【2022届完美领航一轮复习】四种命题与充要条件

§1.2四种命题与充要条件

目录命题中要掌握的是：分清条件与结论，四种命题的形式．及真假关系，不可太深入，而充分条件与必要条件，必须加强，从集合的角度，逻辑的角度等多角度衡量，使学生体会，认识理解．自主·基础构建导学建议1．命题用语句、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题．2．四种命题(1)四种命题：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若﹃p，则﹃

q；逆否命题：若﹃

q，则﹃

p.知识梳理(2)四种命题的关系：原命题为真，它的逆否命题为真，但它的逆命题与否命题不一定为真．原命题与它的逆否命题同真同假，是等价命题；否命题与逆命题也同真同假，也是等价命题．3．充分条件，必要条件与充要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．若p⇔q，则p与q互为充要条件．若p⇒_q，且q⇒p，则p是q的既不充分又不必要条件．(2)设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B.①若A⊆B，则p是q的充分条件．②若A＝B，则p是q的充要条件．③若AB，则p是q的充分不必要条件．④若BA，则p是q的必要不充分条件．⑤若AB且B

A，则p是q的既不充分又不必要条件．(3)若原命题的充要关系不易判断时，可考虑它的等价命题，利用互为逆否关系的两个命题同真假来判断：①﹃

p⇒﹃

q等价于q⇒p；②﹃

q⇒﹃

p等价于p⇒q.1．有三个语句：(1)x＜2；(2)x2－1＝0；(3)x2＜0(x∈R)，其中是命题的为(

)A．(1)(2)

B．(1)(3)C．(2) D．(3)【解析】只有(3)是能判断真假的陈述句．【答案】

D达标自测2．“x＞1”是“x2＞x”的(

)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由x＞1⇒x2＞x，由x2＞x⇒x＜0或x＞1，故“x＞1”是“x2＞x”的充分而不必要条件．【答案】

A3．①p：四边形是平行四边形，q：四边形是正方形，则q是p的________条件；②p：x＞0，q：x≥6，则p是q的________条件；③p：m＜－2，q：关于x的方程x2－x－m＝0无实根，则q是p的________条件；【解析】①由下图可知，BA，故q是p的充分不必要条件．②设A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≥6}，由上图可知，BA，故p是q的必要不充分条件．③设A＝{m|m＜－2}，B＝{m|x2－x－m＝0无实根}＝{m|Δ＝1＋4m＜0}＝{m|m＜－}，∴AB，故q是p的必要不充分条件．【答案】①充分不必要；②必要不充分；③必要不充分4．分别写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断真假．【解析】逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0，为真命题；逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0，为真命题． 【交流感悟】________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型一是基础，一定要和课本结合．类型二、三是常考类型，高考题主要集中在这种类型上，老师应加强训练，适当的时候，多增加几个针对性训练，使学生体会充分条件、必要条件的用处、充分与必要条件必须要注意，知识细节问题，以及隐含条件，这是易错处．互动·方法探究导学建议类型一四种命题及其真假【温馨提示】首先要分清楚命题的条件与结论，最好把原命题写成“若p则q”的形式，原命题的其他命题都可依次写出，四种命题关系为：互为逆否命题的两命题同真同假典例研习

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除．【切入思维】(1)改成“若p则q”形式为：若两三角形全等，则它们一定相似．(2)问改写成：若一个自然数末位数为0，则它一定能被5整除．例1【解答】(1)逆命题：若两个三角形相似，则一定全等，逆命题为假．否命题：若两个三角形不全等，则一定不相似，否命题为假．逆否命题：若两个三角形不相似，则一定不全等，逆否命题为真．(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则末位数字是零，逆命题为假．否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则不能被5整除，否命题为假．逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则末位数字不是零，逆否命题为真．【点评】命题中的条件与结论不是非常明晰时，一定要把命题写成“若p则q”形式．【变式与思考】原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题个数可以有多少个？【提示】可以有0,2,4个．类型二充分条件与必要条件【温馨提示】判断p是q的什么条件，主要根据定义，但也有一些常用方法．①小范围推大范围，A⊆B，x∈A⇒x∈B；②正难则反，若正面不易得出p⇒q，则可以推导綈q⇒綈p，对于含有“至少”或“至多”字眼时常用此方法．

