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第13课时直线与圆的位置关系的应用1.y=|x|的图象和圆x2+y2=4所围成的较小的面积是(D)A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(3π,2)D.π解析:数形结合,所求面积是圆x2+y2=4面积的eq\f(1,4).2.点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是(B)A.6eq\r(2)-2B.8C.4eq\r(6)D.10解析:点A关于x轴的对称点A′(-1,-1),A′与圆心(5,7)的距离为eq\r(〔5+1〕2+〔7+1〕2)=10.所以所求最短路程为10-2=8.3.圆(x-1)2+(y+2)2=8上到直线x+y+1=0的距离等于eq\r(2)的点的个数为(D)A.1B.2C.3D.4解析:由题意,圆心坐标为(1,-2),半径为2eq\r(2),所以圆心到直线x+y+1=0的距离为d=eq\f(|1-2+1|,\r(2))=0,所以圆(x-1)2+(y+2)2=8上到直线x+y+1=0的距离等于eq\r(2)的点共有4个.应选D.4.M={(x,y)|y=eq\r(9-x2),y≠0},N={(x,y)|y=x+b},假设M∩N≠∅,那么实数b的取值范围是(-3,3eq\r(2)].解析:数形结合法,留意y=eq\r(9-x2),y≠0等价于x2+y2=9(y>0),它表示的图形是圆x2+y2=9在x轴之上的局部(如下图).结合图形不难求得,当-3<b≤3eq\r(2)时,直线y=x+b与半圆x2+y2=9(y>0)有公共点.5.据气象台预报:在A城正东方300km的海面B处有一台风中心,正以每小时40km的速度向西北方向移动,在距台风中心250km以内的地区将受其影响.求:从现在起经过约多少小时,台风将影响A城?持续时间约为多少小时?(结果精确到0.1h)解析:以B为原点,正东方向所在直线为x轴,建立直角坐标系,那么台风中心的移动轨迹是y=-x,受台风影响的区域边界的曲线方程是(x-a)2+(y+a)2=2502.依题意有(-300-a)2+a2≤2502,解得-150-25eq\r(14)≤a≤-150+25eq\r(14),所以t1=eq\f(\r(2)|a1|,40)=eq\f(\r(2)|-150+25\r(14)|,40)≈2.0,Δt=eq\f(\r(2)|a2-a1|,40)=eq\f(\r(2)×50\r(14),40)≈6.6,所以从现在起经过约2.0h,台风将影响A城,持续时间约为6.6h.6.(多项选择)在同始终角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置不行能为(ABD)A.B.C.D.解析:由题意,可得a2>0,直线y=ax+a2明显过点(0,a2),故ABD均不行能.7.假设C为半圆直径AB延长线上的一点,且|AB|=|BC|=2,过动点P作半圆的切线,切点为Q,假设|PC|=eq\r(3)|PQ|,那么△PAC面积的最大值为eq\r(33).解析:由题意,以AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立如下图的平面直角坐标系.由于|AB|=|BC|=2,所以C(3,0),设P(x,y),由于过点P作半圆的切线PQ,且|PC|=eq\r(3)|PQ|,所以eq\r(〔x-3〕2+y2)=eq\r(3)·eq\r(x2+y2-1),整理,得x2+y2+3x-6=0,所以点P的轨迹方程是以(-eq\f(3,2),0)为圆心,以r=eq\f(1,2)eq\r(9+24)=eq\f(\r(33),2)为半径的圆,所以当点P在直线x=-eq\f(3,2)上时,△PAC的面积最大,最大值为S△PAC=eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(33),2)=eq\r(33).8.如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P,Q分别在线段AD,CB上,假设线段PQ与圆O有公共点,那么称点Q在点P的“盲区〞中.点P以1.5米/秒的速度从A动身向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C动身向B移动,那么在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的盲区中的时长约为多少秒(精确到0.1)?解析:以点O为坐标原点,建立如下图的平面直角坐标系,可设点P(-10,-10+1.5t),Q(10,10-t),可得出直线PQ的方程为y-10+t=eq\f(20-2.5t,20)(x-10),圆O的方程为x2+y2=1,由直线PQ与圆O有公共点,可得eq\f(|\f(2.5t-20,2)-t+10|,\r(1+〔\f(20-2.5t,20)〕2))≤1,化为3t2+16t-128≤0,解得0≤t≤eq\f(8\r(7)-8,3),而eq\f(8\r(7)-8,3)≈4.4,因此,点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒.9.如图,一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处动身,径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿,速度为28km/h.问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?假设能,持续时间多长?(要求用坐标法)解析:如图,以O为原点,东西方向为x轴建立平面直角坐标系,那么A(40,0),B(0,30),圆O的方程为x2+y2=252.直线AB的方程为eq\f(x,40)+eq\f(y,30)=1,即3x+4y-120=0.设O到AB的距离为d,那么d=eq\f(|-120|,5)=24<25,所以外籍轮船能被海监船监测到.设监测时间为t,那么t=eq\f(2\r(252-242),28)=0.5(h).故外籍轮船能被海监船监测到,持续时间是0.5h.10.(多项选择)瑞士闻名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同始终线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中作△ABC,|AB|=|AC|=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其欧拉线与圆M:(x-3)2+y2=r2相切,那么以下结论正确的选项是(AD)A.圆M上点到直线x-y+3=0的最小距离为2eq\r(2)B.圆M上点到直线x-y+3=0的最大距离为3eq\r(2)C.圆M上到直线BC的距离为eq\f(1,2)的点有且仅有2个D.假设点(x,y)在圆M上,那么x+eq\r(3)y的最小值是3-2eq\r(2)解析:由|AB|=|AC|可得△ABC的外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上,即△ABC的欧拉线即为线段BC的垂直平分线.由点B(-1,3),点C(4,-2)可得线段BC的中点为(eq\f(3,2),eq\f(1,2)),且直线BC的斜率kBC=eq\f(3+2,-1-4)=-1,所以线段BC的垂直平分线的斜率k=1,所以线段BC的垂直平分线的方程为y-eq\f(1,2)=x-eq\f(3,2),即x-y-1=0.又圆M:(x-3)2+y2=r2的圆心为(3,0),半径为r,所以点(3,0)到直线x-y-1=0的距离为eq\f(|3-1|,\r(2))=eq\r(2)=r,所以圆M:(x-3)2+y2=2.对于A,B,圆M的圆心(3,0)到直线x-y+3=0的距离d=eq\f(|3+3|,\r(2))=3eq\r(2),所以圆上的点到直线x-y+3=0的最小距离为3eq\r(2)-eq\r(2)=2eq\r(2),最大距离为3eq\r(2)+eq\r(2)=4eq\r(2),故A正确,B错误;对于C,直线BC的方程为y-3=-(x+1),即x+y-2=0,圆心M(3,0)到直线BC的距离为eq\f(|3+0-2|,\r(2))=eq\f(\r(2),2),而eq\f(\r(2),2)>eq\f(1,2),所以圆M上到直线BC的距离为eq\f(1,2)的点有4个
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