多元函数微分学一

多元函数微分学一1第一页，共五十一页，编辑于2023年，星期五一、主要内容定义2(点函数)设D是n维空间中的一个点集,如果对于D中的每一个点P,按照一定的法则有确定的数u与之对应,则称对应法则是定义在D上的函数.记为点集D称为这个函数的定义域.第1节多元函数一.定义2第二页，共五十一页，编辑于2023年，星期五二.多元函数定义域定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.实际问题中的函数:自变量取值的全体.纯数学问题的函数:定义域为使运算有意义的规定:分母不为0;负数不能开偶次方;0和负数没有对数;正弦,余弦的绝对值不超过1;00无意义.3第三页，共五十一页，编辑于2023年，星期五记作定义2有成立.的极限.设二元函数P0(x0,y0)是D的聚点.的定义义域为D,如果存在常数A,也记作三.多元函数的极限4第四页，共五十一页，编辑于2023年，星期五说明(1)定义中(2)二元函数的极限也叫(doublelimit)的方式是任意的；二重极限.5第五页，共五十一页，编辑于2023年，星期五

相同点多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数在某点的极限存在的充要?定义相同.差异为必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数于P0时,相同点和差异是什么条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.6第六页，共五十一页，编辑于2023年，星期五确定极限

关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.不存在的方法则可断言极限不存在;若极限值与k有关,(1)(2)此时也可断言找两种不同趋近方式,但两者不相等,处极限不存在.存在,沿直线7第七页，共五十一页，编辑于2023年，星期五四、多元函数的连续性设二元函数则称函数定义3P0(x0,y0)为D的聚点,且P0∈D.如果连续.如果函数f(x,y)在开区域(闭区域)D内的每一点连续,则称函数在D内连续,或称函数是D内的连续函数.的定义域为D,8第八页，共五十一页，编辑于2023年，星期五有界闭区域上连续的多元函数的性质至少取得它的最大值和最小值各一次．介于这两值之间的任何值至少一次．(1)最大值和最小值定理(2)介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得9第九页，共五十一页，编辑于2023年，星期五第2节偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义存在,内有定义，函数有相应的增量如果极限则称此极限为函数(称为关于x的偏增量).记为对x的偏导数,10第十页，共五十一页，编辑于2023年，星期五记为或同理,可定义函数为记为或对x的偏导数,对y的偏导数,11第十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期五那么这个偏导数仍是的二元函数,它就称为函数如果函数对自变量x的偏导函数(简称偏导数),记作或同理,可定义函数对自变量y的偏导函数(简称偏导数),记作或在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在,12第十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期五结论:

13第十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期五偏导数的概念可以推广到二元以上函数设则求多元函数对某个变元的偏导数时,作关于该变元的一元函数来求导即可.只要把其他变元当作常量,而把函数当14第十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期五二、偏导数的几何意义设二元函数在点有如图,为曲面偏导数.上的一点,过点作平面此平面与曲面相交得一曲线,曲线的方程为由于偏导数等于一元函数的导数故由一元函数导数的几何意义15第十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期五可知:偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对x轴的斜率;偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对y轴的斜率.16第十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期五纯偏导混合偏导定义三、高阶偏导数高阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为17第十七页，共五十一页，编辑于2023年，星期五多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地,续就与求导次序无关.如果函数的两个二阶混合偏在区域D内定理连续，那么在导数该区域内18第十八页，共五十一页，编辑于2023年，星期五第3节全微分及其应用处的全微分.可表示为可微分,在点则称函数称为函数记作即函数若在某平面区域D内处处可微时,则称可微函数.这函数在D内的而不依赖于一、全微分的定义19第十九页，共五十一页，编辑于2023年，星期五可微与偏导数存在有何关系呢？?微分系数注全微分有类似一元函数微分的A=?B=?两个性质:全微分全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.的线性函数;高阶无穷小.20第二十页，共五十一页，编辑于2023年，星期五1.可微分的必要条件(可微一定有偏导数存在).定理1(可微必要条件)如果函数可微分,且函数的全微分为二、可微的条件21第二十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期五都不能保证函数在该点连续.多元函数在某点可微是否保证事实上,显然,答:由全微分的定义有可得多元函数可微必连续

连续的定义?不连续的函数上一节指出,多元函数在某点各个偏导数即使都存在,函数在该点连续如果函数可微分,则函数在该点连续.一定是不可微的.22第二十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期五根据可微的定义有下面结论:23第二十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期五2.可微分的充分条件定理2(微分充分条件)偏导数通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和叠加原理也适用于二元以上函数的情况.称为二元函数的微分符合叠加原理．如三元函数则24第二十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期五考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:选择题①f(x,y)在点(x0,

y0)处连续,②f(x,y)在点(x0,

y0)处的两个偏导数连续,③f(x,y)在点(x0,

y0)处可微,④f(x,y)在点(x0,

y0)处的两个偏导数存在.若用“”表示可由性质P推出性质Q,则有(A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.25第二十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期五二、典型例题例1求下面函数的定义域26第二十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期五设函数证明:当P(x,y)沿x轴的方向当P(x,y)沿y轴的方向也有证函数的极限不存在.无限接近点(0,0)时,同样,无限接近点(0,0)时,例227第二十七页，共五十一页，编辑于2023年，星期五函数的极限存在且相等.当P(x,y)沿直线y=kx的方向其值随k的不同而变化.所以,极限不存在．说明函数取上面两个无限接近于点(0,0)时,另一方面,无限接近点(0,0)时,设函数证明:函数的极限不存在.特殊方向28第二十八页，共五十一页，编辑于2023年，星期五极限是否存在？练习取解当P(x,y)沿x轴的方向无限接近点(0,0)时,当P(x,y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时,29第二十九页，共五十一页，编辑于2023年，星期五

极限不存在.取极限是否存在？30第三十页，共五十一页，编辑于2023年，星期五例3证明函数分别对于每个自变量x和y都连续,但作为二元函数在点却不连续.31第三十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期五例4求极限解其中32第三十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期五例5求极限解将分母有理化,得

33第三十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期五求多元函数的偏导数

例6求的偏导数.利用一元函数只需将y的求导法对x求导即可.看作常量,并不需要新的方法,例7求的偏导数.34第三十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期五三个偏导数.解

求某一点的偏导数时,例8变为一元函数,代入,在点(1,0,2)处的可将其它变量的值再求导,常常较简单.35第三十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期五证

偏导数的记号只是一个整体记号,不能像一元函数的导数那样可看成是分子与分母的微分的商.例936第三十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期五思考曲线在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角是多少?解在点(2,4,5)处的切线与y轴正向所成的倾角是多少?思考曲线37第三十七页，共五十一页，编辑于2023年，星期五解例10按定义得38第三十八页，共五十一页，编辑于2023年，星期五注

但前面已证,此函数在点(0,0)是不连续的.按定义得

由以上计算可知,

在点

处可偏导,39第三十九页，共五十一页，编辑于2023年，星期五

二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0),f

y(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的().A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件D40第四十页，共五十一页，编辑于2023年，星期五偏导数例11验证函数满足拉普拉斯方程:41第四十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期五例12解有42第四十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期五按定义得43第四十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期五例1344第四十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期五例14.设函数证明:(1)函数例15.设函数证明:(1)函数(2)函数45第四十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期五三、堂上练习1.函数的连续范围是____.2.已知函数3.函数在_________处间断.46第四十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期五4.讨论函数的连续性.

5.设47第四十七页，共五十一页，编辑于2023年，星期五

答案:0解6.设48第四十八页，共五十一