人教A版必修第二册621向量的加法运算作业

课时作业(二)向量的加法运算一、选择题1．(多项选择)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＝a，且b是非零向量，那么以下结论正确的选项是()A．a∥b B．a＋b＝aC．a＋b＝b D．|a＋b|<|a|＋|b|答案：AC解析：∵eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＝0，∴a为零向量．∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴A，C正确，B，D错误．2．如下图的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，那么eq\o(OP,\s\up14(→))＋eq\o(OQ,\s\up14(→))＝()A．eq\o(OH,\s\up14(→)) B．eq\o(OG,\s\up14(→))C．eq\o(FO,\s\up14(→)) D．eq\o(EO,\s\up14(→))答案：C解析：设a＝eq\o(OP,\s\up14(→))＋eq\o(OQ,\s\up14(→))，利用向量加法的平行四边形法那么作出向量a，再平移即可发觉a＝eq\o(FO,\s\up14(→)).3．如图，在正六边形ABCDEF中，假设AB＝1，那么|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))|等于()A．1 B．2C．3 D．2eq\r(3)答案：B4．在平行四边形ABCD中，假设|eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))|，那么四边形ABCD是()A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不确定答案：B解析：∵四边形ABCD为平行四边形，∴eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))＝eq\o(BD,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))，又|eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))|，∴|eq\o(BD,\s\up14(→))|＝|eq\o(AC,\s\up14(→))|，∴该平行四边形ABCD为矩形．二、填空题5．某人在静水中游泳，速度为4eq\r(3)km/h.假如此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，那么此人实际沿________的方向前进，速度为________．答案：与水流方向成60°8km/h解析：如下图，∵OB＝4eq\r(3)，OA＝4，∴OC＝8，∴∠COA＝60°.即他实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8km/h.6．设|a|＝8，|b|＝12，那么|a＋b|的最大值与最小值分别为________．答案：20,47．依据图示填空，其中a＝eq\o(DC,\s\up14(→))，b＝eq\o(CO,\s\up14(→))，c＝eq\o(OB,\s\up14(→))，d＝eq\o(BA,\s\up14(→)).(1)a＋b＋c＝________.(2)b＋d＋c＝________.答案：(1)eq\o(DB,\s\up14(→))(2)eq\o(CA,\s\up14(→))8．设六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，O是它的中心，那么eq\o(OA1,\s\up14(→))＋eq\o(OA2,\s\up14(→))＋eq\o(OA3,\s\up14(→))＋eq\o(OA4,\s\up14(→))＋eq\o(OA5,\s\up14(→))＋eq\o(OA6,\s\up14(→))＝________.答案：0解析：∵eq\o(OA1,\s\up14(→))与eq\o(OA4,\s\up14(→))，eq\o(OA2,\s\up14(→))与eq\o(OA5,\s\up14(→))，eq\o(OA3,\s\up14(→))与eq\o(OA6,\s\up14(→))分别互为相反向量，∴eq\o(OA1,\s\up14(→))＋eq\o(OA2,\s\up14(→))＋eq\o(OA3,\s\up14(→))＋eq\o(OA4,\s\up14(→))＋eq\o(OA5,\s\up14(→))＋eq\o(OA6,\s\up14(→))＝0.9．假设P为△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＝eq\o(PC,\s\up14(→))，那么∠ACB＝________.答案：120°解析：由eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＝eq\o(PC,\s\up14(→))，知四边形ACBP为平行四边形，又P为△ABC外心，∴四边形ACBP为菱形，且PA＝PC＝AC，∠ACP＝60°，易得∠ACB＝120°.三、解答题10．如下图，O为正六边形ABCDEF的中心，试通过计算，用图中有向线段表示以下向量的和：(1)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))；(2)eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→))；(3)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→)).解：(1)∵四边形OABC是平行四边形，∴eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＝eq\o(OB,\s\up14(→)).(2)∵BC∥AD∥FE，BC＝FE＝eq\f(1,2)AD，∴eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AO,\s\up14(→))，eq\o(FE,\s\up14(→))＝eq\o(OD,\s\up14(→))，∴eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→))＝eq\o(AO,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→)).(3)∵|eq\o(OA,\s\up14(→))|＝|eq\o(FE,\s\up14(→))|，eq\o(OA,\s\up14(→))与eq\o(FE,\s\up14(→))反向，∴eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→))＝0.11．如图，G是△ABC所在平面内一点．求证：G是△ABC的重心的充要条件是eq\o(GA,\s\up14(→))＋eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝0.证明：(充分性)如图，以GB，GC为邻边作▱GBEC，连接GE，交BC于点M，那么M是BC的中点，也是GE的中点．由于eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝eq\o(GE,\s\up14(→))，又eq\o(GA,\s\up14(→))＋eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝0，所以eq\o(GE,\s\up14(→))＝eq\o(AG,\s\up14(→)).于是可得点G在线段AM上，且AG＝2GM，又AM是△ABC的边BC上的中线，所以G是△ABC的重心．(必要性)如图，延长AG交BC于点D，那么由G是△ABC的重心，得D是BC的中点，且AG＝2GD．延长GD到E′，使DE′＝GD，连接E′B，E′C，那么四边形GBE′C是平行四边形，所以eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝eq\o(GE′,\s\up14(→))＝－eq\o(GA,\s\up14(→))，故eq\o(GA,\s\up14(→))＋eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝0.综上，G是△ABC的重心的充要条件是eq\o(GA,\s\up14(→))＋eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝0.12．如图，向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d.(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O，作Oeq\o(A,\s\up14(→))＝a，Aeq\o(B,\s\up14(→))＝b，Beq\o(C,\s\up14(→))＝c，Ceq\o(D,\s\up14(→))＝d，那么Oeq\o(D,\s\up14(→))＝a＋b＋c＋d.(2)在平面内任取一点O，作Oeq\o(A,\s\up14(→))＝a，Aeq\o(B,\s\up14(→))＝e，那么a＋e＝Oeq\o(A,\s\up14(→))＋Aeq\o(B,\s\up14(→))＝Oeq\o(B,\s\up14(→))，由于e是单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如下图)，由图可知当点B在点B1处时，即O，A，B1三点共线时|a＋e|最大，所以|eq\o(OB1,\s\up14(→))|即|a＋e|的最大值，最大值是3.13．如图，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，a1＝eq\o(A1A2,\s\up14(→))，ai＝AiAi＋1(i＝1,2，…，7)，bj＝eq\o(OAj,\s\up14(→))(j＝1，2，…，8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.解：∵eq\o(OA3,\s\up14(→))＋eq\o(OA7,\s\up14(→))＝0，∴a2＋a5＋b2＋b5＋b7＝eq\o(A2A3,\s\up14(→))＋eq\o(A5A6,\s\up14(→))＋eq\o(OA2,\s\up14(→))＋eq\o(OA5,\s\up14(→))＋eq\o(OA7,\s\up14(→))＝(eq\o(OA2,\s\up14(→))＋eq\o(A2A3,\s\up14(→)))＋(eq\o(OA5,\s\up14(→))＋eq\o(A5A6,\s\up14(→)))＋eq\o(OA7,\s\up14(→))＝eq\o(OA3,\s\up14(→))＋eq\o(OA6,\s\up14(→))＋eq\o(OA7,\s\up14(→))＝eq\o(OA6,\s\up14(→))＝b6.14．在某次大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，用向量法求此时直升飞机与A地的相对位置．解：如下图，设eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))分别是直升飞机两次位移，那么eq\o(AC,\s\up14(→))表示两次位移的合位移，即eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\