完全随机设计的方差分析

完全随机设计的方差分析第一页，共七十七页，编辑于2023年，星期六第九章方差分析一、

完全随机设计资料的方差分析二、

随机区组设计资料的方差分析三、

析因设计资料的方差分析四、重复测量资料的方差分析五、多个样本均数的两两比较六、方差分析前提条件和数据转换

第二页，共七十七页，编辑于2023年，星期六（一）掌握内容1．方差分析基本思想（1）多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。（2）多组均数比较的检验假设与F值的意义。（3）方差分析的应用条件。2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。（3）多个样本均数间的多重比较方法：LSD-t检验法；Dunnett-t检验法；SNK-q检验法。（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。教学大纲要求:第三页，共七十七页，编辑于2023年，星期六第九章第一节完全随机设计资料的方差分析方差分析一、方差分析的基本思想二、完全随机设计资料的方差分析的基本步骤三、小结第四页，共七十七页，编辑于2023年，星期六思考几个问题在前面的章节已经学过t检验,他们的适用于何种资料类型,应用条件是什么?t检验解决了两样本均数比较的问题,当出现多组比较的情况怎么办?多组比较时能否直接用两两比较的t检验得出结论?第五页，共七十七页，编辑于2023年，星期六例某医生为研究一种四类降糖新药的疗效，以统一的纳入标准和排除标准选择了60名2型糖尿病患者，按完全随机设计方案将患者分为三组进行双盲临床试验。其中，降糖新药高剂量组21人、低剂量组19人、对照组20人。对照组服用公认的降糖药物，治疗4周后测得其餐后2小时血糖下降值，结果如表所示。问治疗4周后，餐后2小时血糖下降值的三组总体平均水平是否不同？第六页，共七十七页，编辑于2023年，星期六第七页，共七十七页，编辑于2023年，星期六问题

上面问题能否用前面所学两样本的t检验进行两两比较（即分别作3次两样本的t检验）而得出结论呢？有人说，我们可以把多组数据化成n个两组数据（化整为零），用n次t检验来完成这个多组数据差异显著性的判断。到底这种方法行不行？第八页，共七十七页，编辑于2023年，星期六对多个处理进行平均数差异显著性检验时，采用t检验法的缺点：1.检验过程烦琐。试验包含４个处理t检验：C42

＝6次缺点第九页，共七十七页，编辑于2023年，星期六缺点2.无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低。t检验：C42

＝6次需计算6个标准误误差估计不统一误差估计精确性降低第十页，共七十七页，编辑于2023年，星期六缺点3.推断的可靠性低，检验时犯α错误概率大。t检验：C42

＝6次H0的概率：1-α＝0.956次检验相互独立6次都接受的概率(0.95)6＝0.735犯α错误的概率＝1-0.735＝0.265犯α错误的概率明显增加例如我们用t检验的方法检验4个样本平均数之间的差异显著性α=0.05第十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期六第十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期六

t检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性，而方差分析既可以判断两组又可以判断多组数据平均数之间的差异显著性。方差—随机变量离散的重要衡量方法离均差平方和总体方差样本方差第十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期六试验指标（experimentalindex）：

为衡量试验结果的好坏和处理效应的高低，在实验中具体测定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的试验指标有：身高、体重、日增重、酶活性、DNA含量等等。试验因素（experimentalfactor）：

试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验；若同时研究两个或两个以上因素对试验指标的影响时，则称为两因素或多因素试验。第十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期六因素水平（leveloffactor）:

试验因素所处的某种特定状态或数量等级称为因素水平，简称水平。如研究3个品种奶牛产奶量的高低，这3个品种就是奶牛品种这个试验因素的3个水平。试验处理（treatment）:

事先设计好的实施在实验单位上的具体项目就叫试验处理。如进行饲料的比较试验时，实施在试验单位上的具体项目就是具体饲喂哪一种饲料。第十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期六试验单位（experimentalunit）:在实验中能接受不同试验处理的独立的试验载体叫试验单位。一只小白鼠，一条鱼，一定面积的小麦等都可以作为实验单位。重复（repetition）:在实验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试验单位上，称为处理有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的重复数。例如，用某种饲料喂4头猪，就说这个处理（饲料）有4个重复。第十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期六因素（因子）——

