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文档简介
-1-第3讲简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(对真值表不作要求).-1-基础自查1.命题中的“或”“且”“非”称为
,2.全称量词“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为
,通常用符号“
”表示“对任意x”,含有全称量词的命题称为
,表示为:∀x∈M,p(x).全称量词全称命题逻辑联结词∀x-1-3.存在量词“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为
,通常用符号“∃x”表示“存在x”.含有存在量词的命题称为
,表示为:∃x∈M,p(x).4.含有一个量词的否定(1)“∀x∈M,p(x)”的否定为“
”.
(2)“∃x∈M,p(x)”的否定为“
”.
存在量词存在性命题∃x∈M,綈p(x)∀x∈M,綈p(x)联动思考想一想:全称命题与存在性命题的否定有什么关系?答案:全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.议一议:命题“三角形的内角和等于180°”是全称命题还是存在性命题?答案:全称命题-1-联动体验1.(2010·南师附中高三月考)判断下列命题是全称命题还是存在性命题:
(1)下列语句:①有一个实数a,a不能取对数;②所有不等式的解集A,都有A⊆R;③三角函数都是周期函数吗?④有的向量方向不定.其中是存在性命题的序号为________.
(2)命题“有一个钝角三角形,它的内角和大于180°”是________命题.解析:(1)根据全称命题和存在性命题的定义可知①、④为存在性命题;
②是全称命题;③不是命题.答案:(1)①④
(2)存在性-1-2.(2010·苏州中学测试)命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是________.解析:“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”等价于关于x的不等式x3-x2+1≤0恒成立,其否定为:x3-x2+1≤0不恒成立,即存在x∈R,使得x3-x2+1>0成立.答案:存在x∈R,x3-x2+1>03.(2010·连云港模拟)对于下列命题:①∀x∈R,-1≤sinx≤1,②∃x∈R,sin2x+cos2x>1,其中正确的个数是
________个.解析:对于①,由于|sinx|≤1⇔-1≤sinx≤1,故①正确.对于②,由平方关系
sin2x+cos2x=1对于任意x∈R都成立知②错误.答案:14.(2010·江苏淮安十校联考)下列命题的否定是真命题的有________个.①p:∀x∈R,x2-x+≥0;②q:所有的正方形都是矩形;③r:∃x∈R,x2+2x+2≤0;④s:至少有一个实数x,使x2-1=0.
解析:①②④都是真命题,③为假命题,这些命题的否定只有一个真命题.答案:15.(2010·扬州中学高三考试)已知命题p:∀x∈R,sinx≤1,则綈p为________.答案:∃x∈R,sinx>1-1-考向一判断含有逻辑联结词的命题的真假
【例1】指出下列命题的真假:(1)命题:“不等式|x+2|≤0没有实数解”;(2)命题:“-1是偶数或奇数”;(3)命题:“属于集合Q,也属于集合R”.解:(1)此命题是“綈p”的形式,其中p:不等式|x+2|≤0有实数解.因为x=-2是该不等式的一个解,所以命题p为真命题,即綈p为假命题.所以原命题为假命题.(2)此命题是“p∨q”的形式,其中p:-1是偶数,q:-1是奇数,因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以“p∨q”为真命题,故原命题为真命题.(3)此命题为“p∧q”的形式,其中p:∈Q,q:∈R,因命题p为假命题,命题q为真命题,所以“p∧q”为假命题.故原命题为假命题.-1-反思感悟:善于总结,养成习惯1.命题p且q.记作p∧q.“p∧q”的真假判定,只有当p、q都为真时,p∧q才为真,其他三种情况都为假.2.命题p或q.记作p∨q.命题“p∨q”的真假判定,只有当p、q都为假时,
p∨q才为假,其他三种情况都为真.3.“非”(否定).记作綈p,p与綈p的真假不同,一个为真,另一个必定为假,可类比集合中的补集加以理解.迁移发散1.分别写出由下列各组命题构成的“p或q”,“p且q”,“非p”形式的新命题,并判断其真假.
