整理数学物理方法

《数学物理方法》课程考试大纲一、课程说明：本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。本课程的教学目的是：（1）掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；（2）掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。二、参考教材：必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。三、考试要点：第一章复变函数（一）考核知识点1、复数及复数的运算2、复变函数及其导数3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件（二）考核要求1、掌握复数三种形式的转换。2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的方法。3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数uiv。第二章复变函数的积分（一）考核知识点1、复变函数积分的运算2、柯西定理（二）考核要求1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。精品文档2、掌握应用原函数法计算积分。3、掌握柯西公式计算积分。第三章幂级数展开（一）考核知识点1、幂级数的收敛半径2、解析函数的泰勒展开3、解析函数的洛朗展开（二）考核要求1、理解幂级数收敛圆的性质。2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。第四章留数定理（一）考核知识点1、留数的计算2、留数定理3、利用留数定理计算实变函数定积分（二）考核要求1、掌握留数定理和留数计算方法。2、掌握利用留数定理计算三类实变函数定积分。第五章傅里叶变换（一）考核知识点1、傅里叶级数2、傅里叶变换3、8函数（二）考核要求1、掌握周期函数的傅里叶级数形式和定义在有限区间（0,1）上的函数的傅里叶展开。2、掌握非周期函数的傅里叶变换。3、掌握8函数的性质及其傅里叶积分的形式。第七章数学物理方程的定解问题精品文档（一）考核知识点1、数学物理方程2、定解条件3、定解问题（二）考核要求1、了解数学物理方程的意义。2、了解三类数学物理方程形式：波动方程、输运方程和稳定场方程。3、能根据题意正确写出常用的各类定解条件及定解问题。第八章分离变数（傅里叶级数）法（一）考核知识点1、分离变数法2、傅里叶级数法3、非齐次边界条件的处理（二）考核要求1、掌握齐次方程的分离变数法。2、掌握数学物理方程的傅里叶级数解法。3、掌握非齐次边界条件的处理方法。4、了解泊松方程的解法。第九章二阶常微分方程级数解法本征值问题（一）考核知识点1、本征值问题2、常点邻域上的级数解法（二）考核要求1、理解球函数方程。2、理解勒让德方程的解。第十章球函数（一）考核知识点1、勒让德多项式的性质2、勒让德多项式的母函数3、轴对称球函数4、一般球函数精品文档

（二）考核要求1、掌握勒让德多项式的性质及其母函数。2、理解轴对称球函数。3、掌握球坐标系下关于极轴对称的拉普拉斯方程的解法。4、了解一般球函数的形式及其性质。四、样卷例题（一）、填空题：（共12分，每小题2分）.复数e",的模为，辐角为。•方程上+i=z-表表示复平面上的。TOC\o"1-5"\h\z,一一 1.当R<r时，函数, 1 一以P（cos9）为基本函数族的厂义傅里叶级数展开RR2一2rRcos9+r2 /为。.幂级数于-1zk的收敛半径为 。2k k=1.5（x）函数复数形式的傅里叶变换为，复数形式的傅里叶积分为。.研究细杆的热传导，x=l端是绝热的，则该端的边界条件为。（二）、名词解释：（共8分，每小题4分）.m阶极点.第一类边界条件（三）、单项选择题：（共12分，每小题3分）B.InzB.InzA.ezC.shzD.C.shz精品文档

.若积分路径c为：|z|=3，积分上(z-1)(z+4)dz值为（）。0C.2人i1.点z=.若积分路径c为：|z|=3，积分上(z-1)(z+4)dz值为（）。0C.2人i1.点z=0是函数f(z)=sin1的(z）。A.本性奇点C.可去奇点B.极点D.以上都不对4.线密度为p长为l的均匀弦，两端固定，用细棒敲击弦的X0处，敲击力的冲量为I，然后弦作横振动。该定解问题为：（）。C.Ju-a2utt XX=0,ux=0 x=lp=0B.u-a2utt XX18(x-X0)=0,ux=0 x=lP=0=0,ut=0 tt=0=0,ut=0 tt=0u-a2u=0,(0<x<l)tt XXu-a2u=0,(0<x<l)tt XX=0,ux=0 x=lD.=0,ux=0 x=l=0,ut==0,ut=0tt=0pt=0 tt=0（四）、证明题：（共32分，每小题8分）.已知解析函数f（z）的虚部为V（X,y）=x2-y2，试证这个解析函数为f（z）=iz2+C，其中C为任意常数。证明函数f（z）=(z-1)(z-2)在圆环域1证明函数f（z）=(z-1)(z-2)在圆环域1<|z-2|<8上的幂级数展开为(z-1)(z-2)=Z2(-1)k(z-2)k, (1<|z-2|<8)。k=-sU=2z(I)2dz=4几i一8dx证明jd=0X(1+X2)-8（五）、计算题：（共36分,每小题12分）u-a2u=0,(0<x<l)1.用分离变数法求定解问题《u|1.用分离变数法求定解问题《u|XX=0,u| =0的解，其中甲（X）为X的已知函数。,x=0 x=l| =①(X)t=0精品文档u一a2u =0,(0<x<l)ttxx其中U0为常数。K、RF、口工U—U,其中U0为常数。.求定解问题a x