可以控制的试验条件因素的水平——

因素所处的状态或等级单（双）因素方差分析——讨论一个（两个）因素对试验结果有没有显著影响。第十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期六处理因素为单个时,称为单因素。

每个因素在数量上或强度上可有不同，这种数量或强度上的不同就称为水平。依照研究因素与水平的不同，可产生四类实验：1.单因素单水平2.单因素多水平4.多因素多水平3.多因素单水平如研究某药对原发性高血压患者的降压作用如研究某药不同剂量的降血糖作用。如比较不同药物或不同疗法对某病的治疗效果。如某肿瘤的联合化疗方案。第十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期六随机变量是对随机事件的数学描述而一个随机变量的分布特征我们用什么方法描述呢？数学期望：E（X）—μ—分布的中心位置

方差：V（X）—σ2—分布的离散程度随机变量的数字特征方差—随机变量离散的重要衡量方法离均差平方和总体方差样本方差第十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期六

方差分析就是将全部观察值的变异（总变异）按设计和需要分解成两个或多个组成部分，再进行变异来源和大小的分析。

方差分析：比较2个或2个以上的总体均值是否有显著性差异。用组间的方差与组内方差相比，据以判别误差主要源于组间的方差（不同组工人的产量，条件误差），还是源于组内方差（随机误差）。第九章方差分析第二十页，共七十七页，编辑于2023年，星期六方差分析的基本思想：根据资料设计的类型及研究目的，可将总变异分解为两个或多个部分，每个部分的变异可由某因素的作用来解释。通过比较可能由某因素所至的变异与随机误差，即可了解该因素对测定结果有无影响。

用公式概括为：总变异=组间变异+组内变异各因素引起由个体差异引起（误差）一、方差分析的基本思想第一节完全随机设计资料的方差分析

变异度的大小可以用标准差或方差来衡量，此处既然是方差分析就用方差来衡量。只不过将方差的分子离均差平方和及分母自由度ν分开，分别考虑。第二十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期六第二十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期六方差分析(Analysisofvariance，ANOVA)

又叫变量分析，是英国著名统计学家R.A.Fisher于20世纪提出的。它是用以检验两个或多个均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称F检验。方差分析的定义第二十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期六方差分析的基本功能对多组样本平均数差异的显著性进行检验第二十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期六不受比较组数的限制，可比较多组均数可同时分析多个因素的作用可分析因素间的交互作用二、方差分析的优点第二十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期六独立性：各样本是相互独立随机的样本正态性：各样本都来自正态总体方差齐性：各样本的总体方差相等三、方差分析的应用条件第二十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期六①进行两个或两个以上样本均数的比较；②可以同时分析一个、两个或多个因素对试验结果的作用和影响；③分析多个因素的独立作用及多个因素之间的交互作用；④进行两个或多个样本的方差齐性检验等。方差分析对分析数据的要求及条件比较严格，即要求各样本为随机样本，各样本来自正态总体，各样本所代表的总体方差齐性或相等。四、方差分析的主要用途第二十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期六

1.单因素方差分析（one-wayANOVA）也称为完全随机设计(completelyrandomdesign)的方差分析。该设计只能分析一个因素下多个水平对试验结果的影响。

2.双因素方差分析（two-wayANOVA）称为随机区组设计（randomizedblockdesign）的方差分析。该设计可以分析两个因素。一个为处理因素，也称为列因素；一个为区组因素，也称为行因素。四、方差分析的类型第二十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期六3.三因素方差分析也称为拉丁方设计（Latinsquaredesign）的方差分析。该设计特点是，可以同时分析三个因素对试验结果的作用，且三个因素之间相互独立，不能有交互作用。4.析因设计（factorialdesign）的方差分析当两个因素或多个因素之间存在相互影响或交互作用时，可用该设计来进行分析。该设计不仅可以分析多个因素的独立作用，也可以分析多个因素间的交互作用，是一种高效率的方差分析方法。5.正交试验设计的方差分析如果要分析的因素有三个或三个以上，可进行正交试验设计（orthogonalexperimentaldesign）的方差分析。当分析因素较多时，试验次数会急剧增加，用此设计进行分析则更能体现出其优越性。该设计利用正交表来安排各次试验，以最少的试验次数，得到更多的分析结果。第二十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期六

