第04讲圆周角直线与圆的位置关系正多边形与圆（3大考点13种解题方法）（解析版）

第04讲圆周角、直线与圆的位置关系、正多边形与圆（3大考点13种解题方法）考点考点考向一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。3、圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。圆周角的特点:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边在圆内的部分是圆的弦.4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种:解题规律:5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【微点拨】(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）二、圆内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆．边的性质：（1）矩形：对边相等，对边平行．（2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等．（3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行．归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．3、角的关系猜想：圆内接四边形的对角互补．定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．【微点拨】圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．三、直线和圆的位置关系直线和圆的三种位置关系：(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么【微点拨】这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．【知识拓展】(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．四、切线的判断定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【微点拨】切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.【微点拨】切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【微点拨】切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三边的距离都相等.【微点拨】(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.五、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2)两圆内切d=r1-r2(r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2(r1＞r2)【微点拨】(1)圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2)内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3)具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.六、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．【微点拨】判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).七、正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.【微点拨】要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.八、正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆【微点拨】（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.九、正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形。在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。②正六、三、十二边形的作法。通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分……。【微点拨】画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.考点考点精讲一、圆周角的定义1.如图，、是上的两点，，交于点，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得是等边三角形，结合可得，再根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”即可得出．【详解】解：∵OA=OB，∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形，∵∴∴故选：C2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝105°，则∠BOD的度数是（）A．150° B．105° C．75° D．165°【答案】A【分析】先根据邻补角定义可得，再根据圆周角定理即可得．【详解】解：，，由圆周角定理得：，故选：A．3.如图，点，在上，是的直径，若，则等于（）A．33° B．43° C．28.5° D．57°【答案】A【分析】连接CD，可得，根据圆周角定理以及三角形内角和可得．【详解】解：连接CD,可知，∵BD为直径，∴，∴，故选：A．4.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，然后根据角的和差即可得．【详解】解：四边形是的内接四边形，，，，是的直径，，，故选：A．5.．如图，四边形内接于，、为其两条对角线，，，，连接，则的大小为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同弧或等弧所对圆周角相等可知，，即可求出．即可利用三角形内角和定理求出，再由圆周角定理即可求出，最后即可求出的大小．【详解】∵，，∴，，∴．∵，∴，∴．∴，∴．∵，∴．故选A．二、已知圆内接四边形求角度6.如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A=80°，则∠C的度数是（）A．80° B．100° C．110° D．120°【答案】B【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C=180°-∠A=100°，故选：B．三、直线和圆的位置关系7.如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．【详解】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵AP、BP是切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，∴∠ADB=55°，又∵圆内接四边形的对角互补，∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．故选：C．四、切线的判断定理、性质定理和切线长定理8.