高中数学选修2-3知识点及高中数学选修2-3全套测试题组含答案

PAGEPAGE1高中数学选修2－3知识点计数原理分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有MN种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+MN种不同的方法。2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有M2不同的方法，……，做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有N=M1M2...MN3、排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列4、排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示。5、公式：，组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。7、公式：8、二项式定理：9、二项式通项公式10、二项式系数11、杨辉三角：（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第第二章随机变量及其分布随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,,xi,,xnX取每一个值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X的概率分布，简称分布列4、分布列性质①pi≥0,i=1，2，…；②p1+p2+…+pn=1．5、二项分布：如果随机变量X的分布列为：其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布6、超几何分布：一般地,设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，则它取值为k时的概率为，其中,且条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率公式：相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验概率：12、二项分布：设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中（其中k=0,1,……,n，q=1-p）于是可得随机变量ξ的概率分布如下：这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数13、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。两点分布数学期望：E(X)=np超几何分布数学期望：E（X）=.方差:D(ξ)=(x1-Eξ)2·P1+（x2-Eξ)2·P2++（xn-Eξ)2·Pn叫随机变量ξ的均方差，简称方差。17、集中分布的期望与方差一览：期望方差两点分布Eξ=pDξ=pq，q=1-p超几何分布D（X）=np（1-p）*（N-n）/（N-1）（不要求）二项分布，ξ～B（n,p）Eξ=npDξ=qEξ=npq，（q=1-p）几何分布，p(ξ=k)=g(k，p)17.正态分布：若概率密度曲线就是或近似地是函数的图像，其中解析式中的实数是参数，分别表示总体的平均数与标准差．则其分布叫正态分布，f(x)的图象称为正态曲线。18.基本性质：①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．②曲线关于直线x=对称，且在x=时位于最高点.③当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．④当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.⑥正态曲线下的总面积等于1.19.3原则：从上表看到,正态总体在以外取值的概率只有4.6%,在以外取值的概率只有0.3%由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.第三章统计案例独立性检验假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1,x2}和{y1,y2}，其样本频数列联表为：y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K^2的值（即K的平方）K2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为样本容量，K2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。K2≤3.841时，X与Y无关；K2>3.841时，X与Y有95%可能性有关；K2>6.635时X与Y有99%可能性有关回归分析回归直线方程

