新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题

新教八级册股理章识和型习基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，b，边为，么a

勾股定理的由来勾股定理也叫高定理在西方称为毕达哥拉斯定理国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股边称为弦早三千多年前，周朝数学家商高就提出勾三，股四五形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２勾定的明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：

DHF

方法一：正形

正方形A

，

14ab2

，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积角三

角形的面积与小正方形面积的和为大方形面

D积为

a

所以

b

三：

梯形

11(a，c2

，化简得证

３勾定的用范勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系适用于直角三角形于角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征而应用勾股定理时必须明了所考察的对象是直角三角形４勾股理应①知直角三角形的任意两边长，求第三边在中则a，，a②道直角三角形一边可得另外两边之间数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５勾定的定理如果三角形三边长a，b，满足a，么这个三角是直角三角形，其中c为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通“数转化为形来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和

与较长边的平方

作比较，若它们相等时，以a，b，c为边的三角形直角三角形；若

a

，时以b，三边的三角形是钝角三角形若a

，时以a，c为边的三角形是锐角三角形；②定理中，，c及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，满a，么以，为边的三角形是直角三角形，但是为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时能成斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６勾数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数中abc为正整数时，称，b，为组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如,4,5；；5,12,13；等③用含字母的代数式表示勾股数：

nn

（2,正整数n,2n为正整数）,2,m（m为正整数）７勾定的用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在用勾股定理时必须把握直角三角形的前提条件了直角三角形中斜和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８．股理定理应勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形在具体推算过程中应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９勾定及逆定的用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：

D

C

30°

DB

B

A10互命的念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。二、经例精题一直考勾定例１在ABC中⑴已知AC，BC．求的⑵已知17，AC，求BC的长分析：直接应用勾股定理解：⑴

BC

+1.5=（x+1.5=（x）⑵BCAB

AC

题二利勾定测长例1如梯子的底端离建筑物9米么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解：是一道大家熟知的典型“知二求题实物模型转化为数学模型后已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理AC+BC=AB,即AC+9=15,以AC=144,以AC=12.例2如8），水池离岸边D点1.5的处，立长着一根芦苇，出水部分BC的是0.5米，把芦苇拉到岸，它的顶端好落到，并求水池的深度解：例题一样先将实物模型转化为数学模型，如图2.由题可知△中∠ACD=90°在Rt△ACD中只知道CD=1.5是典型的利用勾股定知求一的型。标准解题步骤如下（仅供参考）：解如图2，根据勾股定理AC+CD=AD设水深AC=x米那AD=AB=AC+CB=+0.5x

解之得x=2.故水深为2米题三：勾股理逆理用—例3如3，正方形ABCD中，是BC边的中点F是AB上点，且

FB

AB

那么△是角三角形吗？为么？解：道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，FB

AB

可以设AB=4，那么BE=CE=2a,AF=3,BF=,那么在eq\o\ac(△,Rt)AFD、eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长反过来再利用勾股定理逆定理去判DEF是否是直角三角形。

详细解题步骤如下：解设正方形ABCD的边为4a,则BE=CE=2aa,BF=在eq\o\ac(△,Rt)CDE中，=CD+CE=(4a)+(2a同理EF=,DF=在△中，+DE=5a+20a==DF∴△是角三角形，且∠DEF=90.注本利了次股理是握股理必习。题四：利用股理线长—例4如图4，已知方形ABCDAB=8cm,BC=10cm,在边CD上一点E，eq\o\ac(△,将)折叠使点恰落在BC边的点，求CE的长.解：题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是详解过如：解根据题意得eq\o\ac(△,Rt)ADE≌△∴∠AFE=90°,AF=10cm,EF=DE设xcm，则DE=EF=CD－CE=8－x在eq\o\ac(△,Rt)ABF中勾股定理得：AB+BF=AF，8+BF=10，∴∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)在eq\o\ac(△,Rt)ECF中勾股定理可得：EF=CE+CF，即8－x=x+4

关键。∴64－xx

=2+16∴x=3(cm),即CE=3cm注本接来可折的度求叠分面。题五利勾定逆理断直—例5如图5师想要检测桌子的表面AD边否垂直与AB边D边他测得AD=80cm，AB=60cmBD=100cmAD边与AB边垂吗怎样去验证边与CD边是垂直？

