平面向量题型及方法

平面向量方法、题型、及应试技巧总结一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。如：已知A(1,2),B(4,2),则把向量AB按向量a=(—1,3)平移后得到的向量是 (答:(3,0))2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的;」・单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是+复)；IABI相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记^1— 作：a〃b,规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性!(因为有0);三点A、b、C共线oAB、AC共线；相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。如下列命题：(1)若a=b，则a二b。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。(3)若AB二DC，则ABCD是平行四边形。(4)若ABCD是平行四边形，贝UAB=DC。(5)若a=b,b=c,贝【Ja=c。(6)若a//b,b//c,贝Ua//c。其中正确的是 (答：(4)(5))二．向量的表示方法：•几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2•符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,c等；3•坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y)，称(x,y)为向量a的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三■平面向量的基本定理：如果竹和勺是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数九、X，使a=九e.+九e2。如121122若a=(1,1)b=(1,-1),c=(-1,2)，贝Uc= 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是a.ea.e二（o,o）,r二（1,-2）12c.e二（3,5）,e二（6,10）12B.e二（-1,2）,e二（5,7）1 2一 一 1 3D.e=（2,—3）,e=（三，一）1 2 2 4答：B)；（3）已知AD,BE分别是AABC的边BC,AC上的中线，且AD=a,BE=b，则BC可用向量a,b表示为 （答:2a+4b）;TOC\o"1-5"\h\z3 3（4）已知AABC中，点D在BC边上，且=2DB,CD=rA?+sAC，则r+s的值是___（答：0）四■实数与向量的积：实数九与向量a的积是一个向量，记作九a，它的长度和方向规定如下：（1）卜a=M|a|,（2）当九>0时,九a的方向与a的方向相同，当九〈。时，九a的匸^+ _»方向与a的方向相反，当九=0时，九a=0,注意：九a工0。五■平面向量的数量积：1.两个向量的夹角：对于非零向量a,b，作OA=a,OB=b,ZAOB=0（0<0<兀）称为向量a,b的夹角，当0=0时，a,b同向，当0=兀时，a,b反向，当0=—时，a,b垂直。22・平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b，它们的夹角为0，我们把数量IaIIbIcos0叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a•b，即a•b=acos0。规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1） △ABC中，IAAB1=3,IAAC1=4,IACI=5，则AB-BC= （答:—9）；（2） 已知a=（1丄）,b=（0,-丄）,c=a+kb,d=a-b,c与d的夹角为仝，则k等于 2 4（答：1）;（3） 已知a=2,b=5,a・b=—3，则a+b等于 （答：后）;（4） 已知a,b是两个非零向量，且a=b=a—b，则a与a+b的夹角为 （答：30。）3.b在a上的投影为IbIcos0，它是一个实数，但不一定大于0。如已知IaI=3,IbI=5，且ab=12，则向量a在向量b上的投影为 12（答:12）54・a•b的几何意义：数量积a•b等于a的模IaI与b在a上的投影的积。5.向量数量积的性质：设两个非零向量a,b，其夹角为0，贝U：a丄boa•b=0；当a,b同向时，a•b=ab，特别地，a=a•a=|a|2,”|=5/a；当a与b反向时，a•b=—”b；当0为锐角时，a•b>0,且a、b不同向，a-b>0是0为锐角的必要非充分条件；当0为钝角时，a•b<0,且a、b不反向，a•bV0是0为钝角的必要非充分条件；③非零向量a③非零向量a,b夹角0的计算公式:cos0二(1)已知方=(人2九)，方=(3九,2)，如果方与方的夹角为锐角，则九的取值范围是41(答：九 —或九〉0且九)；3(2)已知AOFQ的面积为S，且OFfQ^1，若-<S<色，则OF,FQ夹角0的22取值范围是 (答：(殳,-))；3(3)已知a=(cosx,sinx),b-(cosy,siny),a与b之间有关系式ka+b|=V3”-同,其中k>0，①用k表示a-b；②求a-b的最小值，并求此时a与b的夹角0的大小(答：①a•b=k2+1(k>0)；②最小值为-，0二60。)4k 2六．向量的运算：1．几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”设AB=a,BC=b，那么向量AC叫做a与b的和，即a+b二AB+BC二AC；向量的减法：用“三角形法则”：设AB=a,AC=b,那么a-b=AB—AC=CA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如(1)化简：①AB+BC+CD=—； ②AB—AD—DC= ；(AB—CD)—(AC—BD)= (答：①AD；@CB；@0)；若正方形的边长为1,AB=a,BC=b,Ac=c，则ia+b+ci= (答:2迈)；若O是aABC所在平面内一点，且满足|OB—OC=|OB+OC—2OA，贝kABC的形状为—(答：直角三角形)；若D为AABC的边BC的中点，AABC所在平面内有一点P,满足PA+丽+CP二0，设二九，则九的值为—PDI —(答：2)；若点O是△ABC的外心，且OA+OB+CO=0，则△ABC的内角C为 (答:120°)；2.坐标运算：设a=(x,y),b=(x,y)，则:L1_ 22①向量的加减法运算:a土b=(x土x,y±y)。