函数的图象-《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】

2023年高考数学命题热点聚焦与扩展

专题08函数的图象

【热点聚焦】

高考对函数图象的考查，主要有作图、识图、用图，考查数形结合思想的应用.命题形式有基本初等函数的

图象、由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、方程问题、不等式问

题等，常见的函数图象应用命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式

的解集；4、研究函数性质等.常常与导数结合考查.

【重点知识回眸】

一.寒函数、指数函数、对数函数的图象

1.五种幕函数的图象

2.指数函数图象的画法

画指数函数尸="（">0,且存1）的图象，应抓住三个关键点：（1,a）,（0,1）,（一1，5）

3.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数（1）），=炉，（2）），=",（3）y=F,（4）），="'的图象，底数小b,c,4与1之间的大小关系为c

>d>l>Q〃>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数丫="（。>0,存1）的图象越高，底数

越大.

如图，作直线y=l,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故由此我们

可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

二.利用描点法作函数的图象

描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：

（1）①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、最值等）.

（2）列表（找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等）.

（3）描点、连线.

三.利用图象变换法作函数的图象

（1）平移变换

行―（乃+上）

上\k（k>0）

移个单位

侬>。）I愉使>。）

提醒：“左加右减”只针对X本身，与X的系数无关，“上加下减”指的是在“X）整体上加减.

（2）对称变换

①y=/（久）的图象关于X轴对称>y=/（比）的图象；

②y=/（久）的图象关于'轴对称丁=/（-久）的图象;

③y=/（%）的图象关于'…''称>]=_/（一式）的图象；

a=Q、（a〉0且Q关1）的图象关于直线1X对称/y=log产

（a〉0且aRl）的图象.

（3）伸缩变换

（Dy=/（比）的图象

a>1,横坐标缩短为原来白纵坐标不变

-------------------------------------------------->y=/（ax）的图象;

0<a<1,横坐标伸长为赚盼L倍,纵^标不变

a

②y=/（久）的图象

a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变.〃囱住

0<a<1,纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变》=的图象

（4）翻转变换

⑨寸⑴的图象力1鬻糕3=3的图象;

②,寸⑷的图象原；鬻鬣翼至鬻w=山的

图象

（5）图象变换的策略

（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下:

①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换

②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换

(2)多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注

意以下原则：

①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求

②横坐标的多次变换中，每次变换只有x发生相应变化

例如：y=/(x)-y=/(2x+1)可有两种方案

方案一：先平移(向左平移1个单位)，此时+再放缩(横坐标变为原来的；)，此时系

数2只是添给x,即/(x+l)-/(2x+l)

方案二：先放缩(横坐标变为原来的；)，此时/(力―/(2x),再平移时，若平移a个单位，则

/(2x)f/(2(x+a))=/(2x+2a)(只对x加a),可解得a=；,故向左平移g个单位

③纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行

例如：y=f(x)->y=2/(x)+1有两种方案

方案一：先放缩：y=/(x)7>=2/(x),再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1,即

y=2/(x)fy=(2/(%))+1

方案二：先平移：y=/(x).y=/(x)+l,则再放缩时，若纵坐标变为原来的a倍，那么

y=/(x)+l-y=a(/(x)+l),无论a取何值，也无法达到y=2/(x)+l,所以需要对前一步进行调

整：平移L个单位，再进行放缩即可(。=2)

2

四.常用结论

1.函数图象自身的轴对称

(l»(-x)=/(x)=函数y=/(x)的图象关于y轴对称；

(2)函数y=『(x)的图象关于x=a对称=/(a+x)=/(a-x)钝/'(x)=/(2a-x)钝/■(一x)=f(2a+x)；

⑶若函数y=/(x)的定义域为R,且有/(a+x)=/S—x),则函数y=/(x)的图象关于直线*=等对称.

2.函数图象自身的中心对称

(1»(—x)=—/(九)=函数y=/(%)的图象关于原点对称；

(2)函数y=/'(x)的图象关于(《0)对称pf(a+x)=—/(CLx)<=^(x)=—/(2〃-x)=/(—x)=—/(2a+x)；

(3)函数y=f(x)的图象关于点(a,份成中心对称可(a+x)=2b—/(〃-x)=/(x)=2b—/(2a—x).

3.两个函数图象之间的对称关系

b—a

(1)函数y=f(a+x)与y=/(6-x)的图象关于直线》=”一对称(由a+x=b-x得对称轴方程);

(2)函数)，=/(x)与y=/(2a-x)的图象关于直线x=a对称；

(3)函数y=/(x)与y=28—/(—x)的图象关于点(0,切对称；

(4)函数y=/(x)与y=2b—/(2a—x)的图象关于点(a,6)对称.