解：于实物一般比较大长度不容易用直尺来方测量们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形ABCD表桌面形状，在上截AM=12cm,在AD上取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度)，结MN测量MN的长。①如果MN=15,则+AN,所AD与AB边直；②如果MN=≠15,则9=81+144=225,225,即≠所以A不是角。利用勾股定理解决实际问题——例6有一个传感器制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米内，灯就自动打开，一个身高1.5米学生，要走到离门多远的方灯刚好打开？解：先要弄清楚人走过去，是头先距离灯米是脚先距离灯5米可想而知应该是头先离灯5米。转化为数学模型，如图6所示A点示控制灯，BM表人的高度BCMN,BC⊥AN当头B点）离A有5米时，求BC的长度。已知米所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米即要走到离门4米时候灯刚好打开。题六：旋转题例如eq\o\ac(△,，)ABC是角三角形BC是边将ABP绕A逆时针旋转后能eq\o\ac(△,与)AC′合，若AP=3，PP′的长。变式1：如图，P是边三角形ABC一点PA=2,PB=

,PC=4,求△ABC的长分析：利用旋转变换，将BPA点逆时针选6°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角变式2、如图，△为等腰直角角形，BAC=90，E、是C上点，且∠EAF=45°，试探究

、CF2EF

间的关系，并说明理.题七关于折题例、图，矩形纸片A的，E为BC上点，将矩形纸片沿折叠，点恰好落在CD边上的点G处，求BE的.变式：如图是的线，∠°，把△沿线AD翻，C落在点’的位置，

BC=4,求BC的长题八关于股理实中应用

例1、如图，公路MN和路PQ在处交汇，点A处一所中米，点A到路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米内会受到噪音影响，么拖拉机在公路MN上PN方行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是千/小时，那么学校受到影响的时间为多少？题九关于短问例5、如右图－19壁虎在一座底面半径为2米高为米油罐的下底边沿A处发在自己的正上方油罐边缘的B处一害虫决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害（π3.14结果保留1位数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm的方，把所有面都分为个正方形，其边长都是，设只蚂蚁每秒爬行，它从下地面A点沿表面爬行至右侧的B点最少要花几秒钟？三、课训：一、填空题．如图(，在高，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少________．D

CB

E

DOC

第4题图

A

图(

A

F第题图

B2．种盛饮料的圆柱形杯（如图得内部底面半径为2.5㎝高为12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出㎝问吸管要做㎝。已如eq\o\ac(△,，)ABCC点O为ABC的条角平分线的交点⊥OEACOFAB点D、、分别是垂足，且BC=，CA6cm，点O到三边，AC和BC的离分别等于

cm．在一棵树的10米高处有两猴子，一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴所经过的距离相等，则这棵树_____________________。5.如图是一个三级台阶，它的每级的长宽和高分别为20dm、3dm、

A202dm，和B是这台阶两个相的端点A有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程_____________.

2

3二、选择题．已知一个eq\o\ac(△,Rt)的边长分别为和，则第三边长的平方（）AB、、7D7或．eq\o\ac(△,Rt)一直角边的为，另两边为自然数，则eq\o\ac(△,Rt)的周长（）A、132D、不能确定．如果eq\o\ac(△,Rt)两直角边的比为∶12则斜边上的高与斜边的比为（）A∶B∶12、12D60∶4．已知eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠°若a+b=14cmc=10cm则eq\o\ac(△,Rt)的面积是（）AB、、D、60cm5．等腰三角形底边上的高为8，长为，则三角形的面积为（）AB、48、40D、32

B

6某市在旧城改造中计在内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境知种皮每平方米售价a元，购买这种草皮至少需要（）A450a元B、225a元C、元D、元

A

ED20m

30m150°第6题图

B

第7题图

F

C7．已知，如图长方形ABCD中，，AD=9cm，此长方形折叠，使点B与点D重，折痕为EF，ABE的面积为（）AB、D．在△ABC中AB=15，AC，高AD=12则ABC的长为ABC或32D37或9.如，正方形网格中的ABC若小方格边长为，则ABC是（）

C

B（）角三角形锐三角形钝角三角形以上答案都不对

A三、计算1、如图AB是直公路l同的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和，村庄之间的距离为d(已知d=400000m)，现要公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？BAl2、如图1-3-11，有一块塑料矩模板ABCD长为10cm，宽为，你手中足够大的直角三角PHF的直角顶点P落在AD边（