9.5-多元函数的高阶偏导数

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设z=f(x,y)在域D

内存在偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数

.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y

的一阶偏导数为例1.

求函数解

:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及例如,二者不等例2.

证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程证:令则则定理.令同样在点连续,得例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n

元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等为简便起见,引入记号例3.设

具有二阶连续偏导数,求解:令则(当在二、三象限时,)例4.设二阶偏导数连续,求下列表达式在解:

已知极坐标系下的

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