第六节不定方程

第六节

不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等方程或方程组。不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科也历史上最活跃的数学域之一。不定方程的内容十分丰富代数数论、几何数论合论等等都有较为密切联系定程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现每世界各地的数学竞赛吉定方程都占有一席之地另外它也是培养学生思维能力的好材料数竞赛中的不定方问题仅要求学生对初等数论的一般理论方法有一定的了解，而且更需要讲究思想法与技巧创造性的解决问题在节我们来看一看不定方程的基础性的题目。基知1．不定方程问题的常见类型：（）不定方程的解；（）定不定方程是否有解；（）定不定方程的解的个数（有限个还是无限个2．解不定方程问题常用的解法（）数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（）等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（）余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（）造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（）穷递推法。以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（）元次定程组定1.形如

axa,,cb

不同时为零的程称为二元一次不定方程。定1.方程

ax

有解的充要是

(ab|

；定2.若

(a,b

，且

x,y0

0

为

ax

的一个解，则方程的一切解都可以表示成

tab)ta,b)

(t

为任意整数。定3.元一次不定方程(,a)条件是.12n

x12n

，

a1

n

)有的充要

xx1

x(,(,12233

n

dn

n

cnat2dtxt2tdtxtnnntx

n

m

m

（）次定程组及解1．因式分解法：对方程的一边行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；2同余法如果不定方程

(xn

有整数解则对于任意整数解(x)n

满足

F(x,,x)0(mod

用这一条件可以作为探究不定方程整数解的一块试金石；3．不等式估计法：利用不等式具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解；4．无限递降法：若关于正整数

n

的命题

(n)

对某些正整数成立，设

0

是使

()

成立的最小正整数，可以推出：存在

1

*

，使得

1

0

成立，适合证明不定方程无正整数解。（）殊不方1．利用分解法求不定方程

ax(

整数解的基本思路：将

转为后若ab可分解为

bbii

，

c1(nc1(n)*axi则解的一般形式为，取舍得其整数解；ic2．定2：形如

x2y2

的方程叫做勾股数方程，这里,y,

为正整数。对于方程

x

2

y

2

2

，如果

(xy)，则

2

|z

2

，从而只需讨论

(xy

的情形，此时易知xyz

两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。定理3.勾股数方程

x

2

y

2

2

满足条件

的一切解可表示为：xy,

，其中

b

且

b

为一奇一偶。推论：勾股数方程

x

2

y

2

2

的全部正整数解（x顺序不加区别）可表示为：xa

2

2

),y2,a

2

2

)

其中

是互质的奇偶性不同的一对正整数，

是一个整数。勾股数不定方程

x2y

的整数解的问题主要依据定理来解决。3．定3.程

x

2

2

xZ,

*

且不是平方数)是

x

2

2

的一种特殊情况，称为沛(方。这种二元二次方程比较复杂它本质上归结为双曲线方程

x2

的研究其

都是整数，

且非平方数，而

c0

。它主要用于证明问题有无数多个整数解。对于具体的

可用尝试法求出一组成正整数解。如果上述pell程有正整数解

(y)

，则称使dy

的最小的正整数解

(,)1

为它的最小解。定4.Pell方

x22,y,*

且不是平方)必有正整数解

(,y)

且若设它的最小解为

()，则它的全部解可以表示成：11x(d)nxy)n1(xdy)n)n2

.上面的公式也可以写成以下几种形式：（）

n

n

1

)

n

）

xxy11yyy11

）

xnxy

.定5.Pell方

x

2

2

yZ,d

*

且不是平方)要么无正整数解么有无

211(N)*211(N)*8穷多组正整数解

(y)