(1)p:3是9的约数,q:3是18的约数;
(2)p:菱形的对角线一定相等,q:菱形的对角线互相垂直;
(3)p:π是有理数,q:π是无理数.-1-解:(1)p或q:3是9的约数或是18的约数.真;p且q:3是9的约数且是18的约数.真;非p:3不是9的约数.假.(2)p或q:菱形的对角线一定相等或互相垂直.真;p且q:菱形的对角线一定相等且互相垂直.假;非p:菱形的对角线不一定相等.真.(3)p或q:π是有理数或是无理数.真;p且q:π是有理数且是无理数.假;非p:π不是有理数.真.-1-考向二全称命题与存在性命题【例2】(2010·常州模拟)判断下列命题是否是全称命题或存在性命题,若是,用符号表示,并判断其真假.(1)有一个实数α,sin2α+cos2α≠1;(2)任何一条直线都存在斜率;(3)所有的实数a,b,方程ax+b=0恰有唯一解;(4)存在实数x,使得=2.解:(1)存在性命题,用符号表示为:∃α∈R,sin2α+cos2α≠1,假命题.(2)全称命题,用符号表示为:∀直线l,l存在斜率,假命题.(3)全称命题,用符号表示为:∀a,b∈R,方程ax+b=0恰有唯一解,假命题.(4)存在性命题,用符号表示为:∃x∈R,=2,假命题.-1-反思感悟:善于总结,养成习惯1.要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立.2.要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使p(x0)
不成立即可.3.要判断一个存在性命题是真命题,只要在限定的集合M中,至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一存在性命题就是假命题.-1-迁移发散2.判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并判断其真假.(1)对数函数都是单调函数;(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;(3)∀x∈{x|x是无理数},x2是无理数;(4)∃x∈{x|x∈Z},log2x>0.解:(1)本题隐含了全称量词“任意的”,其实原命题应为:“任意的对数函数都是单调函数”,是全称命题,且为真命题.(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是存在性命题,且为真命题.(3)命题中含有全称量词“∀”,是全称命题,且为假命题,例如:∃x0=,但x=3是有理数.(4)命题中含有存在量词“∃”,是存在性命题,且为真命题.-1-考向三含有一个量词的命题的否定【例3】写出下列命题的非,并判断其真假:(1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;(2)q:存在一个实数x0,使得x+x0+1≤0;(3)r:等圆的面积相等,周长相等;(4)s:对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.解:(1)这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”,其否定形式是綈p:存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根.注意到当Δ=1+4m<0时,即m<-时,一元二次方程没有实数根,所以綈p是真命题.(2)这一命题的否定形式是綈q:对所有实数x,都有x2+x+1>0.利用配方法可以证得綈q是一个真命题.(3)这一命题的否定形式是綈r:“存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等”.由平面几何知识知綈r是一个假命题.(4)这一命题的否定形式是綈s:存在α∈R,使sin2α+cos2α≠1.由于命题s是真命题,所以綈s是假命题.-1-反思感悟:善于总结,养成习惯对含有一个量词的命题进行否定时,首先要确定这个命题是全称命题还是存在性命题,也就是要找出语句中的全称量词、存在量词,写出命题的否定,往往要对这些量词进行否定.在对全称命题否定时,要特别注意有的全称命题省略了全称量词,所以,要判定一个命题是否是全称命题,除看它是否含有全称量词外,还要结合具体意义.-1-迁移发散3.写出下列命题的“否定”,并判断其真假.(1)p:∀x∈R,x2-x+≥0;(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:∃x∈R,x2+2x+2≤0;(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.解:(1)綈p:∃x∈R,x2-x+<0,这是假命题,因为∀x∈R,x2-x+
=2≥0恒成立.(2)綈q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.(3)綈r:∀x∈R,x2+2x+2>0,是真命题,这是由于∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0成立.(4)綈s:∀x∈R,x3+1≠0,是假命题,这是由于x=-1时,x3+1=0.-1-课堂总结感悟提升1.常见的全称量词有:“所有的”、“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”;常见的存在量词有:“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“某个”、“有一个”
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