【典型考题解析】

热点一基本初等函数的图象

【典例1】(2019・浙江・高考真题)在同一直角坐标系中，函数丫=探4=1。8,(*+；)(“>0且。#1)的图象可

能是()

【答案】D

【解析】

本题通过讨论。的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结

论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】

当0<“<1时，函数丫=优过定点(0,1)且单调递减，则函数>=二过定点(0,1)且单调递增，函数

a

y=log“(x+；)过定点(g,0)目.单调递减，D选项符合；当。>1时，函数…"过定点(0,1)且单调递增，则

函数V=/过定点(0,1)且单调递减，函数y=logjx+lj过定点(1,0)且单调递增，各选项均不符合.综上，

选D.

【典例2】(浙江•高考真题(文))在同一直角坐标系中，函数/(》)=/(》20)》(幻=108产的图像可能是()

【答案】D

【解析】

【分析】

通过分析基函数和对数函数的特征可得解.

【详解】

函数y=x"(x?O),与y=log“x(x>0),

答案A没有事函数图像，

答案B.y=x"(x»O)中”>1,y=log“x(x>0)中0<a<l,不符合,

答案Cy=x"(xNO卜力0<々<1,y=log“x(x>0)中々>1,不符合，

J

答案Dy=x"(xNO)中0<a<l,y=logax(x>0)40<a<l,符合，故选D.

【典例3X多选题X2023•全国•高三专题练习)在下列四个图形中，二次函数》=/+法与指数函数y=(\

的图象可能是()

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据。力,0的关系与各图形一个个检验即可判断.

【详解】

当a>£>>0时，A正确；当Z?>a>0时，B正确；

当时，D正确；当0>匕>。时，无此选项.

故选：ABD.

热点二作函数的图象

【典例4】(2021•全国•高考真题(文))已知函数F(x)=k-2|,g(x)=|2x+3]—|2x-l|.

(1)画出y=/(x)和y=g(x)的图像；

(2)若f(x+a)Ng(x),求a的取值范围.

【答案】(1)图像见解析；(2)«>y

【解析】

【分析】

(1)分段去绝对值即可画出图像；

(2)根据函数图像数形结和可得需将y="X)向左平移可满足同角，求得y=/(x+a)过心'，时a的值

可求.

【详解】

,।f2—%,x<2

(1)可得/(x)=x—2=、.，画出图像如下：

x-2,x>2

31

g(x)=|2x+3|-|2x-l|=-4x+2,--<x<~,画出函数图像如下:

(2)f(x+a)=]x+a-2\,

如图,在同一个坐标系里画出f(x),g(x)图像,

y=是y=/(X)平移了|«|个单位得到，

则要使/(x+a)2g(x),需将y=/(x)向左平移，即4>0,

当y=/(x+a)过时，|^+«-2|=4,解得.=?或(舍去),

则数形结合可得需至少将y=/(x)向左平移々个单位，，aW*

【总结提升】

函数图象的画法

(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象

的关键点直接作出.

(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象.

热点三图象的变换

【典例5】(2022.全国•高三专题练习)函数y=|lg(x+l)|的图象是()

【解析】

【分析】

由函数y=lgx的图象与X轴的交点是(1,0)结合函数的平移变换得函数y=|lg(x+D|的图象与X轴的公共点是

(0,0),即可求解.

【详解】

由于函数y=lg(x+l)的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到，函数y=lgx的图象与x轴的交点

是(1,0),

故函数y=lg(x+l)的图象与x轴的交点是(0,0),即函数y=|ig(x+i)|的图象与x轴的公共点是(0,0),显然四

个选项只有A选项满足.

故选：A.

【典例6】(四川•高考真题(文))函数丫=优-〃(。＞0,4=1)的图象可能是()

【答案】c

【解析】

【分析】

对。进行分类讨论，结合指数函数的单调性以及函数图像平移变换，即可得出答案.

【详解】

①当。>1时，函数尸〃*-a3>0,"1)可以看做函数尸〃，的图象向下平移。个单位，由于4>1,则人错误；

又X=1时，y=a-a=O,则函数y=a*-a(a>O,a")过点。,0),故B错误：

②当0<。<1时，函数y=a'-a(a>O,awl)可以看做函数y=a'的图象向下平移4个单位，由于则

D错误；

又x=l时，y=a-a-0,则函数卜="*一4(〃>0,4*1)过点(1,0),故C正确；

故选：C

【规律方法】

1.平移变换

当必〉0时，y=F(x—4的图象可以由y=f(x)的图象向右平移卬个单位得到；y=f(x+"》的图象可以由y—

f(x)的图象向左平移0个单位得到；y=f(x)+"的图象可以由y=Ax)的图象向上平移m个单位得到；y=

fl公~m的图象可以由y=F(x)的图象向下平移)个单位得到.