如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝120°，则∠BAC的度数是（）A．75° B．70° C．65° D．60°【答案】D【分析】由切线的性质得出AC⊥OA，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA．求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．【详解】解：∵AC与⊙O相切于点A，∴AC⊥OA，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵∠O=120°，∴∠OAB==30°，∴∠BAC=∠OAC-∠OAB=90°-30°=60°．故选：D．五、圆和圆的位置关系9.已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．六、切线的性质定理10.如图，P为半径是3的圆O外一点，PA切圆O于A，若AP＝4，则OP＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】连接OA，OP，切线的性质得到OA⊥AP，然后利用勾股定理计算OP的长．【详解】解：连接OA，OP，∵PA切圆O与点A，可得OA=3，OA⊥AP，∵AP=4，∴OP==5，故选D．七、切线的性质和判定的综合应用11.如图，AB是的直径，PA与相切于点A，交于点C．若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接OC，证明△PAO≌△PCO（SAS），得到∠OCP=90°，进而求得．【详解】如图，连接OC，因为OB=OC，所以∠OCB=∠OBC=70°，所以∠BOC=180°-70°-70°=40°，又因为，所以∠AOP=∠B=70°，∴∠POC=180°-∠AOP-∠BOC=70°，所以在△PAO和△PCO中，，所以△PAO≌△PCO（SAS），所以∠OCP=∠OAP因为PA与相切于点A，所以∠OCP=∠OAP=90°，所以∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=20°，故选：B．八、正多边形的概念12.一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据正多边形的中心角=计算即可．【详解】解：设正多边形的边数为n．由题意=72°，∴n=5，故选：C．九、正多边形的重要元素13.正十边形的中心角是（）A．18° B．36° C．72° D．144°【答案】B【分析】正多边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为360°除以正多边形的边数．【详解】正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°故选：B十、正多边形的性质14.下列关于正多边形的叙述，正确的是（）A．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形B．存在一个正多边形，它的外角和为C．任何正多边形都有一个外接圆D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形【答案】C【分析】根据中心对称图形、轴对称图形的定义、多边形外角和定理、正多边形的性质对各选项逐一判断即可得答案．【详解】A.正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误，B.任意多边形的外角和都等于360°，故该选项错误，C.任何正多边形都有一个外接圆，故该选项正确，D.∵正三角形的每个外角为120°，对应的每个内角为60°，∴存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形，故该选项错误，故选：C．十一、正多边形的画法15.已知⊙O的半径是2，一个正方形内接于⊙O，则这个正方形的边长是（）A．2 B．2 C． D．4【答案】A【分析】利用正方形的性质结合勾股定理可得出正方形的边长．【详解】解：如图所示：∵⊙O的半径为2，四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴AB＝．故选：A．十二、求正多边形的中心角16.如图有一齿轮，相邻两齿之间间隔相等，如果让这个齿轮绕中心旋转，要与原图形重合，至少要旋转（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正多边形的性质，求出每一条边所对的中心角，就是所要旋转的度数．【详解】解：由图可知：该齿轮是正八边形，360°÷8=45°．故选C．十三、正多边形和圆17.一个圆的半径为，则该圆的内接正方形的边长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正方形的性质得出【详解】如图，圆的半径为，AB=BC，结合勾股定理，进而即可求解．∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，∴AC是圆的直径，∴AC=2×4=8，∵AB2+BC2=AC2，AB=BC，∴2AB2=64，解得：AB=4，故选C．巩固巩固提升一．选择题（共11小题）1．（2022•江阴市校级一模）如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】连接BC，由弦切角定理得∠ACE＝∠ABC，再由切线的性质求得∠DBC，最后由切线长定理求得∠D的度数．【解答】解：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．解法二：连接OC，BC．∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠ABC＝25°，∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，故选：A．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弦切角定理等知识，综合性强，难度较大．2．（2021秋•南京期末）如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4【分析】直接根据直线与圆的位置关系可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6＞3，∴直线l与⊙O相交．故选：D．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＜r时直线l和⊙O相交是解答此题的关键．3．（2021秋•滨海县期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆 C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵OD⊥a于D，∴以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切．故选：D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．4．（2022•崇川区一模）如图，AB为⊙O的弦，C，D为⊙O上的两点，OC⊥AB，垂足为E，∠ADC＝22.5°．若OC＝2，则AB的长为（）A．2 B．2 C．3 D．2【分析】连接OA，根据圆周角定理及垂径定理可得∠AOB＝90°，进而利用勾股定理即可得AB长．【解答】解：如图，连接OA，∵∠ADC＝22.5°∴∠AOC＝22.5°×2＝45°，∵OC⊥AB，∴，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∴∠AOB＝90°，在Rt△AOB中，OA＝OB＝OC＝2，AB＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理和垂径定理，解题关键是熟练应用圆周角定理和垂径定理．