高中数学平面向量习题及答案两份

第二章平面向量一、选择题(第1题)1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，(第1题)A．与共线 B．与共线C．与相等 D．与相等2．下列命题正确的是()．A．向量与是两平行向量B．若a，b都是单位向量，则a＝bC．若＝，则A，B，C，D四点构成平行四边形D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝a＋b，其中a，b∈R，且a＋b＝1，则点C的轨迹方程为()．A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－1)2＝5C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝04．已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是(A． B． C． D．5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则＝()．A．λ(＋)，λ∈(0，1) B．λ(＋)，λ∈(0，)C．λ(－)，λ∈(0，1) D．λ(－)，λ∈(0，)6．△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则＝()．A．＋ B．－C．＋ D．＋7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4 C8．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形(第10题)10．如图，梯形ABCD中，||＝||，∥∥则相等向量是()．(第10题)A．与 B．与C．与 D．与二、填空题11．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的．

16．设平面内有四边形ABCD和点O，＝a，＝b，＝c,＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第18题)18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于(第18题)

19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．((第19题)20．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值．

参考答案一、选择题(第1题(第1题)解析：如图，与，与不平行，与共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B不对．若＝，可能A，B，C，D四点共线，故C不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D也不对．3．D解析：提示：设＝(x，y)，＝(3，1)，＝(－1，3)，a＝(3a，a)，b＝(－b，3b)，又a＋b＝(3a－b，a＋3b)，∴(x，y)＝(3a－b，a＋3b)，∴，又a＋b＝1，由此得到答案为D．4．B解析：∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，∴(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，∴a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cosθ＝2|a|2cosθ．解得cosθ＝．∴a与b的夹角是．5．A解析：由平行四边形法则，＋＝，又＋＝，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵＝，∴＝＋＝＋．(第6题)7．C解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D解析：由·＝·＝·，得·＝·,即·(－)＝0，故·＝0，⊥，同理可证⊥，∴O是△ABC的三条高的交点．9．C解析：∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，∴∥且||≠||．∴四边形ABCD为梯形．10．D解析：与，与，与方向都不相同，不是相等向量．二、填空题11．－．解析：A，B，C三点共线等价于，共线，＝－＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)，＝－＝(－k，10)－(4，5)＝(－k－4，5)，又A，B，C三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k－4)，∴k＝－．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴＝(2，0)，又a＝，∴解得∴x＝－1．13．－25．解析：思路1：∵＝3，＝4，＝5，∴△ABC为直角三角形且∠ABC＝90°，即⊥，∴·＝0，∴·＋·＋·＝·＋·＝·(＋)＝－()2＝－＝－25．思路2：∵＝3，＝4，＝5，∴∠ABC＝90°，∴cos∠CAB＝＝，cos∠BCA＝＝．D(第13题)根据数积定义，结合图(右图)知D(第13题)·＝·cos∠ACE＝4×5×(－)＝－16，·＝·cos∠BAD＝3×5×(－)＝－9．∴·＋·＋·＝0―16―9＝－25．14．．解析：a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)．∵(a＋mb)⊥(a－b)，∴(a＋mb)·(a－b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m＝．(第15(第15题)解析：如图，以，为邻边作□AOCF交AC于点E，则＝＋，又＋＝－，∴＝2＝－．O是△ABC的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a＋c＝b＋d，∴a－b＝d－c，∴＝．∴四边形ABCD为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)．＋λ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵＝＋λ，∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴即(第18题)要使点P在第三象限内，只需解得λ＜(第18题)18．＝(，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．又D是BC的中点，∴＝(＋)＝(－4－3，－3－5)＝(－7，－8)＝(－，－4)．又M，N分别是AB，AC的中点，∴F是AD的中点，∴＝－＝－＝－(－，－4)＝(，2)．19．证明：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a．(第19题)∴·＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＋a·b．(第19题)又⊥，且＝，∴a2＝b2，a·b＝0．∴·＝0，∴⊥．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋4sinθ－4cosθ．又4sinθ－4cosθ＝8(sinθcos－cosθsin)＝8sin(θ－)，最大值为8，∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4．思路2：将向量2a，b平移，使它们的起点与原点重合，则|2a－b|表示2a，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P，b的终点是该圆上的一个定点Q，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．但具体落到实处应该是一种尊重，一种接人待物的方式方法。和文化知识有关，但不是必然，主要来自家庭的影响和后天的修为。赫本被誉为女神，不仅仅因其貌美，貌美的很多，并不能被全世界的人记住；也不是因为学历，比她学历高的比比皆是。但她用她的一生诠释了修养这个概念，她在遗言里这样说“若要优美的嘴唇，就要讲亲切的话。手不仅能解决自身问题还能帮助别人；脑不仅能原谅别人还可以让自身不断进步。我们身上每个零件都有用处，那些喜欢到处释放物质垃圾和精神垃圾的人都是不健全的。看过很多父母抱怨自己的孩子不如旁人，那就看看自己是不是样样都行，孩子其实就是站在你面前的镜子。在发成绩单时，在开家长会时，你恼怒了，你大打出手了，这恰恰暴露你精神世界的粗鄙。我倒是很感动一句话”不需要你养老，只感谢让我参与你的成长。“若要可爱的眼睛，就要看到别人的好处；若要苗条的身材，就要把你的食物分享给饥饿的人。若要美丽的秀发，在于每天有孩子的手指穿过它；若要优雅的姿态，走路时要记住行人不只你一个。人之所以为人，是必须充满精力，自我悔改，自我反省，自我成长；并非向人抱怨；当你需要帮助的时候，你可以求助于自己的双手；在年老之后，你会发现自己的双手能解决很多难题，一只手用来帮助自己，另一只用来帮助别人。这就是对修养最好的解读，也是做人的最高境界，更是心灵之美与外在之美完美的结合。并且修养之美无处不在渗透影响着你的外在之美。如果大家都能做到，那么我们都是天使。她告诉我们手是用来劳动而不是索取的，脑是用来忏悔而不是偏执的。手不仅能解决自身问题还能帮助别人；脑不仅能原谅别人还可以让自身不断进步。第二章平面向量一、选择题(第1题)1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(第1题)A．与共线 B．与共线C．与相等 D．与相等2．下列命题正确的是()．A．向量与是两平行向量B．若a，b都是单位向量，则a＝bC．若＝，则A，B，C，D四点构成平行四边形D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝＋，其中，∈R，且＋＝1，则点C的轨迹方程为()．A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－1)2＝5C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝04．已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是()A． B． C． D．5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则＝()．A．λ(＋)，λ∈(0，1) B．λ(＋)，λ∈(0，)C．λ(－)，λ∈(0，1) D．λ(－)，λ∈(0，)6．△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则＝()．A．＋ B．－C．＋ D．＋7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4 C．6 D．8．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形(第10题)10．如图，梯形ABCD中，||＝||，∥∥则相等向量是()．(第10题)A．与 B．与C．与 D．与二、填空题11．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的．