2.对称(翻折)变换

y=F(|*1)的图象可以将y=F(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y

轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到.y=1f(x)I的图象可将尸『(*)的图象位于y轴上方的部分不变，

而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到.尸一f(x)的图象可将y=/(x)的图象关于x轴对称而得到.y

=f(一x)的图象可由y=Hx)的图象关于y轴对称得到.

热点四函数图象的辨识

【典例7】（2022•全国•高考真题（理））函数产（3,'-3-，）cosx在区间-］微的图象大致为（）

【解析】

【分析】

由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】

令/（x）=（3，-3T）cosx,xe,

则/（-%）=（3^-3r）cos（-x）=-（3x-3T卜osx=（x）,

所以〃x）为奇函数，排除BD；

又当时，3J-3-f>0,cosx>0,所以〃x）>0,排除C.

故选：A.

【典例8】（2022•天津•高考真题）函数〃司=忙二11的图象为（）

【解析】

【分析】

分析函数/（X）的定义域、奇偶性及其在（0,1）上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】

函数=的定义域为{x|xr0},〃一）」（f）T=_H=_/（x）,

x-XX

则函数/（X）为奇函数，排除CD选项；

当0<x<l时，〃x）=Jl>o,排除B选项.

故选：A.

【典例9】（2021.天津.高考真题）函数丫=吗的图像大致为（）

x~+2

【解析】

【分析】

由函数为偶函数可排除AC,再由当xe(O,l)时，/(%)<0,排除D,即可得解.

【详解】

设y=/(x)=黑，则函数f(x)的定义域为例力0},关于原点对称,

又2m所以函数“X)为偶函数，排除AC；

当x«O,l)时，In咏0,f+2)0,所以/(x)<0,排除D.

故选：B.

【总结提升】

辨析函数图象的入手点

(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.

(3)从函数的特征点,排除不合要求的图象.

(4)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.

(5)从函数的周期性,判断图象的循环往复.

热点五：从图象到解析式

【典例10］(2022•全国•高考真题(文))如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该

函数是()

2sinx

D-kK

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】

设f(x)=W，则/(1)=0,故排除B;

设/?(x)=,当xe(0,5)时，Occosxcl,

所以故排除C;

X+1X+1

设g（力智，则g（3）=普＞。，故排除D.

故选：A.

【典例。・浙江・高考真题）己知函数―（）则图象为如图的函数可能是（

1»221*,gx=sinx,)

B.尸―⑴廿

C.y=/(x)g(x)

【答案】D

【解析】

【分析】

由函数的奇偶性可排除A、B,结合导数判断函数的单调性可判断C,即可得解.

【详解】

对于A,y=/(x)+g(x)-；=V+sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B,y=〃x)-g(x)-；=/-sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C,y=/(x)g(x)=1x2+；卜nx,贝i］y=2xsinx+(F+()c°sx,

当x=g时，y=9x*+(W+〈］x*>o,与图象不符，排除C.

4221164J2

故选：D.

【总结提升】

1.根据图象找解析式，一般先找差异，再验证.

2.抓住函数的特征，定量计算：

从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.

3.根据实际背景、图形判断函数图象的方法：

(1)根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；

(2)根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析).

热点六：函数图象的应用

【典例12】(2020・北京・高考真题)已知函数/(x)=2*-x-l,则不等式〃x)>0的解集是().

A.(-1,1)B.(-oo,-l)U(l,+°°)

C.(0,1)D.(-00,0)51,8°)

【答案】D

【解析】

【分析】

作出函数y=2"和y=x+l的图象，观察图象可得结果.

【详解】

因为/(x)=2'—x—1,所以〃x)>0等价于2，>x+l,

住同［1用坐标系中作「.v=2'和、、--1的图象如怪|：

两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),

不等式2*>x+l的解为x<0或x>l.

所以不等式〃x)>0的解集为：(Y,0)“1，E).