5．（2022•江都区二模）如图，点A是⊙O上一点，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，若∠OAC＝65°，则∠B的度数是（）A．40° B．50° C．45° D．55°【分析】根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝65°，∴∠AOB＝50°，∴∠B＝90°﹣∠AOB＝40°，故选：A．【点评】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解决问题的关键．6．（2021秋•镇江期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E、F分别是AD、BC的中点，点P在线段EF上，△PAB内切圆半径的最大值是（）A．1 B． C． D．【分析】由三角形APB的面积为12，可知AP+BP最小时，r有最大值，连接CA与EF交于点P'，求出AC＝10，由三角形面积公式可得出答案．【解答】解：∵点E、F分别是AD、BC的中点，四边形ABCD是矩形，∴EF∥AB，∵P在EF上，AB＝8，BC＝6，∴S△PAB＝×8×3＝12，设△PAB内切圆半径是r，∵S△PAB＝（AP+PB+AB）•r＝12，∴AP+BP最小时，r有最大值，如图，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CA与EF交于点P'，∵AP+BP＝AP+CP≥CA，∴此时CA即为AP+BP最小值，∵AB＝8，AD＝6，∴AC＝＝10，∴AP+BP最小值为10，∴PA＝PB＝5，∴×8×r＝12，解得r＝．故选：D．【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称求最短距离；能够将AP+BP最小值转化为CA的长是解题的关键．7．（2022•常州模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝74°，点O是△ABC的内心．则∠BOC等于（）A．124° B．118° C．112° D．62°【分析】根据三角形内心的性质得到∠OBC＝∠ABC＝25°，∠OCB＝∠ACB＝37°，然后根据三角形内角和计算∠BOC的度数．【解答】解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC＝×50°＝25°，∠OCB＝∠ACB＝×74°＝37°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣25°﹣37°＝118°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．8．（2022•沈阳模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为⊙O上一点，则∠EFC的度数为（）A．36° B．45° C．60° D．72°【分析】先由正多边形内角和定理求出∠CDE，再根据圆内接四边形的性质即可求出∠EFC．【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠CDE＝＝108°，∵四边形CDEF是⊙O外接四边形，∴∠EFC+∠CDE＝180°，∴∠EFC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣108°＝72°，故选D．【点评】本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键．9．（2022•灌云县一模）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝110°，则∠BOD＝（）A．110° B．120° C．130° D．140°【分析】根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理得出答案．【解答】解：∵⊙O的内接四边形ABCD，∠A＝110°，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣110°＝70°，∴∠BOD＝2∠C＝140°，故选：D．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补以及圆周角定理是正确解答的前提．10．（2021秋•滨海县期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝3，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．故选：C．【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．11．（2022•宜兴市一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．108° B．129° C．130° D．144°【分析】根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为108°，由切线的性质可得出∠OAE＝∠OCD＝90°，在五边形CDEAO中由内角和可求出答案．【解答】解：∵正五边形ABCDE，∴∠D＝∠E＝＝108°，又∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，在五边形CDEAO中，∠AOC＝（5﹣2）×180°﹣90°×2﹣108°×2＝144°，故选：D．【点评】本题考查正多边形与圆，切线的性质，掌握正多边形的内角、内角和的计算方法以及切线的性质是正确计算的前提．二．填空题（共3小题）12．（2020秋•崇川区月考）如图，P是圆O外的一点，点B、D在圆上，PB、PD分别交圆O于点A、C，如果AP＝4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝4．【分析】根据“从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等”得到：PA•PB＝PC•PD，即PA•PB＝PD2．【解答】解：如图，∵AP＝4，AB＝2，PC＝CD，∴PB＝AP+AB＝6，PC＝PD．又∵PA•PB＝PC•PD，∴4×6＝PD2，则PD＝4．故答案是：4．【点评】本题考查了切割线定理．（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．13．（2021•盐都区二模）如图，在⊙O中，弦CD过弦AB的中点E，CE＝1，DE＝3，则AB＝2．【分析】直接利用相交弦定理得出CE×DE＝AE×BE，求出即可．【解答】解：∵弦CD过弦AB的中点E，CE＝1，DE＝3，∴CE•DE＝AE•BE，∴1×3＝AE2，解得：AE＝，∴弦AB的长为：AB＝2AE＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了相交弦定理，正确记忆相交弦定理是解题关键．14．（2022•宜兴市一模）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E在对角线BD上运动，⊙O为△DCE的外接圆，当⊙O与AD相切时，⊙O的半径为2；当⊙O与四边形ABCD的其它边相切时，其半径为或10﹣6．【分析】⊙O与AD相切于点D，此时OD＝OC，∠OCD＝∠ODC＝120°﹣90°＝30°，所以∠ODF＝30°，∠FOD＝60°，则∠OFD＝90°，在Rt△CDF中根据勾股定理列方程即可求出OC的长为2，即此时圆的半径为2；⊙O与BC相切于点C，则OC＝OD＝CD＝，此时圆的半径为；⊙O与AD相切于点G，连接OG、OD，OC，作OL⊥AD于点L，设⊙O的半径为r，则OG＝OD＝r，作OH⊥CD于点H，交AB于点K，作KM⊥BC于点M，则DH＝CH＝CD＝，可推导出DL＝2﹣r，OL＝AG＝4﹣r，在Rt△DOL中根据勾股定理列方程求出r的值即可．