演示文稿应用数理统计第二章参数估计区间估计

1应用数理统计第二章参数估计区间估计当前第1页\共有25页\编于星期四\3点定义1

设总体X的分布函数F(x;)含有一个未知参数,,对于给定值(0<<1),若由样本X1,X2,…,Xn确定的两个统计量和满足则称随机区间是的置信度为的置信区间,

和分别称为置信度为的双侧置信区间的置信下限与置信上限，称为置信水平(置信度)．2.4.1区间估计的一般步骤这种估计的方法叫做区间估计.评价一置信区间好坏的两个标准：1）精度：越小越好；2）置信度：越大越好.当前第2页\共有25页\编于星期四\3点１）当Ｘ是连续型随机变量时，对于给定的，我们总是按要求：求出置信区间．［注］２）当Ｘ是离散型随机变量时，对于给定的，常常找不到区间使得恰好为．此时我们去找使得尽可能地接近．当前第3页\共有25页\编于星期四\3点区间估计的一般步骤：1.给出“好”的点估计（按前面的标准），并知道它的分布（只依赖待估的未知参数）；2.求一个区间（参数的一个邻域）或，使得对于给定的置信水平，且一般要求区间长尽可能小。将不等式变形得到等价的形式

其中g(x)为可逆的已知函数，的分布已知且与θ无关。当前第4页\共有25页\编于星期四\3点对于给定的(0<<1),令

设总体X~N(,2),X1,X2,…,Xn是总体X的样本，求,2

的置信水平为(1)的置信区间.

2.4.2单个正态总体的情况⑴均值的置信区间(a)2为已知时,因为求得的置信度水平为(1)的置信区间:(2为已知)/2/2或X是,的无偏估计,且当前第5页\共有25页\编于星期四\3点(b)2为未知时,因为S2是2的点估计量,所以用S替换,求得的置信水平为(1)的置信区间:(2未知)/2/2当前第6页\共有25页\编于星期四\3点1)例如当=0.05

时,即1-=0.95,查表得于是得到的置信水平为0.95的置信区间:即即(4.71,5.69)这时已不是随机区间,说明的真值含在(4.71,5.69)的可信程度为95%.2)若样本值为,则得到一个置信区间3)置信水平为(1)的置信区间不唯一.如上例=0.05,可证又若=1,n=16,置信区间长度越短表示估计的精度越高.÷÷øöççèæ+-96.099.0,znXznXss当前第7页\共有25页\编于星期四\3点例1

有一大批月饼，现从中随机地取16袋，称得重量（以克计）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496，设袋装月饼的重量近似地服从正态分布，试求总体均值的置信度为0.95的置信区间。解：2未知,1-=0.95,/2=0.025,n-1=15,

由公式(2)得均值的置信度为0.95的置信区间为即（500.4,507.1）

这就是说估计袋装月饼重量的均值在500.4与507.1之间，这个估计的可信程度为95%。若以此区间内任一值作为的近似值，其误差不大于（克），这个误差估计的可信程度为95%。由已知的数据算得当前第8页\共有25页\编于星期四\3点

2的无偏估计量为S*2

，(只介绍未知的情况)当1-给定后,因为即得到方差2

的一个置信度为1-

的置信区间:(2)方差2

的置信区间标准差的一个置信度为1-

的置信区间/2/2当前第9页\共有25页\编于星期四\3点例2

有一大批糖果,现从中随机地取16袋,称得重量（以克计）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496,设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体标准差的置信度为0.95的置信区间。解：现在查表得又S*=6.2022，(4.58,9.60)得所求的标准差的置信区间为由(4)式当前第10页\共有25页\编于星期四\3点2.4.3两个正态总体参数的区间估计

[例2.27]有A、B两种牌号的灯泡各一批，A、B种灯泡的寿命是独立的且分别服从.希望通过抽样试验并进行区间估计，考察：

(ⅰ)两种灯泡的寿命是否有明显差异；(ⅱ)两种灯泡的质量稳定性是否有明显差异.

在实际中常遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标服从正态分布，但由于原料、设备条件、操作人员不同，或工艺过程的改变等因素，引起总体均值、总体方差有所改变,我们需要知道这些变化有多大，这就需要考虑两个正态总体均值差或方差比的估计问题。当前第11页\共有25页\编于星期四\3点1．两个总体均值差的置信区间

(a)

和已知,求的置信区间

相互独立由此可得的一个置信水平为的置信区间为：

设总体X~N(1,12),Y~N(2,22),X1,X2,…,Xn1是X的样本,Y1,Y2,…,Yn2是Y的样本.这两个样本相互独立，分别为第一、二个总体的样本均值与方差.当前第12页\共有25页\编于星期四\3点

(b),但为未知.从而可得的一个置信度为的置信区间为由定理1.15,时，当前第13页\共有25页\编于星期四\3点[例2.28]在例2.27中,随机选取A种灯泡5只,B种灯泡7只,做灯泡寿命实验,算得两种牌号的平均寿命分别为1000和980小时,样本方差分别为784和1024小时2.取置信度0.99,希望进行区间估计.考察：

(ⅰ)两种灯泡的寿命是否有明显差异；(ⅱ)两种灯泡的质量稳定性是否有明显差异.

当前第14页\共有25页\编于星期四\3点仅讨论总体均值1,2

为未知的情况。

(2)两个总体方差比的置信区间由于于是得的一个置信度为的置信区间为当前第15页\共有25页\编于星期四\3点例

研究由机器A和机器B生产的钢管的内径，随机抽取机器A生产的管子18只，测得样本方差；抽取机器生产的管子13只，测得样本方差。设两样本相互独立，且设由机器A、机器B生产的管子的内径分别服从正态分布，这里均未知。试求方差比的置信度为0.90的置信区间。即（0.45,2.79）由于的置信区间包含1，在实际中我们就认为两者没有显著差别。解现在当前第16页\共有25页\编于星期四\3点*单侧置信区间

定义设总体的分布函数为，其中是未知参数，为总体的样本，给定，如果存在统计量满足：，则称随机区间是的置信水平为的单侧置信区间，称为单侧置信下限，称为置信水平或置信度。如果存在统计量，满足则称随机区间是的置信水平为的单侧置信区间，称为单侧置信上限。当前第17页\共有25页\编于星期四\3点

例从某批灯泡中随机地取5只作寿命试验．测得其寿命（单位：h）如下：

10501100112012501280设灯泡的寿命服从正态分布，试求均值的置信度为0.95的单侧置信区间(θ1,+∞)．

解设灯泡寿命为，由于．由=0.95查表得，使得，即，当前第18页\共有25页\编于星期四\3点

本题中，=2.1318,因此的置信度为0.95的单侧置信区间为亦即的0.95置信下限为1065．于是得的置信度为的单侧置信区间为亦即的置信下限为..当前第19页\共有25页\编于星期四\3点记，置信水平为，则

[例2.29]

大样本场合下非正态总体均值μ的区间估计

由中心极限定理知，只要n充分大，近似地有：当已知时，的置信区间为当未知时，的置信区间为2.4.4非正态总体参数的区间估计当前第20页\共有25页\编于星期四\3点X1,X2,…,Xn(n>50)是X的大样本，求p的置信度为(1)

的置信区间.2.4.4非正态总体参数的区间估计[例2.30]设总体X~b(1,p),p为未知参数,X的分布律为由中心极限定理，知已知(0-1)分布的均值和方差分别为于是有近似N(0，1)当前第21页\共有25页\编于星期四\3点记而不