完全随机设计：(completelyrandomdesign)是采用完全随机化的分组方法，将全部试验对象分配到g个处理组（水平组），各组分别接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间的差别有无统计学意义，推论处理因素的效应。第一节完全随机设计资料的方差分析第三十页，共七十七页，编辑于2023年，星期六1.特点单因素方差分析是按照完全随机设计的原则将处理因素分为若干个不同的水平，每个水平代表一个样本，只能分析一个因素对试验结果的影响及作用。其设计简单，计算方便，应用广泛，是一种常用的分析方法，但其效率相对较低。该设计中的总变异可以分出两个部分，即SS总＝SS组间＋SS组内。

2.常用符号及其意义（1）Xij

意义为第i组的第j个数据。其中下标i表示列，j表示行。（2）意义为将第i组的全部j个数据合计。第一节完全随机设计资料的方差分析第三十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期六

（3）将第i组的j个数据合计后平方，再将所有各i组的平方值合计。（4）变异来源①SS总：表示变异由处理因素及随机误差共同所致；②

SS组间：表示变异来自处理因素的作用或影响；③SS组内：表示变异由个体差异和测量误差等随机因素所致。即SS总＝SS组间＋SS组内。第三十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期六例9-1某医生为研究一种四类降糖新药的疗效，以统一的纳入标准和排除标准选择了60名2型糖尿病者，按完全随机设计方案将患者分为三组进行双盲临床试验。其中降糖新药高剂量组21人、低剂量组19人、对照组20人。对照组服用公认的降糖药物，治疗四周后测得其餐后2小时血糖下降值（mmol/L），结果如表9-1所示。问治疗四周后，餐后2小时血糖下降值的三组总体平均水平是否不同？第三十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期六分组方法：先将60名糖尿病患者从1开始到60编号；从随机数字表（附表15）中的任一行任一列开始，依次读取三位数作为一个随机数录于编号下；然后将全部随机数从小到大编序号(数据相同的按先后顺序编序号)，将每个随机数对应的序号记录；规定序号1-21为甲组，序号22-40为乙组，序号41-60为丙组。第三十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期六表9-12型糖尿病患者治疗4周后餐后2小时血糖的下降值（mmol/L）高剂量组低剂量组对照组合计（i=1）（i=2）（i=3）5.616.3-0.62.012.42.79.511.85.75.60.97.86.014.612.87.07.06.98.74.94.17.93.91.59.28.1-1.84.31.69.45.03.8-0.16.46.43.83.56.16.37.03.07.55.813.212.75.43.98.48.016.59.83.12.212.215.59.212.61.16.011.821192060(N)9.19525.80005.43006.8650()17.360518.186712.384318.4176()为组的编号，

为组内个体编号，ji第三十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期六记总均数为，各处理组均数为，总例数为N＝nl+n2+…+ng，

(g为处理组数)。总体方差为各处理组方差为第三十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期六试验数据有三个不同的变异:总变异（Totalvariation）：全部测量值Xij与总均数间的差别

组间变异（betweengroupvariation）各组的均数与总均数间的差异组内变异（withingroupvariation)每组的原始数据与该组均数的差异

用公式概括为：总变异=组间变异+组内变异第三十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期六1.总变异60名2型糖尿病患者的餐后2小时血糖Xij大小各不相同，与它们的总均数(overallmean)也不相同，这种变异称为总变异(totalvariation)。该变异既包含了随机误差(即2型糖尿病患者的个体差异和测量误差)，又包含了三组用药即处理的不同，其大小用所有数据(N=60)的方差即均方SS总来表示。第三十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期六1.总变异SS总反映了所有测量值之间总的变异程度，

