多元函数微分学基础

多元函数微分学基础第一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六一、二元函数的定义先看下面的例子.图6-11例2示意图第二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六一般地，二元函数的定义如下.第三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六解

对于一元函数，一般假定在某个区间上有定义进行讨论.对于二元函数，类似地假定它在某平面区域内有定义进行讨论.

所谓区域（平面的）是指一条或几条曲线围成具有连通性的平面一部分（见图6-35），所谓的连通性是指如果一块部分平面内任意两点可用完全属于此部分平面的折线连结起来.第四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六图6-12区域示意

若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如图6-12(c)所示，否则，它总可以被包含在一个以原点O为中心，而半径适当大的圆内，这样的区域称为有界的，如图6-12(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界.第五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六闭区域：连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界.开区域：不包括边界内的区域叫开区域.第六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六

为方便使用，将开区域内的点称为内点，将区域边界上的点称为边界点.第七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六二、二元函数的几何意义第十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六图6-15例6示意图第十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六三、二元函数的极限和连续性1.二元函数的极限

函数的极限是研究当自变量变化时，函数的变化趋势，但是二元函数的自变量有两个，所以自变量的变化过程比一元函数要复杂得多.第十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六

二元函数的极限是一元函数极限的推广，有关一元函数极限的运算法则和定理,都可以推广二元函数的极限，下面举例说明.第十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六解第十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六2.二元函数的连续性函数的不连续点称为函数的间断点.第十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六思考题答案答案答案第十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六课堂练习题答案答案答案第十九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第三节偏导数与全微分一、偏导数的定义及求法第二十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第二十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第二十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六解第二十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六解证第二十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六解第二十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第二十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第二十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六例5.

求解法1:在点(1,2)处的偏导数.机动目录上页下页返回结束第二十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六例6.

设证:例7.

求的偏导数.解:求证机动目录上页下页返回结束第二十九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x

轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线机动目录上页下页返回结束对y轴的第三十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六二、高阶偏导数第三十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第三十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第三十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第三十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六*二、全微分在数值计算中的应用应用第三节一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差本节内容:一、全微分的定义全微分第三十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六

第三节全微分

一、全微分的定义第三十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六一、全微分的定义

定义:

如果函数z=f(x,y)在定义域D

的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D

内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，机动目录上页下页返回结束处全增量则称此函数在D

内可微.第三十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续机动目录上页下页返回结束偏导数存在函数可微即第三十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x

的偏增量因此有机动目录上页下页返回结束第三十九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六反例:函数易知

但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:机动目录上页下页返回结束第四十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动目录上页下页返回结束第四十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六推广:

类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,的全微分为于是机动目录上页下页返回结束第四十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:

机动目录上页下页返回结束第四十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第四十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六可知当*二、全微分在数值计算中的应用1.近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:机动目录上页下页返回结束(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)第四十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六半径由20cm增大解:

已知即受压后圆柱体体积减少了

例4.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm

,则高度由100cm减少到99cm

,体积的近似改变量.

机动目录上页下页返回结束求此圆柱体第四十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六例5.计算的近似值.

解:设,则取则机动目录上页下页返回结束第四十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录上页下页返回结束第四十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六思考题答案答案答案第四十九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六课堂练习题答案答案第五十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第四节一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分微分法则机动目录上页下页返回结束多元复合函数的求导法则第五十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六一、多元复合函数求导的链式法则定理.

若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数证:设t

取增量△t,则相应中间变量且有链式法则机动目录上页下页返回结束有增量△u,△v,第五十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六(全导数公式)(△t＜0时,根式前加“–”号)机动目录上页下页返回结束第五十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,机动目录上页下页返回结束第五十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定y

对x

求导,表示固定v

对x

求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,机动目录上页下页返回结束第五十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六例1.设解:机动目录上页下页返回结束第五十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六例2.解:机动目录上页下页返回结束第五十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六例3.设

求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动目录上页下页返回结束验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.第五十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六机动目录上页下页返回结束一、一个方程所确定的隐函数及其导数隐函数的求导方法第五十九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.

设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件机动目录上页下页返回结束导数第六十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六两边对x求导在的某邻域内则机动目录上页下页返回结束第六十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确机动目录上页下页返回结束第六十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六两边对x求偏导同样可得则机动目录上页下页返回结束第六十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第六十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第六十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六例2.设解法1利用隐函数求导机动目录上页下页返回结束第六十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六解法2

利用公式设则机动目录上页下页返回结束第六十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六思考题答案答案答案第六十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六课堂练习题答案答案第六十九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第八节一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值机动目录上页下页返回结束多元函数的极值及其求法第七十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六一、多元函数的极值

定义:

若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有机动目录上页下页返回结束第七十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六说明:

使偏导数都为0的点称为驻点

.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值

但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故机动目录上页下页返回结束第七十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六时,具有极值定理2

(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数机动目录上页下页返回结束第七十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第七十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第七十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六例2.求函数解:

第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数机动目录上页下页返回结束第七十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;机动目录上页下页返回结束第七十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六二、最值应用问题函数f

在闭域上连续函数f

在闭域上可达到最值

最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据机动目录上页下页返回结束第七十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第七十九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第八十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第八十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第八十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第八十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化机动目录上页下页返回结束第八十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六方法2、拉格朗日函数法第八十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第八十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第八十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六第八十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期六解第八十九页，共一百一十五页，编辑于2