【2022届高考数学一轮复习】《函数的奇偶性与周期性》

-1-第3讲函数的奇偶性与周期性解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性．-1-基础自查1．偶函数、奇函数的概念设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是

；如果对于任意的x∈A，都有

，那么称函数y＝f(x)是奇函数．2．函数奇偶性的概念如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有．f(－x)＝－f(x)偶函数奇偶性-1-3．偶函数、奇函数图象的性质偶函数的图象关于对称，奇函数的图象关于

对称．4．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性的函数，其定义域关于原点．5．周期函数的概念对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足

，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的．y轴原点对称f(x＋T)＝f(x)最小正周期联动思考想一想：奇函数、偶函数的定义域有什么特点？答案：关于原点对称议一议：周期函数的定义域能是有限集吗？答案：周期函数的定义域不能是有限集．-1-联动体验1．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x取值范围是________．解析：由函数f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增可得f(|2x－1|)<f，即得|2x－1|<，解得x∈.

答案：2．对任意实数x，下列函数中是奇函数的是________．①y＝2x－3；②y＝－3x2；③y＝ln5x；④y＝－|x|cosx.

答案：③3．(2010·南京调研测试)已知y＝f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在

[0，＋∞)上单调递增，则下列不等式f(2x)≤f(x＋1)上的解集为________．答案：-1-4．定义在R上的奇函数f(x)的周期为2，则f(2)＝________.

解析：由f(－0)＝－f(0)得f(0)＝0，∴f(2)＝f(0)＝0.

答案：05．若f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，f(－2)＝10，则f(2)＝________.

解析：令g(x)＝x5＋ax3＋bx

则g(－x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，f(x)＝g(x)－8∴f(－2)＝g(－2)－8，f(2)＝g(2)－8∴f(－2)＋f(2)＝－16，∴f(2)＝－16－f(－2)＝－26.

答案：－26-1-考向一函数奇偶性的判定-1--1-反思感悟：善于总结，养成习惯判定函数的奇偶性首先要判定函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数．若对称，再判断f(－x)与f(x)之间的关系，(1)若f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则f(x)为奇函数；

(2)若f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则f(x)为偶函数；

(3)若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数(其解析式为f(x)＝0)；

(4)若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．-1--1-考向二函数的奇偶性与单调性【例2】设a，b∈R，且a≠2，定义在区间(－b，b)内的函数f(x)＝lg

是奇函数．

(1)求b的取值范围；

(2)讨论函数f(x)的单调性．解：(1)f(x)＝lg(－b<x<b)是奇函数等价于：对任意x∈(－b，b)都有

①式即为由此可得＝，也即a2x2＝4x2，即(a2－4)x2＝0，此式对任意x∈(－b，b)都成立相当于a2＝4，因为a≠2，所以a＝－2.

代入②式，得>0，即－<x<

.

因此对任意x∈(－b，b)都成立相当于－≤－b<b≤，故得b∈.-1-反思感悟：善于总结，养成习惯1．已知奇偶性求参数范围时，利用函数奇偶性的定义，化简成含x的式子与含参数的式子相乘的形式，令含参数的式子为零求得参数，注意检验参数值是否符合题意．2．奇函数在两个对称区间上单调性相同，偶函数在两个对称区间上单调性相反．迁移发散2．已知(x＋2y)5＋x5＋2x＋2y＝0，试求(x＋y)2012的值．解：已知条件变形为(x＋2y)5＋(x＋2y)＝－(x5＋x)．①根据①式的结构特征，可构造函数f(t)＝t5＋t，则f(t)是奇函数．于是①式可写成f(x＋2y)＝－f(x)＝f(－x)．②又因f(t)是增函数，由②得x＋2y＝－x，即x＋y＝0.故(x＋y)2012＝0.-1-考向三函数的奇偶性与周期性【例3】已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2012]上的所有x的个数．(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．-1--1-反思感悟：善于总结，养成习惯求函数周期的方法．求一般函数周期常用递推法和换元法，形如

y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝计算．递推法：若f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴周期T＝4.

换元法：若f(x＋2)＝f(x－2)令x＋2＝t，x＝t－2，∴f(t)＝f(t－4)，∴周期T＝4.迁移发散3．(原创题)(2010·江苏镇江)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则

f(－2011)＋f(2012)的值为________．解析：f(－2011)＋f(2012)＝f(2011)＋f(2012)＝f(1)＋f(0)＝log2(1＋1)＋

log21＝1.

答案：1-1-课堂总结感悟提升1．奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变形式：

f(－x)＝±f(x)⇔2．奇函数的图象关于原点对称，并且在关于原点对称的区间上有相同的单调性．偶函数的图象关于y轴对称，并且在关于原点对称的区间上的单调性相反．3．函数的奇偶性是整个定义域上的性质，因此，讨论奇偶性首先要看其定义域．4．解题中要注意以下性质的灵活运用：

(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；(2)若奇函数f(x)在x＝0时有定义，则f(0)＝0.-1-5．函数的周期性是函数的重要性质，判断、证明和应用函数的周期性是对函数考查的重点和难点，解决此类问题的关键是从周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化．6．常用结论

f(x＋a)＝－f(x)⇒f(x)的周期T＝2a.f(x＋a)＝－⇒f(x)的周期