指出下列命题中，p是q的什么条件(在”充分不必要条件”、“必要不充分条件”、充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB；(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.【切入思维】主要看：p、q谁能推出谁．【解答】(1)在△ABC中，A＝B⇒sinA＝sinB，反之，若sinA＝sinB，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件．例2(2)易知，﹃

p：x＋y＝8，﹃

q：x＝2且y＝6，显然﹃

q⇒﹃

p，但﹃

p⇒﹃

q，即﹃

q是﹃

p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．(3)条件p：x＝1，且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q⇒p，故p是q的充分不必要条件．【点评】(2)问用正难则反的方法，(3)是小范围推导大范围．【变式与思考】①问中：改为在△ABC中，p：A>B，q：sinA>sinB.类型三充分条件与必要条件的综合运用【温馨提示】证明充要条件，只要条件与结论相互推出即可．

(12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q.求证数列{an}成等比数列的充要条件是p≠0且p≠1且q＝－1.【切入思维】由充要条件的定义，可先由p≠0且p≠1且q＝－1⇒{an}是等比数列即为充分性；再由{an}是等比数列⇒Sn＝pn＋q即为必要性．例3【证明】先证必要性．当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1≠0，∴p≠0，p≠1，∴当n≥2时，{an}是等比数列.3分要使{an}(n∈N＋)是等比数列，即(p－1)p＝p(p＋q)，∴q＝－1.6分再证充分性当p≠0，p≠1，且q＝－1时，Sn＝pn－1，∴S1＝p－1，即a1＝p－1，又n≥2时，an＝Sn－Sn－1，∴an＝(p－1)pn－1(n≥2)，9分又n＝1时也满足，

【点评提升】本题可作为已知小结论使用，充分条件与必要条件只是工具，经常与其他知识结合．用充分，必要的观点考查知识间的联系，能认识问题，理清关系．

求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．同类训练例高考排雷【剖析】导致判断错误的原因是忽略题目中的隐含条件，扩大了x的范围．在有关充分条件和必要条件的判断推理中，需注意隐含条件是否会对结果造成影响．1．(2010年·天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(

)A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数三年高考【解析】原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是B选项．【答案】

B【考题赏析】容易题，结合奇函数，考查否命题概念．2．(2010年·北京)a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的(

)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝x2a·b＋xb2－xa2－a·b＝x2a·b＋x(b2－a2)－a·b.充分性：∵a⊥b，∴a·b＝0，∴f(x)＝x(b2－a2)，若|a|≠|b|，则f(x)是一次函数，若|a|＝|b|，则f(x)是常数函数，∴充分性不成立．必要性：∵f(x)是一次函数，∴a·b＝0且b2－a2≠0，∴a⊥b且|b|≠|a|，∴必要性成立，故选B.【答案】

B【考题赏析】向量与函数结合，用充分必要条件的角度，考查两者关系．知识结合的比较严密平滑．3．(2010年·陕西)对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的(

)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】∵an＋1>|an|，a2＞|a1|，∴a2＞0，a2＞a1，当n≥2时，∴an>0，∴an＋1>|an|⇒an＋1＞an⇒{an}单调递增，∴an＋1>|an|是{an}为递增数列的充分条件．【答案】

B【考题赏析】an＋1>|an|⇒an＋1>an，但是由an＋1>an⇒

an＋1>|an|.考查知识细节，注意知识严密性．感悟提升1．命题真假的判断等问题往往会将所学习过的知识综合起来，既考查对命题等概念的理解，又考查相应的数学知识，是高考的热点题型，解决这类问题时，一定要掌握相关的数学知识．2．由于互为逆否命题的两个命题之间是等价的，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明其逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．通过证明逆否命题成立而证明原命题成立的几种类型有：(1)原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等；(2)原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少”、“至多”等；(3)原命题分类复杂，逆否命题分类简单的；(4)原命题化简复杂，逆否命题化简简单的．3．充分条件与必要条件的