板壳力学读书报告

板壳力学读书报告前言：根底。与弹性力学不同，板壳力学主要争论板壳的应力、位移等量的解。板壳理论与航空、航天、航海、建筑、机械、水利、仪表、交通等工程设计亲热相关，通过小挠度薄板弯曲问等内容的学习，使得我从理论分析，数值计算等多角度把握板壳构造根本学问和根本方法，为以后从事科学争论和工程设计中板壳学问的计算奠定了根底。体；板面，即两个平行板；厚度，指两个平行面之间的距离，记为δ；侧面或板边指柱面；δ远小于b的板被称为薄板δ＜，否则被称为厚板。面产生附加的中面内薄膜应力，所以将薄板问题分为3个类型的问题来争论：当w远小于δ时，薄膜应力远小于薄板的弯曲应力，可无视。这是薄板小挠度弯曲问题。当w、δ同量级，考虑附加薄膜应力，且位移与变形之间非线性。这是板的大挠度弯曲问题。当w远大于δ时，板变形后中面弯曲成曲面，外荷载主要由薄膜力平衡，抗弯曲力量可以不计。这是弹性薄膜问题。一．薄板小挠度弯曲问题及相关的概念13章学到了薄板小挠度弯曲理论。该理论有3个根本假设：垂直于中面方向的正应变不计。直线法假定，zx tz

z引起的形变不计，即薄板中面内各点无平行中面的位移即首先要建立弹性曲面的微分方程。应变用w来表示，写出几何方程如下：① (1-1)②由 可以从②得到再进一步积分得到位移重量为〔过程：积分得 而最终得到上式〕再将位移重量带回几何方程，解得应变的表达式为〔13-5〕ww来表示：曲率曲率 〔13-5〕也可以用曲率和扭率表示为如下所示：扭率w来表示应力重量。由物理方程 结合〔13-5〕解得的应变，最终得到应力〔13-7〕考虑平衡方程。由之前的假定可知体力X、Y0，Z0。①故② 由①②得到 进而得到〔带入了应力〕对z进展积分，并结合边界条件解得〔13-8〕把 也用w表示。取体积重量Z=0，用同样的方法得到z对z求积分，结合边界条件得到带入薄板上的边界条件,得到弹性曲面微分方程其中 ,称为薄板的弯曲刚度，量纲为L2MT-2。实践证明只要是小挠度的薄板，薄板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的精度。薄板横截面上的内力及应力求解方法如下：板侧面边界条件必需用圣维南原理满足不能准确满足而需要用积分将 x xy合成扭矩，

合成横向剪力。zx最终得还可以进一步得出内里和应力之间的关系由 得到 ，同理可得弹性曲面微分方程为四阶偏微分方程，3种位移边界条件，在边界上给定边界挠度和边界切线方向转角。(夹支边即固定边界〕混合边界条件，边界同时给出广义力和广义位移〔简支边界〕力边界条件，在边界给定横向剪力和弯矩〔自由边界〕二．薄板小挠度弯曲问题的解法简支薄板的纳维解法：四边简支矩形薄板的边界条件为:将w取为双三角级数形式: 解得矩形薄板的莱维解法及一般解法：对边简支薄板的边界条件为：将wwYmm1解得

a其中对于工程实际问题，由于荷载和边界较简单，难以求出函数式的解答。接下来争论弹性力学的各种近似解法，主要有变分法，差分法和有限单元法。和边界条件〔一般均为微分方程〕近似地改用差分方程〔代数方程〕来表示，从而把求解微分方程的问题转化成求解代数方程的问题。设函数f〔将函数f03-0-1这条平行于x轴的直线开放：网格间距h很小，无视高阶的小量。得联立解得(4w) (q D)0 0 0

0处的差分方程，①2www

w)(ww

ww

)q

h4D.0 1 2 3 4

5 6 7 8②

9

11 12 0w为简支边，则对于00 , 1 (0 ) (ww)0, ww(w

12h 1 31301313013

1 3 ③)202x 202

www), ww对于具有支承边〔简支边，固定边〕的矩形板，每一内结点的w值为未知数，对每一内结点应列式①的方程。其中涉及边界点和边界外一行虚结点的w值，如式②或③所示。虚结点的w值，用自由边的边界条件来表示，所以求解时比较麻烦。变分法函极值的近似表达式，从而求得问题的近似解。常用的方法是里茨法〔z、伽辽金法〔Galerkin〕里茨法：由 得到再由解出挠度w，进而解出薄板中的内力。伽辽金法：通过选取有限多项试函数〔又称基函数或形函数〔权函数为试函数本身于求解的线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。设 再由

D2wwm

dxdy

qwm

dxdy

得到mCm〔必需满足内力和位移的全部边界条件，进而得到挠度。wCwm m薄板的振动问题：，解：其中，可由此解出频率，解：其中，可由此解出频率ω。振形微分方程： ，矩形薄板的四边均为简支边时，取振形函数为频率 为mn差分法求自然频率： 在任一典型结点0，有由这个方程求出λ，即可求得自然频率ω。能量法求自然频率：薄板在距平衡位置最远时的形变势能应等于它在平衡位置时的动能最大形变势能是w FF dy (F

dx)dy

w(w dx)