SS总=各测量值Xij与总均数差值的平方和

变异度的大小可以用标准差或方差来衡量。此处既然是方差分析就用方差来衡量，只不过将方差的分子离均差平方和SS及分母的自由度v分开，分别来考虑.第三十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期六2．组间变异各处理组由于接受处理的水平不同，各组的样本均数

(i＝1，2，…，g)也大小不等，三组2型糖尿病患者餐后2小时血糖的样本均数各不相同，它与总均数也不相同，这种变异称为组间变异。其大小可用各组均数与总均数的离均差平方和表示，记为SS组间，它反映了三组用药不同的影响(如处理确实有作用)，同时也包括了随机误差

第四十页，共七十七页，编辑于2023年，星期六2.组间变异SS组间反映了各组均数间的变异程度组间变异＝①随机误差+②处理因素效应

mi

mj

=176.7612自由度：组间=组数(k)―1第四十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期六3．组内变异在同一处理组中，虽然每个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，各组内2型糖尿病患者的餐后2小时血糖Xij大小各不相同，与本组的样本均数也不相同，这种变异称为组内变异（误差）。组内变异可用组内各测量值Xij与其所在组的均数的差值的平方和表示，记为SS组内,表示随机误差(含个体差异和测量误差)的影响。又称误差变异第四十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期六

在同一处理组内，虽然每个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，这种变异称为组内变异。SS组内仅仅反映了随机误差的影响。也称SS误差3.组内变异m

i自由度：组内=总例数（N）―组数(k)第四十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期六4.三种“变异”之间的关系随机误差（含个体差异和测量误差）

处理因素（包含了三组用药即处理的不同

）第四十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期六5.均方(MS)

其中k表示处理组数,，表示总例数第四十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期六各种变异的表示方法SS总总MS总SS组内组内MS组内SS组间组间MS组间三者之间的关系：SS总=SS组内+SS组间总=组内+组间第四十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期六6.均方之比＝FF统计量，当σ12=σ22时：F=S12/S22第四十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期六7.F分布F分布概率密度函数：第四十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期六F分布曲线第四十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期六F界值表附表3F界值表（方差分析用，单侧界值）上行：P=0.05下行：P=0.01分母自由度υ2分子的自由度，υ1123456

1161200216225230234

405249995403562557645859

218.5119.0019.1619.2519.3019.33

98.4999.0099.1799.2599.3099.33

254.243.392.992.762.602.49

7.775.574.684.183.853.63

3第五十页，共七十七页，编辑于2023年，星期六统计量F的计算及其意义F=MS组间/MS组内

通过这个公式计算出统计量F，查表求出对应的P值，与进行比较，以确定是否为小概率事件。（与t检验公式进行对比）自由度：组间=组数―1组内=N―组数假设检验第五十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期六方差分析的基本思想

首先将总变异分解为组间变异和误差（组内）变异，然后比较两者的均方，即计算F值，若F值大于某个临界值，表示处理组间的效应不同，若F值接近甚至小于某个临界值，表示处理组间效应相同(差异仅仅由随机原因所致)。

对于不同设计的方差分析，其思想都一样，即均将处理间平均变异与误差平均变异比较。不同之处在于变异分解的项目因设计不同而异。第五十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期六方差分析的应用条件各样本是相互独立的随机样本；各样本来自正态总体；各处理组总体方差相等，即方差齐性或齐同。

上述条件与两均数比较的t检验的应用条件相同。当组数为2时，方差分析与两均数比较的t检验是等价的，对同一资料,有第五十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期六

完全随机设计分析也叫单因素方差分析。将受试对象随机地分配到各个处理组的设计。编号12345678910…2930随机数12.13.918.327.126.728.81.412.826.05.024.429.78.4分组BACCCCABCACCA二、完全随机设计资料的方差分析的基本步骤(一)随机分组方法

