数列求和7种方法(方法全-例子多)

11n1nnnnnn数列求的本方法技（配以应的练）11n1nnnnnn一总：列和种法利等、比列和式错相法和反相法和分相法和裂消法和二等数求的法逆相法等数的和法错相法三逆相法错相法数求的个本法一利常求公求利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方、等数列求和公式：

Sn

n)1nnad2、等比数列求和公式：

na(1)n11

((、

(n4Skk

2

n、

n

k

3(n

2[已知

12

，求

x

2

3

n

的前n项解：由等比数列求和公式得

（利用常用公式）(1＝＝1

)n

＝1

12n[设S＝1+2+3+，∈N*,

f(n(nS

n

的最大

nnnnnnnnnn解：由等差数列求和公式得

Sn

11nn，(2)22

（利用常用公式）∴

f(n

n(nS

n

＝

nn234＝

1＝64n34(n

18n

)50

∴当

n

8n

，即＝8时，

f(nmax

150二错相法和这种方法是在推导等比数列的前项公式时所用的方法这种方法主要用于求{·}前n项和，其中{a}{b}别是等差数列和等比数列.[求和：S

……①解：由题可知，{

(2

n

}通项是等差数列{2n－1}的通与等比数{

n

}通项之积设

xSx23x

……….②

（设制错位）①－②得

(1Sxx

x

2

nx

（错位相）再利用等比数列的求和公式得：

)Sxn

11

n

n∴

Sn

(2)2[求数列

262n,,22

前的和.1解：由题可知，{}通项是等差数{2n}的通项与等比数列{}通项之积n2设

242nS22232

………………①nS2

………………②设制错位）222n①－②得)S22212n22n2n

（错位相）∴

S4n

n2

练题答：

nn的n项和____三逆相法和这是推导等差数列的前n项和公式时所用方法，就是将一个数列倒过来排列（反序它与原数列相加，就可以得到n个

)1

[求证：

n证明：设

…………..①把①式右边倒转过来得C

(2nC

（反序）又由

mn

可得C

C

C

…………..……..②①②

(2n2)(C

)2(

（反序相加）(n∴题12

.1=21

nannnnnnannnnn四分法和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即.[求数列的前项和：

1

1114,aa

n

，解：设

Sn

112)aa2将其每一项拆开再重新组合得1Sa

（分组）当a，

Sn

nnn＝22

（分组求和）当

a

时，

11Sn1a

n1(3nn＝22[求数{的n项和解：设

k(kkk3k2k∴

(k＝n

(2

3

k

2

)k将其每一项拆开再重新组合得＝

3

（分组）k

k＝

3

3

2

＝

n

2

(n(n(2

（分组求和）＝

n(n22

(2)

nnnnnnnnnn五裂法和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目.通分解（裂项如：（1

a(f(n)

（2

cos

sin1

nn（3

an

11n(nn

（4

n

)()1)(2n2nn（5

an

1[n(n((

]

n

12(1则nn(2n(n(n

n（7

a

111()()CAn（8

a

1nn

[求数列

11

123

1,,nn

的前项解：设

1annn

（裂项）则

Sn

112

12

1n

（裂项求和）＝＝

(1)3n

2)[在数列{}，

a

12n

，又

n

n

n

，求数列{}前项的和解：∵

a

1nnn2∴

118()nnn2

（裂项）∴数列{}前n项

81nnnnn111181nnnnnS))))]23n

（裂项求和）＝

8(1

1n)＝n（2009年东文）20.（本小题满分分）1已知，数3

f(a

(且a象上一点数

{}

的前n项为

f()

,数列

{}(0)

的首项为c，前n项S满足S－S

=+n

n

2）.（1求数列

{}

和

{}

的通项公式；（2若数列

1bbnn

}

前n项和为

，问

>

的最小正整数n是多?0.【解析）

f

,f

x

f1

,

a

29

,a34

227

.又数列

，

a2a2a

2123327

，所以

c

；a12又公比2，所以n*；a3SSnnnn又

,

S

,

；数列

构一个首相为1公为1的差数列，

Sn

当2，bnn

n

2

；b2

(

N

*

)；（2

11Tbbb124

1bn

35

11122

nnn22n2

；由

Tn

得n，满足Tn9

的最小正整数为112.

3SS；3SS；练习题1.练题。

=求数列通项公的常用方法（1）求差（商）法［练习］数

n

5，an

注意，代入得n，列n

n时ann

n

…

n（2）叠乘法a如：数列a中，a，，aaa12a1解2·3…n·……，∴na，∴211（3）等差型递推公

3n

.由an

n

()，，，用迭加法1nn时，

f2f(3)3……f(n

两边相加f(2)f(3)()n∴af(2)f(3)f()n0

n11nn11n［练习］数

aann

（

）已知数列

a

12

，

a

，求

。解由件知：

a

n

n

11n(nn分别令

1,2,3,

，代入上式得

(n

个等式累加之，即a))21n

n

111)))224nn所以

1

，

1322（4）等比型递推公

c、为常数，d可转化为等比数列，n

can

(