如1212已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若AP=AB+XAC(XeR),则当九= 时，点P在第一、三象限的角平分线上(答:-);2已知A(2,3),B(1,4),且-AB=(sinx,cosy),x,ye(一巴，殳)，贝Ux+y= 22(答：才或-1);已知作用在点A(1,1)的三个力F=(3,4),F=(2,-5),F=(3,1)，则合力F=F+F+F1 2 3 1 2 3(答：(9,1)(答：(9,1))即一个向量的坐标等于表示这个向实数与向量的积:Xa=X(x,y)=(Xx,Xy)。若A(x,y),B(x,y)，则AB=(x-x,y-y)11222121量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设A(2,3),B(-1,5)，且AC=*AB，AD=3AB，则C、D的坐标分别是 (答：(1罟),(-7,9))；④平面向量数量积：a•b=xx+yy。如1212已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(—1,0)。(1)若x=一，求向量a、C的夹角；(2)若xe［一匹,-］，函数f(x)=Xa-b的最大值为丄，求X的值84 2(答:(1)150;(2)丄或-迈-1)；2⑤向量的模：Ia1=x2+y2,a=1a|2=x2+y2。如已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60。，那么|a+3b|= (答：7T3)；⑥两点间的距离：若A(x,y),B(x,y)，则IAB1=(x-x)2+(y-y)2。如11222121如图，在平面斜坐标系xOy中，厶Oy=60。，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若op=xe+y^,其中e，产分1212别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(x,y)。(1)若点P的斜坐标为(2,—2),求P到0的距离丨POI；(2)求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。(答：(1)2；(2)x2+y2+xy一1=0)；七■向量的运算律:1.2七■向量的运算律:1.2.交换律：a+b=b+a,xCa)=(Xy)a,纟吉合律：a+b+c=(a+b)+c,a—b—c=a—分配律：(xy)a=xa+卩a,xG+b)a•b=b•a；(+c),(xa)・bx(•b)=a.6b)；=Xa+Xb,下列命题中：①a-(b-c)=a-b-a-c；②a-(b-c)=(a-b)-c；③(a-b)2=ia12-21ai-1bi+1b12；④若a-b=0，贝ya=0或b=0；⑤若a-b=c-b,贝ya=c；@H2二a2；―>—►—>⑦嘤=b；⑧(a•b)2=a2•b2；⑨(a-g=忌-口-b+沪。其中正确的是 a2a(答：①⑥⑨)提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a(b•c)丰(a•b)c，为什么？八■向量平行(共线)的充要条件：a//boa二九bo(a-b)2=(|aIIb1)2oxy-yx=0。如__1212—> —► —►—►(1)若向量a=(x,l),b=(4,x)，当x= 时a与b共线且方向相同(答：2)；(2)已矢口a=(l,l)b=(4,x),u=a+2b,v=2a+b，且u//v，贝Ux= 答：4)；－2或11)=0.特别地(3)设PA=(k,12),PB=(4,5),PC－2或11)=0.特别地(答:九.向量垂直的充要条件:a丄boa-b=0oIa+bI=Ia-bIoxx+yy1212(罟+笔)丄(丝-4C(罟+笔)丄(丝-4CABACABAC已知OA=(-1,2),OB=(3,m),若OA丄OB，则m=(答：-)；2以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,ZB=90。，则点B的坐标是 (答：(1,3)或(3,-1))；已知n=(a,b),向量n丄m，且n=m，则m的坐标是 (答：(b,-a)或(-b,a))十．线段的定比分点：1■定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实1212数九，使PP=九PP，则九叫做点P分有向线段PP所成的比，P点叫做有向线段PP的121212以定比为九的定比分点；2.九的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段PP2上时o九>0；当P点在线段PP的延长线上时o九<-1；当P点在线段PP的延长线上时o-1v九v0；1221若点P分有向线段PP所成的比为九，则点P分有向线段PP所成的比为丄。如12 21 九若点P分AB所成的比为3，则A分BP所成的比为 4(答：-7)33■线段的定比分点公式：设P(x,y)、P(x,y),P(x,y)分有向线段PP所成的比11122212

x+xX二 2x+xX二 22y+y。y二 2I2x二——为九，则<1+［，特别地，当九=1时，就得到线段PP的中点公式<y+为九，则<y二——〔 1+九在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x，y),(x,y)、(x,y)的意义，即分别为分点，1122起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比九。如若M(-3,-2),N(6,-1),且MP二—1耐，则点P的坐标为37(答：(-6,--))；已知A(a,0),B(3,2+a)，直线y=-ax与线段AB交于M，且AM=2MB，则a等2于 (答：2或一4)十 ■平移公式：如果点P(x,y)按向量a=(h，k)平移至P(x,yf)，则］x'=x+h；曲、y，=y+k线f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移得曲线f(x-h,y-k)=0・注意：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？(2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如按向量a把(2,-3)平移到(1,-2)，则按向量a把点(-7,2)平移到点 —(答:(一8,3))；函数y=sin2x的图象按向量方平移后，所得函数的解析式是y=cos2x+1，则Ta=12、向量中一些常用的结论：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；Ilai-1biima土b&ai+1bi，特别地，当a、b同向或有0oia+b1=1ai+1bi>IIaI-1bll=la-bI;当a、b反向或有0OIa-bl=lal+IbI>IIal-1