人教A版选择性必修第一册第二章第13课时直线与圆的位置关系的应用作业

第13课时直线与圆的位置关系的应用1．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是(D)A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(3π,2)D．π解析：数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的eq\f(1,4).2．点A(－1，1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是(B)A．6eq\r(2)－2B．8C．4eq\r(6)D．10解析：点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5，7)的距离为eq\r(〔5＋1〕2＋〔7＋1〕2)＝10.所以所求最短路程为10－2＝8.3．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝8上到直线x＋y＋1＝0的距离等于eq\r(2)的点的个数为(D)A．1B．2C．3D．4解析：由题意，圆心坐标为(1，－2)，半径为2eq\r(2)，所以圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为d＝eq\f(|1－2＋1|,\r(2))＝0，所以圆(x－1)2＋(y＋2)2＝8上到直线x＋y＋1＝0的距离等于eq\r(2)的点共有4个．应选D.4．M＝{(x，y)|y＝eq\r(9－x2)，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，假设M∩N≠∅，那么实数b的取值范围是(－3，3eq\r(2)].解析：数形结合法，留意y＝eq\r(9－x2)，y≠0等价于x2＋y2＝9(y>0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的局部(如下图)．结合图形不难求得，当－3<b≤3eq\r(2)时，直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)有公共点．5．据气象台预报：在A城正东方300km的海面B处有一台风中心，正以每小时40km的速度向西北方向移动，在距台风中心250km以内的地区将受其影响．求：从现在起经过约多少小时，台风将影响A城？持续时间约为多少小时？(结果精确到0.1h)解析：以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立直角坐标系，那么台风中心的移动轨迹是y＝－x，受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502.依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，解得－150－25eq\r(14)≤a≤－150＋25eq\r(14)，所以t1＝eq\f(\r(2)|a1|,40)＝eq\f(\r(2)|－150＋25\r(14)|,40)≈2.0，Δt＝eq\f(\r(2)|a2－a1|,40)＝eq\f(\r(2)×50\r(14),40)≈6.6，所以从现在起经过约2.0h，台风将影响A城，持续时间约为6.6h.6．(多项选择)在同始终角坐标系中，直线y＝ax＋a2与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置不行能为(ABD)A.B.C.D.解析：由题意，可得a2>0，直线y＝ax＋a2明显过点(0，a2)，故ABD均不行能．7．假设C为半圆直径AB延长线上的一点，且|AB|＝|BC|＝2，过动点P作半圆的切线，切点为Q，假设|PC|＝eq\r(3)|PQ|，那么△PAC面积的最大值为eq\r(33).解析：由题意，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如下图的平面直角坐标系．由于|AB|＝|BC|＝2，所以C(3，0)，设P(x，y)，由于过点P作半圆的切线PQ，且|PC|＝eq\r(3)|PQ|，所以eq\r(〔x－3〕2＋y2)＝eq\r(3)·eq\r(x2＋y2－1)，整理，得x2＋y2＋3x－6＝0，所以点P的轨迹方程是以(－eq\f(3,2)，0)为圆心，以r＝eq\f(1,2)eq\r(9＋24)＝eq\f(\r(33),2)为半径的圆，所以当点P在直线x＝－eq\f(3,2)上时，△PAC的面积最大，最大值为S△PAC＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(33),2)＝eq\r(33).8．如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P，Q分别在线段AD，CB上，假设线段PQ与圆O有公共点，那么称点Q在点P的“盲区〞中．点P以1.5米/秒的速度从A动身向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C动身向B移动，那么在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约为多少秒(精确到0.1)?解析：以点O为坐标原点，建立如下图的平面直角坐标系，可设点P(－10，－10＋1.5t)，Q(10，10－t)，可得出直线PQ的方程为y－10＋t＝eq\f(20－2.5t,20)(x－10)，圆O的方程为x2＋y2＝1，由直线PQ与圆O有公共点，可得eq\f(|\f(2.5t－20,2)－t＋10|,\r(1＋〔\f(20－2.5t,20)〕2))≤1，化为3t2＋16t－128≤0，解得0≤t≤eq\f(8\r(7)－8,3)，而eq\f(8\r(7)－8,3)≈4.4，因此，点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒．9．如图，一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处动身，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？假设能，持续时间多长？(要求用坐标法)解析：如图，以O为原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，那么A(40，0)，B(0，30)，圆O的方程为x2＋y2＝252.直线AB的方程为eq\f(x,40)＋eq\f(y,30)＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB的距离为d，那么d＝eq\f(|－120|,5)＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，那么t＝eq\f(2\r(252－242),28)＝0.5(h)．故外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5h.10．(多项选择)瑞士闻名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始终线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．在平面直角坐标系中作△ABC，|AB|＝|AC|＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其欧拉线与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，那么以下结论正确的选项是(AD)A．圆M上点到直线x－y＋3＝0的最小距离为2eq\r(2)B．圆M上点到直线x－y＋3＝0的最大距离为3eq\r(2)C．圆M上到直线BC的距离为eq\f(1,2)的点有且仅有2个D．假设点(x，y)在圆M上，那么x＋eq\r(3)y的最小值是3－2eq\r(2)解析：由|AB|＝|AC|可得△ABC的外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的欧拉线即为线段BC的垂直平分线．由点B(－1，3)，点C(4，－2)可得线段BC的中点为(eq\f(3,2)，eq\f(1,2))，且直线BC的斜率kBC＝eq\f(3＋2,－1－4)＝－1，所以线段BC的垂直平分线的斜率k＝1，所以线段BC的垂直平分线的方程为y－eq\f(1,2)＝x－eq\f(3,2)，即x－y－1＝0.又圆M：(x－3)2＋y2＝r2的圆心为(3，0)，半径为r，所以点(3，0)到直线x－y－1＝0的距离为eq\f(|3－1|,\r(2))＝eq\r(2)＝r，所以圆M：(x－3)2＋y2＝2.对于A，B，圆M的圆心(3，0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝eq\f(|3＋3|,\r(2))＝3eq\r(2)，所以圆上的点到直线x－y＋3＝0的最小距离为3eq\r(2)－eq\r(2)＝2eq\r(2)，最大距离为3eq\r(2)＋eq\r(2)＝4eq\r(2)，故A正确，B错误；对于C，直线BC的方程为y－3＝－(x＋1)，即x＋y－2＝0，圆心M(3，0)到直线BC的距离为eq\f(|3＋0－2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，而eq\f(\r(2),2)＞eq\f(1,2)，所以圆M上到直线BC的距离为eq\f(1,2)的点有4个