【解答】解：如图，⊙O与AD相切，连接OD，连接CO并延长CO交BD于点F，∵点O到AD的距离等于⊙O的半径，且OD是⊙O的半径，∴OD就是点O到AD的距离，∴AD⊥OD，∴∠ODA＝90°，∵AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴tan∠ADB＝＝，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝120°﹣90°＝30°，∴∠ODF＝30°，∠FOD＝∠OCD+∠ODC＝60°，∴∠OFD＝90°，∴OF＝OD＝OC，DF＝OD•sin60°＝OD＝OC，∵DF2+CF2＝CD2，且CD＝2，∴（OC）2+（OC+OC）2＝（2）2，∴OC＝2或OC＝﹣2（不符合题意，舍去），∴⊙O的半径为2；如图，点O在CD边上，∵∠BCD＝90°，∴BC⊥OC，∴⊙O与BC相切于点C，∵AD＝CD＝2，∴OC＝OD＝CD＝×2＝，∴⊙O的半径为．如图，⊙O与AD相切于点G，连接OG、OD，OC，作OL⊥AD于点L，设⊙O的半径为r，∵∠OGA＝∠OLA＝∠A＝90°，∴四边形OGAL是矩形，∴AL＝OG＝OD＝OC＝r，∴DL＝2﹣r，作OH⊥CD于点H，交AB于点K，作KM⊥BC于点M，则DH＝CH＝CD＝，∵∠KMC＝∠MCH＝∠KHC＝90°，∴四边形MKHC是矩形，∴KM＝CH＝，∵∠BMK＝90°，∠KBM＝60°，∴＝sin∠KBM＝sin60°＝，∴，∴BK＝2，∵KH∥BC，∴∠OKG＝∠ABC＝60°，∵∠OGK＝90°，∴＝tan∠OKG＝tan60°＝，∴KG＝OG＝r，∴OL＝AG＝6﹣2﹣r＝4﹣r，∵∠OLD＝90°，∴OL2+DL2＝OD2，∴（4﹣r）2+（2﹣r）2＝r2，整理得r2﹣20r+84＝0，解得r＝10﹣6，r＝10+6（不符合题意，舍去），∴⊙O的半径为10﹣6，综上所述，⊙O的半径为或10+6，故答案为：2；或10﹣6．【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三．解答题（共10小题）15．（2022•滨海县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，OE⊥BC于点E，AB＝12cm，OE＝3cm．（1）求证：CD是⊙O的切线：（2）求AD的长．【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，AD∥OC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；（2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝6，再证明△DAC∽△CAB，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，又∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵OE⊥BC，OE过圆心O，∴BE＝CE，又∵O为AB的中点，∴，∵OE＝3，∴AC＝2OE＝6，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠D＝90°，又∵∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ABC，∴，即，∴AD＝3．【点评】本题考查圆的切线及圆中的计算，涉及圆周角定理、相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．16．（2022•启东市二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，连接AO，并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD＝4，求线段AE的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，根据圆周角定理得到∠AOC＝90°，根据平行线的判定定理证明结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于点F，证明四边形OAFC是正方形，得到AF＝OA＝2，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴AD∥EC；（2）解：过点A作AF⊥EC交EC于点F，∵∠AOC＝90°，OA＝OC，∴∠OAC＝45°，∵∠BAC＝75°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠OAC＝75°﹣45°＝30°，∵AD∥EC，∴∠E＝∠BAD＝30°，∵∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴AF＝OA＝AD＝2，∴AE＝2AF＝4．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、正方形的判定和性质，掌握圆的求出垂直于过切点的半径是解题的关键．17．（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC交⊙O于点P，若AP＝，BF＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AF，根据菱形的性质得到∠ACF＝∠ACE，根据全等三角形的性质得到∠AFC＝∠AEC，推出OA⊥AE，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BP，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，求得AC＝2AP＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF与△ACE中，，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠AFC＝∠AEC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AB∥DC，∴∠BAE+∠AEC＝90°，∴∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接BP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AB＝CB，AP＝，∴AC＝2AP＝2，设⊙O的半径为R，∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2，∴，∴R＝（负值舍去），∴⊙O的半径为．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．18．（2022•秦淮区二模）如图，A，B是⊙O上的两点，点C在⊙O内，点D在⊙O外，AD，BD分别交⊙O于点E，F．求证∠ACB＞∠ADB．【分析】延长AC交⊙O于M，连接BM，BE，根据三角形的外角性质得出∠ACB＞∠AMB，∠AEB＞∠ADB，根据圆周角定理得出∠AMB＝∠AEB，再求出答案即可．【解答】解：延长AC交⊙O于M，连接BM，BE，∵∠ACB＞∠AMB，∠AEB＞∠ADB，又∵∠AMB＝∠AEB，∴∠ACB＞∠ADB．【点评】本题考查了垂径定理和三角形外角性质，能熟记圆周角定理是解此题的关键．19．（2022•通州区一模）如图是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务．