2023年高等数学(下)知识点总结

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高等数学(下)知识点总结主要公式总结

第八章空间解析几何与向量代数1、

二次曲面

1）

椭圆锥面：2

2222zb

yax=+2）

椭球面：122

222

2=++c

zbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）

单叶双曲面：122

222

2=-+c

zbyax双叶双曲面：1222222=--czbyax4）

椭圆抛物面：zbyax=+2222双曲抛物面（马鞍面）：zb

yax=-22

225）

椭圆柱面：1222

2=+byax双曲柱面：122

22=-b

yax

6）抛物柱面：

ayx=2

（二）平面及其方程1、

点法式方程：

0)()()(000=-+-+-zzCyyBxxA

法向量：),,(CBAn=ρ

，过点),,(000zyx

2、

普通式方程：

0=+++DCzByAx

截距式方程：

1=++c

z

byax3、

两平面的夹角：),,(1111

CBAn=ρ

，),,(2222CBAn=ρ

，

22

22

22

21

21

21

2

12121cosC

BA

CBACCBBAA++?++++=

θ

?∏⊥∏210212121=++CCBBAA；?

∏∏21//2

1

2121CCBBAA==

4、

点

),,(0000zyxP到平面0=+++DCzByAx的距离：

2

2

2

000C

BAD

CzByAxd+++++=

（三）空间直线及其方程

1、

普通式方程：?????=+++=+++0

22221111DzCyBxADzCyBxA

2、

对称式（点向式）方程：

p

zznyymxx0

00-=-=-

方向向量：),,(pnms=ρ

，过点),,(000zyx3、

两直线的夹角：),,(1111

pnms=ρ

，),,(2222pnms=ρ

，

22

22

22

21

21

21

212121cosp

nmpnmppnnmm++?++++=

?

?⊥21LL0212121=++ppnnmm；?

21//LL2

1

2121ppnnmm==

4、

直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

2

2

2

2

2

2

sinp

nmCBACp

BnAm++?++++=

?

?∏//L0=++CpBnAm；?∏⊥Lp

Cn

Bm

A==

第九章多元函数微分法及其应用1、延续：

),(),(lim

00)

,(),(00yxfyxfyxyx=→

2、

偏导数：

x

yxfyxxfyxfxx?-?+=→?),(),(lim),(0000000；yyxfyyxfyxfyy?-?+=→?)

,(),(lim),(0000000

3、

方向导数：

βαcoscosy

f

xflf??+??=??其中

β

α,为

l

的方向角。

4、

梯度：),(yxfz=，则jyxfiyxfyxgradfyxρ

ρ),(),(),(000000+=。

5、

全微分：设),(yxfz=，则dddzzzxyxy

??=

+??（一）性质1、

函数可微，偏导延续，偏导存在，函数延续等概念之间的关系：

2、微分法

1）复合函数求导：链式法则

若

(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxy===，则

zzuzvxuxvx?????=?+??????，zzuzvyuyvy

?????=?+??????（二）应用

1）

求函数),(yxfz=的极值解方程组?????==0

yxff求出全部驻点，对于每一个驻点),(00yx，令

),(00yxfAxx=，),(00yxfBxy=，),(00yxfCyy=，

①若02>-BAC，0>A，函数有微小值，若02>-BAC，0②若02时，nnkvu≤，而∑∞=1

nn

v

收敛，则

∑∞

=1

nn

u

收敛；若存在正整数

m，当mn>时，nnkvu≥，而∑∞=1

nnv发散，则∑∞

=1

nnu发散.

5）

比较法的极限形式：∑∞

=1nnu，∑∞

=1nnv为正项级数，若)0(lim+∞∞→n

n

nvu或+∞=∞→nnnvulim，而∑∞=1nnv发散，则

∑∞

=1

nn

u

发散.

6）

比值法：∑∞

=1nnu为正项级数，设luun

nn=+∞→1

lim，则当1l时，级数∑∞

=1

nnu发散；

当

1=l时，级数∑∞

=1

nnu可能收敛也可能发散.

7）

根值法：∑∞=1

nnu为正项级数，设lunnn=∞

→lim，则当1l时，级数∑∞

=1

nnu发散；当1

=l时，级数

∑∞

=1

nn

u

可能收敛也可能发散.

8）

极限审敛法：∑∞

=1

nnu为正项级数，若0lim>?∞→nnun或+∞=?∞

→nnunlim，则级数∑∞

=1

nnu发散；若存在1>p，使得

)0(lim+∞∑

∞=1p111发散，收敛，pnnp（二）函数项级数1、

定义：函数项级数

∑∞

=1

)(nn

xu

，收敛域，收敛半径，和函数；

2、幂级数：

∑∞

=0

nn

nx

a

3、

收敛半径的求法：ρ=+∞→n

nnaa1lim

，则收敛半径???

?

?????=∞++∞=+∞<<=0,,00,1

ρρρρR4、泰勒级数

n

nnxxnxfxf)(!

)

()(00

0)(-=∑

∞

=?0)(!

)1()

(lim)(lim10)

1(=-+=++∞

→∞

→nnnnnxxnf

xRξ

绽开步骤：（直接绽开法）1）求出Λ

,3,2,1),()(=nxfn；2）

求出

Λ

,2,1,0),(0)(=nxfn；

3）写出

nnnxxnxf)(!

)

(00

0)(-∑

∞

=；4）

验证0)(!

)1()(lim)(lim10)1(=-+=++∞→∞→nnnnnxxnfxRξ是否成立。

间接绽开法：（利用已知函数的绽开式）1）),(,!

10+∞-∞∈=

∑∞

=xxnenn

x；2）),(,!

)12(1

)1(sin0

121

+∞-∞∈+-=∑∞

=++xxnx

nnn；

3）),(,)!

2(1)1(cos0

21

+∞-∞∈-=∑∞

=+xxnx

nn

n；4）)1,1(,110-∈=-∑∞

=xxxnn；

5）)1,1(,)1(110

-∈-=+∑∞

=xxxnnn6）]1,1(,1)1()1ln(0

1

-∈+-=+∑∞

=+xxnxnnn

7）)1,1(,)1(110

22-∈-=+∑∞

=xxxnnn8）)1,1(,!)1()1(1)1(1

-∈+--+=+∑

∞

=xxnnmmmxnn

m

Λ

5、

傅里叶级数

1）定义：

正交系：Λ

Λnxnxxxxxcos,sin,,2cos,2sin,cos,sin,1函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间],[ππ-上积

分为零。傅里叶级数：

)sincos(2)(1

0nxbnxaaxfnnn++=∑∞

=

系数：???

???

?====??--),3,2,1(dsin)(1)

,2,1,0(dcos)(1ΛΛnxnxxfbnxnxxfannππππππ

2）

收敛定理：(绽开定理)

设f(x)是周期为2π的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内延续或惟独有限个第一类间断点;2)在一个周期内惟独有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有

()??

???+=++-

+∞

=∑为间断点

为延续点xxfxfxxfnxbnxaannn,2)()(),(sin