1.编号,确定分组方案（如较少10个随机数为A,中间

10个数为B，较大10个随机数为C）

2.产生随机数字（附表15，或电脑），排序

3.按方案分组将数据按同一处理的不同水平进行分组整理。第五十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期六表9-12型糖尿病患者治疗4周后餐后2小时血糖的下降值（mmol/L）高剂量组低剂量组对照组合计（i=1）（i=2）（i=3）5.616.3-0.62.012.42.79.511.85.75.60.97.86.014.612.87.07.06.98.74.94.17.93.91.59.28.1-1.84.31.69.45.03.8-0.16.46.43.83.56.16.37.03.07.55.813.212.75.43.98.48.016.59.83.12.212.215.59.212.61.16.011.821192060(N)9.19525.80005.43006.8650()17.360518.186712.384318.4176()为组的编号，

为组内为个体编号，ij第五十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期六(二)方差分析的步骤

m1=m2

=m3H0:m1=m2=m3=...=mk

m1

=m2

m3H1:notallthemi

areequal

m1

m2

m3建立检验假设，确定检验水准即A、B、C三种方案效果相同。三个总体均数不全相等，即A、B、C三种方案的效果不全相同.2.计算检验统计量F3.确定P值，做出推断结论

第五十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期六计算F值（方差分析表）：自由度：组间=组数(k)―1组内=总例数（N）―组数(k)完全随机统计设计方差分析的计算公式变异来源SSdfMSF组间（处理组间）k-1

组内（误差)N-k或总变异N-1第五十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期六确定P值，做出推断结论：以求F值时分子的自由度、分母的自由度查附表三的F界值表得P值。有统计学意义。可以认为多个总体均数不全相同，即多个总体均数中至少有两个不同。

至于多个总体均数中哪些不同，可用本章第五节的方法进行多个均数间的两两比较；无统计学意义。第五十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期六表9-12型糖尿病患者治疗4周后餐后2小时血糖的下降值（mmol/L）高剂量组低剂量组对照组合计（i=1）（i=2）（i=3）5.616.3-0.62.012.42.79.511.85.75.60.97.86.014.612.87.07.06.98.74.94.17.93.91.59.28.1-1.84.31.69.45.03.8-0.16.46.43.83.56.16.37.03.07.55.813.212.75.43.98.48.016.59.83.12.212.215.59.212.61.16.011.821192060(N)9.19525.80005.43006.8650()17.360518.186712.384318.4176()为组的编号，

为组内为个体编号，ij第五十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期六

第六十页，共七十七页，编辑于2023年，星期六本例：,因附表3中无57，故取最接近者=60得：第六十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期六

可以认为2型糖尿病患者经药物（新药和标准药）治疗4周，其餐后2小时血糖的总体平均水平不全相同，即三个总体均数中至少有两个不同。结论:第六十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期六计算F值（方差分析表）：完全随机统计设计方差分析的计算公式

自由度：组间=组数(k)―1组内=总例数（N）―组数(k)变异来源SSdfMSF组间（处理组间）k-1组内（误差)N-k或总变异

N-1第六十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期六第九章方差分析自由度：组间=组数(k)―1组内=总例数（N）―组数(k)变异来源SSdfMSF组间（处理组间）k-1组内（误差)N-k或总变异N-1第六十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期六方差分析（analysisofvariance，ANOVA）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sumofsquaresofdeviationsfrommean，SS）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。方差分析的基本思想第六十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期六方差分析的基本思想：把全部数据关于总均值的离均差平方和分解成几部分，每一部分表示某因素诸水平交互作用所产生的效应，将各部分均方与误差均方相比较，从而确认或否认某些因素或交互作用的重要性。

用公式概括为：总变异=组间变异+组内变异各因素引起由个体差异引起（误差）一、方差分析的基本思想第一节完全随机设计资料的方差分析由英国统计学家R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称F检验。

变异度的大小可以用标准差或方差来衡量，此处既然是方差分析就用方差来衡量。只不过将方差的分子离均差平方和及分母自由度ν分开，分别考虑。第六十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期六SiS1S2S3S4合计值5.994.153.784.716.65第六十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期六例一个因素（factor）：解毒药

四个水平（level）（a=4个处理组）：A、Ｂ、

Ｃ、空白对照D，i=1,2,3,4分别代表A、B、C、D

每水平有ni=６只大白鼠，分别表示为j=1,2,…,6

应变量用Yij表示，即第i组第j号大白鼠的血

中胆硷脂酶含量(μ/