2022优化方案高考总复习数学理科（江苏专用）位置关系的向量解法

第七节位置关系的向量解法第七节位置关系的向量解法考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：直线l上的向量a(a≠0)以及与a共线的非零向量叫做直线l的方向向量，空间中任意一条直线l的位置可由l上的一个定点A以及直线l的__________a确定．(2)平面的法向量：已知平面α，如果非零向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量．方向向量2．用向量方法研究平行关系空间图形的平行关系包括直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行，它们都可以用向量方法来研究．(1)证明两条直线平行，只要证明这两条直线的方向向量是____________．共线向量(2)证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量______；②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量是______________；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是______________．垂直共线向量共面向量(3)证明面面平行的方法：①转化为___________、___________处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量．3．用向量方法研究垂直关系空间的线线、线面、面面垂直关系，都可转化为空间两个向量的垂直问题来解决．(1)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量_______．线线平行线面平行垂直(2)证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是________________．②证明直线与平面内的____________________．(3)证明面面垂直的方法：①转化为线线垂直、线面垂直．②证明两平面的法向量垂直．共线向量两不共线的向量垂直课前热身1．已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．2．已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P的坐标是(x,0，y)，若PA⊥面ABC，求点P的坐标．3．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，求a·b为邻边的平行四边形的面积．考点探究·挑战高考利用空间向量证明平行问题考点一考点突破(1)证明直线与直线平行的方法是：若直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2⇔v1∥v2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种：若直线l的方向向量为v，平面α内的两个不共线向量是v1和v2，平面α的法向量为n，则：①l∥α⇔存在实数x，y，使v＝xv1＋yv2；②l∥α⇔v⊥n.(3)证明平面与平面平行的方法是转化为直线与直线平行和直线与平面平行，然后利用向量方法证明．也可以用如下方法：若平面α和β的法向量分别为n1和n2，则α∥β⇔n1∥n2.例1

四棱锥P－ABCD中，PC⊥面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，CD∥AB，AB＝4.CD＝1，点M在PB上，点MB＝3PM，PB与平面ABC成30°角．求证：CM∥面PAD.【证明】以CD，CB，CP分别作为x，y，z轴，建立坐标系如图所示．∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC即为PB与平面ABC所成的角，即∠PBC＝30°.∵PC＝2，利用空间向量证明垂直问题考点二(1)证明直线与直线垂直的方法是：若直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)证明直线与平面垂直的方法是：若直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔v∥n.(3)证明平面与平面垂直的方法是：若平面α和β的法向量分别为n1和n2，则α⊥β⇔n1⊥n2.例2

已知空间四边形OABC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别为OA，BC的中点，G为MN的中点．求证：OG⊥BC.例3【思路分析】

利用向量法以A为坐标原点，建立空间直角坐标系．用空间向量解决综合问题考点三例4方法感悟方法技巧1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”(1)两种思维方法用空间向量解决立体几何问题，有两种基本思维：一种是利用空间向量表示几何量，利用向量的运算进行判断，此种方法不需要建系；另一种是用空间向量的坐标表示几何量，利用向量的坐标运算进行判断，此种方法需要建系．(2)“三步曲”①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题．③把向量运算的结果“翻译”成相应的几何意义，即回归到图形问题．2．利用向量研究空间中的位置关系位置关系判断方法线线位置关系直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2).(1)如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔u1＝ku2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)；(2)如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.线面位置关系直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)．(1)若l∥α，则u⊥n⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0；(2)若l⊥α，则u∥n⇔u＝kn⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．面面位置关系平面α的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为u2＝(a2，b2，c2)．(1)若α∥β，则u1∥u2⇔u1＝ku2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)；(2)若α⊥β，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.失误防范1．空间向量的坐标法关键在建系找点上，建系易建成非标准的空间坐标系，因而造成点的坐标中横、纵、竖坐标颠倒顺序．注意：江苏通常要求建立“右手系”．2．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何定理．如果证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．考向瞭望·把脉高考考情分析空间向量是解决立体几何的工具，因而在高考中有关立体几何问题的解决方法中常会提供向量解法．由于必修部分的立体几何降低了学习要求，因而，利用空间向量的概念与运算，作为工具探求或验证空间线面间的平行或垂直关系，将会是考查的重点．预测2012年江苏高考在附加题部分出现以立体几何为载体，考查空间向量的试题的可能性较大，题目将有一定的综合性，兼顾考查空间想象力，运算求解能力和推理论证能力．规范解答例(本题满分14分)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的余弦．名师预测1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ与异面