Txy

x y x

振形函数取为2w

F w

2w((FTxyxy Txy x

Txy dx)dxdyxy系数行列式必需等于零。这样就得出求解自然频率薄板的稳定问题：当薄板在边界上受有纵向荷载时，薄板每单位宽度上产生中面内力或薄膜内力。由平衡条件有： 现将全部各力投影到z轴上横向剪力的投影：横向荷载的投影：TxxTx 2xw F w 2w F w F 2TxxTx 2xTxx2Txx2

dyx(F

Txdx)dyx(wxdx)(F

x

Txx

Tx dx)dxdyx2w F wTx略去三阶微量(F TxTxx2

x

)dxdy用同样的方法可以得到前后两边的拉压力投影：2w F w(F Tyy2

Tyy

)dxdy左右两边平错力的投影：2w F w用同样的w可前后边的平错力投影(F

)dxdy(F Txy )dxdyTxyxy x y

Tyx

xy y x由平衡条件，将以上各项投影相加，除dxdy，得考虑了中面弯曲变形后中面内力对薄板平衡微分方程的影响

Ty2w 2w 2wTy四．薄板的大挠度弯曲问题

D4w(FTx

x2

2FTxy

xyF

y2

)q微分方程仍旧适用。F FTx Tyx

0,x y

2w 2w 2w面内和挠度表示4F 2F F )qTy

Txy0

Txx2

Txy

Tyy2yTx

2Ty

2FTx

2F

2F Txy

2wE(

2w2wy2 x2 x2 y2薄板的大挠度微分方程组：

xy

xy

x2y2

22w22w222wq,2 2 2 w1w1可以依据q来2w 2ww1w1可以依据q来

xyxy4(薄板)2：xy 2y2弹性曲面微分方程改写为：微分方程的解答可以写成wC1

sinhxC2

coshxC3

xC 4C1~C4可由wd4w2q打算。2 F/Ddx4 dx2 D TxV V V V V12薄板的大挠度弯曲问题用里茨法求解：将中面内各点的位移表示成为uAum m

, vBvm m

, wCm

wAm

、B m m

的代数mm m m方程，从系数。VV Am

V Bm

Cm

qwdxdy,m五．壳体问题以及薄壳的无矩理论薄壳的相关概念：δ--薄壳厚度R—中曲面的曲率半径认为δ/R≤1/20时，就属于薄壳。按中曲面的几何外形分：柱形壳—直线沿给定的平面曲线平动所形成的曲面。如闭口柱壳、开口柱壳、圆柱壳;旋转壳—一条平面曲线绕该平面内正交曲线坐标中的弹性力学几何方程：1u 1 He 1 1u

1 H1u ,1 H HH 1 1 2,

HH 1 31u 1 H 1 H e 2

2u

2u, 2 H HH 2 2 3

3 HH 12 11ue 3

1 H3u

1 H 3u, 3 H HH 3 3 1

HH 2 3 2 H u H u e 3 ( 3) 2 ( 2),23 H2

H3

H H 3 2 H u H u e 3 (1)

( 3),31

2 1 1 3 e2(u)1(u)应变可以不。1112 H H H H 1面的2 线2持为1 线，而且中面法线及其垂直线段之间的直角保持不变，也就是该二方向的切应变为零。与中面平行的截面上的正应力(即挤压应力)，远小于其垂直面上的正应力，因而它对形变的影响可以不计。体力及面力均可化为作用于中面的荷载。壳体的几何方程： 1u

A

1

1w 1 Aw( )1 A AB 1 1 A A AB2 1vB

kw,

1

1w(

1 Bw2 B AB 2 2 B B A2B壳体的物理() ( B v A u 1 2壳体的物理() ( 12 A B B A 12 AB A2B AB2F E

k(

), T1 12 1 2

12 2 1 2 F E

k(

), T2 12

1 12

1 2 1 F E (

k ), T12

2(1)

6 2 12 F E ( 2k ), T21

)

12 6

112 M E3

)k(), 1 12(12)

2 2 1 2 E3M2 12(12)

), 2 1 1 2 1 M E3 ( k2 ),12 12(1) 12 2 12

B A

分方程

(BF) F

)ABkF

ABq

0,M (

T1

T12

1S1 1 21 12(1)

2

A (AF ) F

(BF

)ABkF

ABq

0, T2

T12

2S2 2 AB(kF

kF

)

)

)ABq

0, 1T1

2T2

S1 S2 3 (BM12)BM AM(AM)ABF 12 1 2 S2(AM12)AM BM(BM)ABF 12 2 1 S10, 0, 薄壳的无矩理论：无矩假定就是：假定整个薄壳的全部横截面上都没有弯矩和扭矩无矩理论中的平衡方程： B A (BF ) F F (AF )ABq0,1 T11

T12

T21(AF

A) BF

(BF

0, T2

T21

T12 2 kF1T1

kF q2 T2 3

0, 无矩理论中的物理方程和几何方程：F E

T1 12 1 2 F E

1u A v T2 12 2 1 kw, F

E

1 A AB 1 1v B u T12

12

BABk