其中,(数学选修2--3)第一章计数原理[基础训练A组]一、选择题1．将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有（）A．B．C．D．2．从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机各台，则不同的取法共有（）A．种B.种C.种D.种3．个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（）A．B．C．D．4．共个人，从中选1名组长1名副组长，但不能当副组长，不同的选法总数是（）A.B．C．D．5．现有男、女学生共人，从男生中选人，从女生中选人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A．男生人，女生人B．男生人，女生人C．男生人，女生人D．男生人，女生人.6．在的展开式中的常数项是（）A.B．C．D．7．的展开式中的项的系数是（）A.B．C．D．8．展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（）A．B．C．D．二、填空题1．从甲、乙，……，等人中选出名代表，那么（1）甲一定当选，共有种选法．（2）甲一定不入选，共有种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有种选法.2．名男生，名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法.3．由这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.4．在的展开式中，的系数是.5．在展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，则，.6．在的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个？7．用四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为,则.8．从中任取三个数字，从中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个？三、解答题 1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.（1）高三年级学生会有人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？2．个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲排头，（2）甲不排头，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必须在一起，（4）甲、乙之间有且只有两人，（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，（6）甲在乙的左边（不一定相邻），（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，（8）甲不排头，乙不排当中。3．解方程4．已知展开式中的二项式系数的和比展开式的二项式系数的和大,求展开式中的系数最大的项和系数量小的项.5．（1）在的展开式中，若第项与第项系数相等，且等于多少？（2）的展开式奇数项的二项式系数之和为，则求展开式中二项式系数最大项。6．已知其中是常数,计算(数学选修2--3)第一章计数原理[综合训练B组]一、选择题1．由数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中小于的偶数共有（）A．个B．个C．个D．个2．张不同的电影票全部分给个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是()A．B．C．D．3．且,则乘积等于A．B．C．D．4．从字母中选出4个数字排成一列，其中一定要选出和，并且必须相邻（在的前面），共有排列方法（）种.A.B．C．D．5．从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为（）A．B．C．D．6．把把二项式定理展开，展开式的第项的系数是（）A．B．C．D．7．的展开式中，的系数是，则的系数是（）A.B．C．D．8．在的展开中，的系数是（）A.B．C．D．二、填空题1．个人参加某项资格考试，能否通过，有种可能的结果？2．以这几个数中任取个数，使它们的和为奇数，则共有种不同取法.3．已知集合,,从集合,中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有_____个.4．且若则______.5．展开式中的常数项有6．在件产品中有件是次品，从中任意抽了件，至少有件是次品的抽法共有______________种（用数字作答）.7．的展开式中的的系数是___________8．，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_____.三、解答题 1．集合中有个元素，集合中有个元素，集合中有个元素，集合满足（1）有个元素；（2）（3），求这样的集合的集合个数.2．计算：（1）；（2）.（3）3．证明：.4．求展开式中的常数项。5．从中任选三个不同元素作为二次函数的系数,问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?6．张椅子排成,有个人就座,每人个座位,恰有个连续空位的坐法共有多少种?(数学选修2--3)第一章计数原理[提高训练C组]一、选择题1．若，则的值为（）A．B．C．D．2．某班有名男生，名女生，现要从中选出人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于人的选法为（）A．B．C．D．3．本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（）A．B．C．D．4．设含有个元素的集合的全部子集数为，其中由个元素组成的子集数为，则的值为（）A.B．C．D．5．若，则的值为（）A.B．C．D．6．在的展开式中，若第七项系数最大，则的值可能等于（）A.B．C．D．7．不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）A．个B．个C．个D．个8．由十个数码和一个虚数单位可以组成虚数的个数为（）A.B．C．D．二、填空题1．将数字填入标号为的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有种？2．在△的边上有个点，边上有个点，加上点共个点，以这个点为顶点的三角形有个.3．从,这七个数字中任取三个不同数字作为二次函数的系数则可组成不同的函数_______个,其中以轴作为该函数的图像的对称轴的函数有______个.4．若的展开式中的系数为，则常数的值为.5．若则自然数_____.6．若,则.7．的近似值（精确到）是多少？8．已知,那么等于多少?三、解答题1．个人坐在一排个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2)个空位只有个相邻的坐法有多少种?(3)个空位至多有个相邻的坐法有多少种?2．有个球,其中个黑球,红、白、蓝球各个，现从中取出个球排成一列，共有多少种不同的排法？3．求展开式中按的降幂排列的前两项.4．用二次项定理证明能被整除.5．求证：.6．(1)若的展开式中，的系数是的系数的倍，求；(2)已知的展开式中,的系数是的系数与的系数的等差中项,求;(3)已知的展开式中,二项式系数最大的项的值等于,求.离散型随机变量解答题精选（选修2--3）人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第次拨号才接通电话；（2）拨号不超过次而接通电话.解：设{第次拨号接通电话}，（1）第次才接通电话可表示为于是所求概率为（2）拨号不超过次而接通电话可表示为：于是所求概率为出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以（2）易知∴奖器有个小球，其中个小球上标有数字，个小球上标有数字，现摇出个小球，规定所得奖金（元）为这个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望解：设此次摇奖的奖金数额为元，当摇出的个小球均标有数字时，；当摇出的个小球中有个标有数字，1个标有数字时，；当摇出的个小球有个标有数字，个标有数字时，。所以，答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是元4．某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为，数学为，英语为，问一次考试中（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为，则（Ⅰ）答：三科成绩均未获得第一名的概率是（Ⅱ）（）答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是5．如图，两点之间有条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.（I）设选取的三条网线由到可通过的信息总量为，当时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；（II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.解：（I）（II）∴线路通过信息量的数学期望答：（I）线路信息畅通的概率是.（II）线路通过信息量的数学期望是6．三个元件正常工作的概率分别为将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.解：记“三个元件正常工作”分别为事件，则（Ⅰ）不发生故障的事件为.∴不发生故障的概率为（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下：图1中发生故障事件为∴不发生故障概率为图2不发生故障事件为，同理不发生故障概率为7．要制造一种机器零件，甲机床废品率为，而乙机床废品率为，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率.解：设事件“从甲机床抽得的一件是废品”；“从乙机床抽得的一件是废品”.则（1）至少有一件废品的概率（2）至多有一件废品的概率8．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为，被甲或乙解出的概率为，（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数的数学期望和方差解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为.设甲独立解出此题的概率为，乙为.则9．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件发生，该公司要赔偿元．设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？解：设保险公司要求顾客交元保险金，若以表示公司每年的收益额，则是一个随机变量，其分布列为：因此，公司每年收益的期望值为．

