第11讲最值范围问题题型拓展11课程加爱学习

最值范围问题-清北答案解例题 已知椭圆G:4y1，过点(m0)作圆xy1的切线l交椭圆G于A，B将∣AB∣表示为m的函数，并求∣AB∣的最大值 3,m=∣AB∣= ；22【解析】解：由题意知：∣m∣⩾当m1时，切线l的方程为x点A 3)，点B1,−3)，此时∣AB∣ 当m=−1时，同理可得：∣AB∣= 当∣m∣>1时，设切线l的方程为：yk(xy=k(x−由4

+2y

⇒(1+4k2)x2−8k2mx+4k2m2−4=设A(x1y1)，B(x2则x 4k2m2− x2

1+

，x1⋅x2

1+又直线l与圆x2y2=1相切

=1 2=1+k21+ ∴∣AB∣ (x1−x2)2+(y1−y2)2 (1+k2)[(x1+x2)2− (1+k2)⋅[64k4 (1+4k2由于当m=±1时，∣AB∣

4(4k2m2−]=]1+

43∣m∣m2+m2+ a+c=2 4解：由题意得 ,解得a=2，c 3，b=1，所以所求的椭圆方程 +y=4a−c=2 求四边形AEBF点E，F到AB的距离分别为h1=∣x1+2kx1−2∣=2(1+2k 1+4k2)，h2=∣x2+2kx2−2∣=2(1+2k 1+4k2 5(1+4k2 5(1+4k2又∣AB∣ 22+1 所以四边形AEBFS=1∣AB∣(h+h)=1 5

4(1+ 5(1+4k2

2(1+2k)=1+

1+4k2+4k⩽21+当2k=1，即k=1时，上式取等号，所以S的最大值为2．达标检测++4

A.2B.C.D.2【答案】设直线l的方程为：ty=x+1．设A(x1y1)，B(x2联立{ty=x1+= += 化为：(3t24y26ty9Δ>∴y+y ，yy 3t2+ 1 3t2+ 12t2+∴∣y1−y2∣ (y1+y2)—4y1y2 (3t2+4)2−4×3t2+4 3t2+4∴ =1⋅∣y−y∣⋅(c+a)=1×12t2+1×3=18t2+1 3t2+ 3t2+令t21=m⩾1，可得：t2=m2−1．∴S△ABQ =f3m2+ 18(1−f(m) (3m2+1)2<可得当m=1，即t=0时，函数f(m)

=9ABQ 9∴△ABQ面积的最大值为2达标检测已知椭圆C:x2+y2=1( >0)的离心率为3， (2,1)在椭圆上 直线l平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，则直线l在y轴上的截距m的

2,0)∪ 23,0)∪ 3(−2 2(−3 3【答案】由直线l平行于OM，得直线l的斜率k=1

=1，又l在y轴上的截距为m，∴l的方程为y y=1x+

x+2 ={ =8

，得x22mx2m24=又直线l与椭圆交于A、B两个不同点，Δ=(2m)2−4(2m2−4>0，于是−2<m<设A(x1,y1),B(x2,y2)， 则OAOB=x1x2y1y2=x1x22x1m)(2x2m

x1x2+

2(x1+x2)+m2<由根与系数的关系得x1+x2=−2mx1x2=2m2−4，代入上式化简整理得m2<2，即 2<m 2，故m的取值范围是 2,0)∪ 例题4

+= P(0, += P(0, λ=∣PA∣的取值范围【答案】[2 3,2 【解析】解：设A，B两点坐标分别为(x1,y1)，(x2,当直线AB与y轴重合，且A点与上顶点重合时，λ当直线AB与y轴重合，且A点与下顶点重合时，λ

=2 =2 当直线AB的斜率为0时，λ =当直线AB的斜率存在且不为0时，不妨设直线AB的方程为：ykx1，联立3x2+4y2=12，得(3+4k2x2−8kx−8=0，则有x1+x2 ①，x1⋅x2= 3+ 3+设λ=∣PA∣x1，则x1=−λx2，代入 x−λx 3+−λx2= 2

3+

8 3+ 2 22x2(1− (1−2

3+4k2()()

⋅(1 ) (1−

>1，解得22

3<λ<2 综上，λ的取值范围是[2 3,2 例题已知椭圆

3=1，过左焦点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x， =λF 5⩽λ⩽7，则直线l的斜率k的取值范围为 ， 3 33 ( [3 34【答案】【解析 解：设直线l：xty1(k=t则{x=ty3x2+4y2=

⇒3(ty−1)2+4y2=即(3t2+4y2−6ty9=yA+yB=3 t2+4t2yAyB=−t2依题意有λ

⇒

=−λyB(1− 消去yA，yB =λ+λ−2=3t2+4令f(λλ+12(5⩽λ⩽7 ′(λ)=1−1则

λ2−1>所以f(λλ

12在[5

7]上递

3 15⩽f(λ)⩽21⇔15⩽3t2+4⩽21⇔16⩽t2⩽3，由k=1>0，得3⩽k⩽ 所以直线l的斜率k的取值范围是[34

32019浙江例题如图，已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点 别为S1、求p的值及抛物线的准线方程【答案】p2，准线方程为x【解析】解：由题意得p=1，解得p=2∴抛物线的方程为y24x，准线方程为x求

【答案】S1的最小值为1 3，此时G(2, 【解析】解：设A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、GyG)．令yA=2tt/0)，则xA=t2，即A(t2∣∵F(1,0)，∴直线AB：

1∣= 即2tx+(1t2y−2t=联立2tx(1t2y2t=0y2=消去x有t

+(1−t2)y−2t=2解得y2t或y

，∴ =−2 ∴xB B ，即B ,− ∴xG=1(xA+xB+xC)，yG=1(yA+yB+yC ∵yG=0，∴yC=−yA−yB=2−∴xC= 1− t 即Ctt2t 2t4−2t2+∴xG=3[t+t2+(t−t)]=2t4−2t2+2即G ,

∵kAC

2− =——∴直线AC：y2t=2t(x令y0，有xt21，得Q(t21∵点Q在点F的右侧，t211，解得t2>2．S1

1∣FG∣∣yA 21∣QG∣∣yC 2∣2t4−2t2+2−1∣ ∣t2−1−2t4−2t2+2∣∣2− ∣∣ =2t4−t4−

=2−t2−2t4−令m=t2−2m>则S1=2 m2+4m+=2 ⩾2 mm+3+ 23+m=1 32当且仅当m

3，即m 3时取等号m故S1的最小值为1

25随堂题 已知椭圆C1:4+3=1，若过点D(4,0)的直线l与椭圆C1交于不同的两点A、B，且A在点D与点 (1,3(1,)∪(1,3(1,3【答案】 整理得(3m24)y224my360，由Δ>0，解得m2>4．

=设A(xy)，B(xy)

y1+y2=−24m

y1y2

3m2 36令λ

，则λ

1∣OD∣⋅ 21∣OD∣⋅2

y1且0λ(λ+1)y2= (λ+ 2将y1=λy2代入①②得 3m2+4，消去y2 2

λy2

3m2

即m 10λ−3λ2− (λ+ 由m4得10λ3λ231，所以λ1且3λ10λ31解得λ1或1λ3．又∵0λ1，∴1λ3(

,．随堂题已知椭圆C：2x2+y2=1，直线l与y轴交于点P(0,m)，与