，且在后一种情况下，设它的最小解为

(,)1

，则它的全部解可以表示为

x(xy)xd)21(xy)dy)22定6.（费马Fermat）定理方程

x

n

y

n

n

(n

为整数无整数解。典分例．不定方程25的数解。解先求37的组特解，为此对37，107运用辗转相除法：233

，4

，4将上述过程回填，得：373737由此可知，xy是程37107的组特解，于是，

是方程37y25

的一组特解，因此原方程的一切整数解为：

t225t

。例．求不方程213

的所有正整数解。解方程中的最小系数7去方程的各项项得

213yy30y77因为

是整数，故

37

也一定是整数，于是有

y

，再用5去比式的两边，得

y

3u3uu，55

为整数，由此得

2u3

。经观察得

v

是最后一个方程的一组解，依次回代，可求得原方程的一组特解：x25,y20

，所以原方程的一切整数解为：

xtyt

。例．不定方程

x

的正整数解。解显此方程有整数解。先确定系数最大的未知数的值范围，因为

,,

的最小值为1，所以

1

。

1111(当z时方变形为

x

32x2

由式知是偶数且

2x10410故方程组有5组整数解，分别为，，，，y13107y

；当z，原方程变形为

x24，y

24x2

，故方程有3组正数解，分别46为：，，；y9y6y3当

z

时，原方程变形为

x16

，即

y

16x2

，故方程有2组整数解，分4为：，；y5y当

z4

时程变形为

x

y

82

方程只有一组正整数解

x2y

。故原方程有11组正数解（如下表

246810246242131074196352111111222334例．出方程

x2y2

的所有正整数解。解：先求最小解

(x,)。y1当y时，

2

；时

2

29；当y时，1y

2

2

。所以

x2y2

的最小解为

(8,3)

，于是：x(xy))n[(8)nn]1(dy)nd)n[(8)nn]d

*

)例．在直坐标平面上，以199）为圆心，以199为径的圆周上的整的个数为多少个？解：设

(x)

为圆

上任一整点，则其方程为：

y2x199)

；显然

(0,0),(199,199),(199,

为方程的组解但当

y0,

时，

(

（因为199是数时

是一组勾股数，故199可表示为两个正整数平方和，即

22

。

因为

1449

，可设

mnl

，199kll4(k)这与199为

4d

型的质数矛盾圆O上只四个整点0,0),(199,199),(199),(389

。例．求所满足

yz

的正整数三元组

(,,z

。解：两边取m，得(

y

1(mod8)

，所以y是偶数，再mod得23

z

(mod

，所以

也是偶数。此时令

y,ztmt)于是，由

yz

可知：

tm)tm

；由唯一分解定理(17t

)

，t

m

)x

从而

17t

12

(2

)

x注意到17是奇，所以要使

17t

12

(2

s

)

s

x

成立，一定有

s

。于是

tm

2

。当

m

时在

tm2

的两边取

mod9

得

(t2(mod9)

这然是不成立的，所以

，从而

tx

。故方程

xyz

只有唯一的一组解（，，例．

a

是一个给定的整数，当

a

为何值时，

的方程

y3a(xy

有正整数解？在有正整数解时，求解该不定方程。解；若有质数|x，

|，|x，从而p|，盾！所以

(3xy

。因此

xy|y

3

当且仅当

xy|y

3

。因为

x(

3

3

x

3

，显然

xyx3(，以|y3当仅当xy|3

）（）y时a

2x

，以2或3，a2或a；（）似地，若，

y

Z，以y或ya或a14；（）于条件（*妨

xy

；若

y

，则

yy

1y

，所以

x

；若

y

，则因为

y3y),xy)

，所以存在

，使得：

yxyby

，所以

y1byyxyyy

，

1by

。因为

yN

，所以必有

。所以

yxy

，故y3xyyxy所以

2y

，所以

y

或

y当y2时；当y时5，对应的a为或。由条件（）知

x

以及

xy

也是原方程的解，对应的整数

a

为14或9。综上当

1,2,3,9,14

时原方程有整数解它分别是（，例．求证边长为整数的直角三角形的面积不可能是完全平方数。证明假结论不成立在所有面积为平方数勾股三角形中选取一个面积最小的设其边长为

，则

12

xy

是平方数，则必有

(,y)

。因为

x2y2

，故存在整数

中一奇一偶，

(a,b

，使得（不妨设

是偶数）

xa22,2abza

。由于

12

xya)(a)

是完全平方数，而知

,,

两两互素，故它们是平方数，即

p2,bq2,a2a

2

，所以

2

2

2

即

()()2q

2因为

,

是奇数，易知

(u,)2

，于是

u

与

u

中有一个是

2r

，另一个是s)

2

，而

2

r

2

s

2

；另一方面，

p,22得

11(u2)[(u)2]21r22s)]444所以

r

2,2

,

为边的三角形都是直角三角形积于

12

r

)

是平方数，但是

()

2

b22)xy2

于是构造出了一个面积更小的股三角形

盾！参考文献1林匹克数学中的代数问题冷岗松沈文选唐华等著