为使公司收益的期望值等于的百分之十，只需，即，

故可得．

即顾客交的保险金为时，可使公司期望获益． 10．有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是．（1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．解：(1)这批食品不能出厂的概率是：．

(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：

五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：

由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：． 11．高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛.比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛.已知每盘比赛双方胜出的概率均为 （Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？ （Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？解：（I）参加单打的队员有种方法.参加双打的队员有种方法.所以，高三（1）班出场阵容共有（种）（II）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，所以，连胜两盘的概率为12．袋中有大小相同的个白球和个黑球，从中任意摸出个，求下列事件发生的概率.(1)摸出个或个白球(2)至少摸出一个黑球.解：（Ⅰ）设摸出的个球中有个白球、个白球分别为事件，则∵为两个互斥事件∴即摸出的个球中有个或个白球的概率为（Ⅱ）设摸出的个球中全是白球为事件，则至少摸出一个黑球为事件的对立事件其概率为练习：抛掷颗骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果为____________。设某项试验的成功概率是失败概率的倍，用随机变量描述次试验的成功次数，则_______________。3．若的分布列为：01Ppq其中，则____________________，____________________，新课程高中数学训练题组参考答案（咨数学选修2-3第一章计数原理[基础训练A组]一、选择题1．B每个小球都有种可能的放法，即2．C分两类：（1）甲型台，乙型台：；（2）甲型台，乙型台：3．C不考虑限制条件有，若甲，乙两人都站中间有，为所求4．B不考虑限制条件有，若偏偏要当副组长有，为所求5．B设男学生有人，则女学生有人，则即6．A令7．B8．A只有第六项二项式系数最大，则，，令二、填空题1．（1）；（2）；（3）2．先排女生有，再排男生有，共有3．既不能排首位，也不能排在末尾，即有，其余的有，共有4．，令5．6．先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有，其余的，共有7．当时，有个四位数，每个四位数的数字之和为；当时，不能被整除，即无解8．不考虑的特殊情况，有若在首位，则三、解答题1．解：（1）=1\*GB3①是排列问题，共通了封信；=2\*GB3②是组合问题，共握手次。（2）=1\*GB3①是排列问题，共有种选法；=2\*GB3②是组合问题，共有种选法。（3）=1\*GB3①是排列问题，共有个商；=2\*GB3②是组合问题，共有个积。2．解：（1）甲固定不动，其余有，即共有种；（2）甲有中间个位置供选择，有，其余有，即共有种；（3）先排甲、乙、丙三人，有，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于人的全排列，即，则共有种；（4）从甲、乙之外的人中选个人排甲、乙之间，有，甲、乙可以交换有，把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于人的全排列，则共有种；（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排这五个空位，有，则共有种；（6）不考虑限制条件有，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，即种；（7）先在个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即（8）不考虑限制条件有，而甲排头有，乙排当中有，这样重复了甲排头，乙排当中一次，即3．解：得4．解：，的通项当时，展开式中的系数最大，即为展开式中的系数最大的项；当时，展开式中的系数最小，即为展开式中的系数最小的项。5．解：（1）由已知得（2）由已知得，而展开式中二项式系数最大项是。6．解：设，令，得令，得新课程高中数学训练题组参考答案（咨数学选修2-3第一章计数原理[综合训练B组]一、选择题1．C个位，万位，其余，共计2．D相当于个元素排个位置，3．B从到共计有个正整数，即4．A从中选个，有，把看成一个整体，则个元素全排列，共计5．A先从双鞋中任取双，有，再从只鞋中任取只，即，但需要排除种成双的情况，即，则共计6．D，系数为7．A，令则，再令8．D二、填空题1．每个人都有通过或不通过种可能，共计有2．四个整数和为奇数分两类：一奇三偶或三奇一偶，即3．，其中重复了一次4．5．的通项为其中的通项为，所以通项为，令得，当时，，得常数为；当时，，得常数为；当时，，得常数为；6．件次品，或件次品，7．原式，中含有的项是，所以展开式中的的系数是8．直接法：分三类，在个偶数中分别选个，个，个偶数，其余选奇数，；间接法：三、解答题1．解：中有元素。2．解：（1）原式。（2）原式。另一方法：（3）原式3．证明：左边右边