※年※月※日星期天错题积累在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，O是AB上一点，且⊙O经过B，D两点．……【自勉】读书使人头脑充实，讨论使人明辨是非，做笔记则能使知识精确．（1）使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形（不写作法，保留作图痕迹）：（2）若AB＝6，∠A＝30°，求⊙O的半径．【分析】（1）先作∠ABC的平分线，再作BD的中垂线交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可；（2）利用角平分线的定义、直角三角形的边角关系，特殊锐角三角函数值以及中垂线的定义进行计算即可．【解答】解：（1）使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形如图所示：（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，∠A＝30°，∴BC＝AB＝3，AC＝AB＝3，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝30°＝∠A，∴BD＝＝2，又∵直线OM是线段BD的中垂线，垂足为M，∴MB＝BD＝，在Rt△BOM中，OB＝＝2，即⊙O的半径为2．【点评】本题考查圆周角定理，线段的中垂线以及角平分线，掌握圆周角定理、角平分线定义、锐角三角函数、特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．20．（2022•鼓楼区二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）已知AG＝8，＝，点I为△ABC的内心，求GI的长．【分析】（1）连接OG，根据角平分线的定义得到∠BAG＝∠CAG，根据垂径定理得到OG⊥BC，根据平行线的性质得到OG⊥EF，根据切线的判定定理得到结论；（2）连接BI，BG，根据角平分线定义得到∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，推出∠BIG＝∠GBI，得到BG＝IG，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OG，∵∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，∴∠BAG＝∠CAG，∴＝，∴OG⊥BC，∵DE∥BC∴OG⊥EF，∵OG是⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）解：连接BI，BG，∵点I为△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC，∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，∵∠BIG＝∠BAI+∠ABI，∠GBI＝∠GBC+∠CBI，∠GBC＝∠GAC，∴∠BAI＝∠CBG，∴∠BIG＝∠GBI，∴BG＝IG，∵BC∥DE，∴△ABF∽△ADG，∴＝＝，∵AG＝8，∴AF＝6，∴FG＝2，∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠BAG，∴△BGF∽△AGB，∴＝，∴＝，∴BG＝4（负值舍去），∴GI的长为4．【点评】本题考查了切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．21．（2022•江阴市模拟）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点D．（1）判断△CBD的形状，并说明理由；（2）若CD＝3OD，AD＝8，求⊙O的半径．【分析】（1）根据切线的性质和垂直定义可得∠OBC＝∠AOC＝90°，再根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠OBA，从而可得∠ABC＝∠ADO，然后利用对顶角相等，即可解答；（2）根据题意设OD＝x，则CD＝3x，从而求出BC，OC，再在Rt△OBC中，利用勾股定理求出OB的长，从而求出OA的长，然后在Rt△AOD中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：（1）△CBD是等腰三角形，理由：∵BC与⊙O相切于点B，∴∠OBC＝90°，∴∠OBA+∠ABC＝90°，∵OC⊥OA，∴∠AOC＝90°，∴∠A+∠ADO＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠OBA，∴∠ABC＝∠ADO，∵∠ADO＝∠CDB，∴∠ABC＝∠CDB，∴CD＝CB；（2）∵CD＝3OD，∴设OD＝x，则CD＝3x，∴OC＝OD+CD＝4x，CD＝BC＝3x，在Rt△OBC中，OB＝＝＝x，∴OA＝OB＝x，在Rt△AOD中，AO2+OD2＝AD2，∴（x）2+x2＝82，∴x＝2或x＝﹣2（舍去），∴OA＝x＝2，∴⊙O的半径为2．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质，圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理是解题的关键．22．（2020秋•玄武区月考）【阅读理解】[阅读与思考]如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；如图②，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；如图③，在正五边形ABCDE中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；[理解与运用]在正六边形ABCDEF中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝FM，∠NOF＝120°；在正十边形ABCDEFGHIJ中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝JM，∠NOJ＝144°；[归纳与总结]根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也会有类似的结论，你的结论是以上所求的角恰好等于正n边形的内角．【分析】[阅读与思考]根据等边三角形的性质得出∠B＝∠CAM，AB＝AC，进而利用全等三角形的判定与性质得出，∠OAC+∠BCM＝∠NOC＝60°；根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，∠DON＝∠DAN+∠ADM＝90°；根据正五边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，∠EON＝∠AEM+∠EAN＝108°；[理解与运用]根据以上所求结论即可得正六边形ABCDEF中，∠NOF＝120°；根据以上所求结论即可得正十边形ABCDEFGHIJ中，∠NOJ＝144°；[归纳与总结]根据以上所求得出在正n边形中，类似的结论．【解答】解：[阅读与思考]∵在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，∴∠B＝∠CAM，AB＝AC，∵在△ABN和△CAM中，∴△ABN≌△CAM（SAS），∴AN＝CM，∠BAN＝∠MCA，∴∠NOC＝∠OAC+∠MCA＝∠OAC+∠BAN＝∠BAC＝60°，故答案为：60°；∵在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AN＝DM，∴AD＝AB，在△ABN和△DAM中，，∴△ABN≌△DAM（SAS），∴∠AMD＝∠ANB，∠ADM＝∠BAN，∴∠DON＝∠DAN+∠ADM＝90°，答案为：90°