16．设平面内有四边形ABCD和点O，＝a，＝b，＝c,＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第18题)18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于(第18题)

19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．((第19题)20．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值．

参考答案一、选择题(第1题(第1题)解析：如图，与，与不平行，与共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B不对．若＝，可能A，B，C，D四点共线，故C不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D也不对．3．D解析：提示：设＝(x，y)，＝(3，1)，＝(－1，3)，＝(3，)，＝(－，3)，又＋＝(3－，＋3)，∴(x，y)＝(3－，＋3)，∴，又＋＝1，由此得到答案为D．4．B解析：∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b∴(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b2－2a·∴a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cosθ＝2|a|2cosθ．解得cosθ＝．∴a与b的夹角是．5．A解析：由平行四边形法则，＋＝，又＋＝，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵＝，∴＝＋＝＋．(第6题)7．C解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D解析：由·＝·＝·，得·＝·,即·(－)＝0，故·＝0，⊥，同理可证⊥，∴O是△ABC的三条高的交点．9．C解析：∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，∴∥且||≠||．∴四边形ABCD为梯形．10．D解析：与，与，与方向都不相同，不是相等向量．二、填空题11．－．解析：A，B，C三点共线等价于，共线，＝－＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)，＝－＝(－k，10)－(4，5)＝(－k－4，5)，又A，B，C三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k－4)，∴k＝－．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴＝(2，0)，又a＝，∴解得∴x＝－1．13．－25．解析：思路1：∵＝3，＝4，＝5，∴△ABC为直角三角形且∠ABC＝90°，即⊥，∴·＝0，∴·＋·＋·＝·＋·＝·(＋)＝－()2＝－＝－25．思路2：∵＝3，＝4，＝5，∴∠ABC＝90°，∴cos∠CAB＝＝，cos∠BCA＝＝．D(第13题)根据数积定义，结合图(右图)D(第13题)·＝·cos∠ACE＝4×5×(－)＝－16，·＝·cos∠BAD＝3×5×(－)＝－9．∴·＋·＋·＝0―16―9＝－25．14．．解析：a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)∵(a＋mb)⊥(a－b)，∴(a＋mb)·(a－b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m＝(第15题)(第15题)解析：如图，以，为邻边作□AOCF交AC于点E，则＝＋，又＋＝－，∴＝2＝－．O是△ABC的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a＋c＝b＋d，∴a－b＝d－c，∴＝．∴四边形ABCD为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)．＋λ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵＝＋λ，∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴即(第18题)要使点P在第三象限内，只需解得λ(第18题)18．＝(，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．又D是BC的中点，∴＝(＋)＝(－4－3，－3－5)＝(－7，－8)＝(－，－4)．又M，N分别是AB，AC的中点，∴F是AD的中点，∴＝－＝－＝－(－，－4)＝(，2)．19．证明：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a．(第19题)∴·＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＋a·b．(第19题)又⊥，且＝，∴a2＝b2，a·b＝0．∴·＝0，∴⊥．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋4sinθ－4cosθ．又4sinθ－4cosθ＝8(sinθcos－cosθsin)＝8sin(θ－)，最大值为8，∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b思路2：将向量2a，b平移，使它们的起点与原点重合，则|2a－b|表示2a，b终点间的距离．