2023年高等数学必背公式(数3专用)

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高等数学必背公式(数3专用)高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

2

22212211cos12sinudu

dxxtguuuxuux+==+-=+=，，，

a

xxa

aactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1

)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22=

'='?-='?='-='='2

2

22

11

)(11

)(11

)(arccos11

)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxx+-

='+=

'--

='-=

'?

?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C

axxaxdxCshxchxdxCchxshxdxC

aadxaC

xctgxdxxCxdxtgxxC

ctgxxdxxdxCtgxxdxxdxx

x

)ln(lncsccscsecseccscsinseccos222

22

22

2Ca

x

xadxCxax

aaxadxCaxa

xaaxdxCax

arctgaxadxC

ctgxxxdxCtgxxxdxC

xctgxdxCxtgxdx+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln2

2222222?

????++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-C

a

xaxaxdxxaC

axxaaxxdxaxC

axxaaxxdxaxIn

nxdxxdxInnn

narcsin22ln22)ln(221

cossin22

2222222

2222222

22

2

22

2

π

π

一些初等函数：两个重要极限：

三角函数公式：·诱导公式：

·和差角公式：·和差化积公式：

2

sin

2sin2coscos2cos

2cos2coscos2sin

2cos2sinsin2cos

2sin

2sinsinβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ

αβα-+=--+=+-+=--+=+α

ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg±?=

±?±=

±=±±=±1

)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(x

x

arthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxx

xx

xx

x-+=-+±=++=+-=

=+=

-=

11ln

21)

1ln(1ln(:2

:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim1sinlim0==+=∞→→ex

x

xxxx

·倍角公式：

·半角公式：

α

α

αααααααααααα

α

ααα

cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos12

2

cos12cos2cos12

sin-=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=ctgtg

·正弦定理：RC

c

BbAa2sinsinsin===·余弦定理：

Cabbaccos2222-+=

·反三角函数性质：arcctgxarctgxxx-=

-=

2

arccos2

arcsinπ

π

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

)

()

()()2()1()(0

)

()()

(!

)1()1(!2)1()

(nkknnnnn

kkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv+++--++''-+

'+===-∑

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf=''=

'=-)(F)

()

()()()()())(()()(ξξξ

定积分的近似计算：

???+++++++++-≈

++++-≈

+++-≈

b

a

nnnb

a

nnb

anyyyyyyyyn

a

bxfyyyynabxfyyyn

a

bxf)](4)(2)[(3)(])(2

1

[)()()(1312420220110抛物线法：梯形法：矩形法：

α

ααααααααα23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg--=

-=-=α

α

αααααααααα

αα22222212221

2sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg-=

-=

-=-=-==

多元函数微分法及应用

z

yzxyxyxyxyxFFyz

FFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyy

v

dxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuux

v

vzxuuzxzyxvyxufzt

v

vztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzz

udyyudxxududyyzdxxzdz-

=??-=??=?

-??

-??=-==??+??=??+??=

==???

??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=

，，隐函数＋，，隐函数隐函数的求导公式：

时，，当

：

多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

)

,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFv

Gu

GvF

u

Fvu

GFJvuyxGvuyxFv

uvu???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=?

??==隐函数方程组：

方向导数与梯度：

上的投影。在是单位向量。方向上的

，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。

轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflf

ljieeyxfl

fjy

fixfyxfyxpyxfzlxyf

xflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(??∴?+?=?=????+??=

=??+??=??=

????

?

多元函数的极值及其求法：

????

???

??=--=====不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx

常数项级数：

是发散的

调和级数：等差数列：等比数列：n

n

nnqqqqqn

n1

312112

)1(3211111

2

+++++=++++--=

++++-

级数审敛法：

散。

存在，则收敛；否则发、定义法：

时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：、比值审敛法：

时，不确定时，级数发散

时，级数收敛

，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUu∞

→+∞→∞

→+++=???

??=>+-+-+-+-nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu肯定收敛与条件收敛：

∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛

１时发散ｐ

级数：收敛；

级数：收敛；

发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而假如收敛级数；绝对收敛，且称为肯定收敛，则假如为随意实数；，其中11

1

)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn

幂级数：

01

0)3(lim

)3(111

1111

221032=+∞=+∞

===

≠==><+++++≥-<++++++++∞→RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnn

nnnnn时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的办法：设称为收敛半径。

，其中时不定

时发散时收敛

，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全

，假如它不是仅在原点对于级数时，发散

时，收敛于

ρρρ

ρρ

函数绽开成幂级数：

+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n

nnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!

)0(!2)0()0()0()(00

lim)(,)()!1()

()(!

)()(!2)())(()()(2022)1(00)(2

0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以绽开成泰勒级数的余项：函数绽开成泰勒级数：ξ一些函数绽开成幂级数：

)

()!12()1(!5!3sin)11(!

)1()1(!2)1(1)1(1

21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+

+=+--xnx

xxxxxxnnmmmxmmmxxnnn

m欧拉公式：

???

????-=+=+=--2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe或三角级数：

。

上的积分＝在随意两个不同项的乘积正交性：。

，，，其中，0],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1cossin)

sincos(2)sin()(00101

0ππω???ω-====++=++=∑∑∞

=∞

=nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn

???

????=====++=??∑--∞=l

lnll

nnnnndxlxnxflbndxlxnxflal

l

xnblxnaaxf)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(12)sincos(2)(10其中，周期ππππ

微分方程的相关概念：

即得齐次方程通解。

，

代替分别变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：

为：一阶微分方程可以化可分别变量的微分方程或一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyux

y

yxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy-=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0

),(),(),(???一阶线性微分方程：

)

1,0()()(2))((0)(,0)()

()(1)()()(≠=+?

+?=≠?

===+?--nyxQyxPdx

dy

eCdxexQyxQCeyxQxQyxPdx

dy

ndx

xPdx

xPdx

xP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：

全微分方程：

通解。

应当是该全微分方程的，，其中：分方程，即：

中左端是某函数的全微假如CyxuyxQyu

yxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP=∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(

二阶微分方程：

时为非齐次

时为齐次，0)(0)()()()(2

2≠≡=++xfxfxfyxQdxdy

xPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

2

122,)(2,,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：

为常数；，其中?'''=++?=+'+''式的通解：

出的不怜悯况，按下表写、按照(*),321rr

型

为常数；型，为常数，]sin)(cos)([)()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmxωωλλλ+===+'+''

个人阅历共享：

考研复习与考试过程中，科目专业学问繁多，需要接收