直线上，，，，是等腰直角三角形，，，，，．的圆心是，．故选：C．【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．4．圆的最大的弦长为12cm，如果直线与圆相离，且直线与圆心的距离为d，那么（）A．d＜6cm B．6cm＜d＜12cm C．d>6cm D．d＞12cm【答案】C【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．圆最长弦为12，则可知圆的直径为12，那么圆的半径为6．至此可确定直线与圆相离时，d的取值范围．【详解】解：由题意得，圆的直径为12，那么圆的半径为6．则当直线与圆相离时，直线与圆心的距离d>6cm．故选：C．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．二、填空题5．在中，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是_________．【答案】或【分析】分两种情况，①相切，画出符合条件的图形，然后根据切线性质和三角形的面积即可求出答案；②相交，画出图形如图所示，进而确定R的取值范围，从而使问题得解．【详解】∵∴，分为两种情况：①如图1，当与相切时，只有一个公共点，则．

由三角形的面积公式得：，∴，∴，即．②如图2，当时，与只有一个公共点，

故答案为：或．【点睛】本题侧重考查直线与圆的位置关系类型的习题，解决本题需要掌握直线与圆的位置关系等有关知识．6．的半径为，点到直线的距离为，是关于的方程的两个根，当直线和相切时，的值为_________．【答案】【分析】由相切可知，则有一元二次方程有两个相等的实数根，其判别式为0，可得到关于m的方程，可求得m的值．【详解】∵直线和相切，∴∵是关于的方程的两个根，∴关于的方程有两相等实数根，∴，即，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查切线的性质及一元二次方程根的判别式，由相切的性质得到，得出一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．7．在Rt△ABC中，，，，若以点C为圆心，r为半径的圆与边所在直线相离，则r的取值范围为；若与边只有一个公共点，则r的取值范围为________．【答案】或【分析】如图，作于．利用勾股定理求出，再利用面积法求出即可判断．【详解】解：如图，作于．在中，∵，，，∴，∵，∴，∵以点为圆心，为半径的圆与边所在直线相离，∴的取值范围为，∵与边只有一个公共点，∴的取值范围为或，故答案为：，或．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．如图，在中，，，，点O在边上，且，以点O为圆心，r为半径作圆，如果与的边共有4个公共点，那么半径r取值范围是_________.【答案】【分析】利用勾股定理求出，，作交于点D，以O为圆心作圆，结合图形可知：的时候，交点为4个．【详解】解：∵，，，∴，∵，∴，，作交于点D，以O为圆心作圆，如图：∵，，∴，∴，即解得：，结合图形可知：当半径等于3的时候，交点为3个，当半径等于5的时候，交点为A、E、F3个，当的时候，交点为4个，∴半径r取值范围是．故答案为：【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，圆的性质，解题的关键是作出图形，结合图形分析求解．9．如图，在中，为边上的中线，，以点为圆心，r为半径作．如果与中线有且只有一个公共点，那么的半径r的取值范围为__________．【答案】或/或【分析】根据直线与圆的位置关系，判断出符合题意的的半径r的取值范围的临界值并求解即可；【详解】解：在中，为边上的中线，，∴，∵，∴，∴，∴边的高，∵与中线有且只有一个公共点，∴的半径的取值范围为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的面积、直角三角形斜边上的中线、解直角三角形等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由三角函数求出BC是解决问题的关键．10．以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为______．【答案】或【分析】作轴，连结，根据勾股定理计算出，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的的取值为且．【详解】作轴，连结，如图，∵点的坐标为，∴，，∴，∵以点为圆心，为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，∴过点或者与轴相切，∴或．故答案为或．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为：①直线和相交⇔；②直线和相切⇔；③直线和相离⇔．也考查了坐标与图形性质．11．已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为_______个．【答案】3【分析】根据平行线间的距离处处相等，先过点D作，即可求得上到直线l的距离为3的点的个数．【详解】解：如图，∵的半径为7，点O到直线l的距离为4，即，∴，在上截取，