故选：D.

|x|+2,x<1

【典例131(2017•天津•高考真题(文))已知函数〃x)=2.设aeR,若关于》的不等式

%+—,x>1

.X

f(X)N《+4|在R上恒成立，则〃的取值范围是()

A.[-2,2]B.[二6⑵

C.[-2,2陶D.[-26,2我

【答案】A

【解析】

【详解】

满足题意时/(X)的图象恒不在函数y=]+”下方，

当a=26时，函数图象如图所示，排除C,D选项；

【典例14】(2023•全国•高三专题练习)己知定义在R上的奇函数，满足“2-x)+/(x)=0,当xe(0,l]时,

/(x)=-log2x,若函数0(x)=〃x)-sin(G),在区间[-1,间上有10个零点，则加的取值范围是()

A.[3.5,4)B.(3.5,4]C.(3,4]D.[3,4)

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知得出函数F(x)是周期函数，周期为2,函数尸(x)的零力个数转化为函数f(x)的图象与y=sin(;rx)的图

象的交点个数，作出函数的图象(其中"X)的图象由奇偶性与周期性结合作出)，然后分析交点个数得出参

数范围.

【详解】

由〃2-x)+/(x)=0得f(2+x)=-/(-X),

又/(x)是奇函数，所以f(2+x)=-/(-x)=f(x),即/*)是周期函数，周期为2,

27r

y=sing)也是周期函数，且最小正周期是3=2,

由奇偶性和周期性作出函数/(X)的图象，再作出y=sin3x)的图象，如图，

函数外力=4X)-sin(万x)的零点个数即为函数尸f(x)的图象与函数y=sin(G)的图象交点个数，

/(x)是R上的奇函数，所以/(0)=0,从而/(2%)=0,keZ,

易知它们在[T,D上有4个交点，从而在。,3)上也有4个交点，而x=4时，点(4,0)是•个交点，所以加<4,

在(0,1)I.,/(x)=-log2x,/1(3)=1=瓯6%即(3，1)是(0,1)上交点，从而在(—1,0)上交点上交点为(-；,-1),

7

由周期性在(3,4)上两函数图象交点为I],-1),

_7

所以帆2不.

2

7

综上，-<m<4.

2

故选：A.

【典例15](2023・全国•高三专题练习)设函数/(无)=ln|2x+l|-ln|2r-1|,则f(x)()

A.是偶函数，且在单调递增

B.是奇函数，且在卜；，；）单调递增

C.是偶函数，且在单调递增

D.是奇函数，且在单调递增

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出“X）的定义域结合奇偶函数的定义判断“力的奇偶性，设r=Olv"4-l1，则y=lm,由复合函数的单

调性判断了（X）的单调性，即可求出答案.

【详解】

2x4-1。0

解:由得中年.

2x—lwO

又/(-x)=ln|-2x+[\-ln|-2x-1|=-(ln|2x+l|-ln|2r-1|)=-f(x),

G）为奇函数，

由f（x）=ln|2x+l|-ln|2x-1|=ln|-——-b

2x-l

2x-\2x-\x--

可得内层函数f=9l"r+I1的图象如图，

2x-l

在（-8,-；）,弓，+8）上单调递减，在（-J，g）上单调递增,

又对数式y=In，是定义域内的增函数，

由复合函数的单调性可得，/（X）在（-；,1）上单调递增，

在（-8,--）,（y,+oo）上单调递减.

故选：B.

1.根据函数的图象研究函数性质的方法

(1)观察函数图象是否连续，左右范围以及最高点和最低点，确定定义域、值域.

(2)观察函数图象是否关于原点或y轴对称，确定函数的奇偶性.

(3)根据函数图象上升和下降的情况，确定单调性.

2.利用函数图象研究不等式

当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、

下关系问题，利用图象法求解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解.

3.利用函数图象研究方程根的个数

当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程/(x)=0的根就是/(x)的图象与x轴交点

的横坐标，方程f(x)=g(x)的根是函数y=/(x)与函数y=g(x)图象的交点的横坐标.

【精选精练】

一.单选题

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意苜先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】

由函数的解析式可得：，(-力=含=-则函数”X)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD

错误；

4

当x=l时，y=-~~-=2>0,选项B错误.

1+1

故选：A.

2.(2023・全国•高三专题练习)函数/(x)=ln(x+3)的图像与函数g(x)=,-2］的图像的交点个数为()

A.2B.3C.4D.0

【答案】C

【解析】

【分析】

作出两个函数的图像，由图像可得交点个数.

【详解】

/(x)在(-3,+oo)上是增函数，g(x)在(-=0,-72)和(0,夜)上是减函数，在(->/2,0)和(友,+8)上是增函数，

/(-2)=0,g(_&)=g(0)=(),g(0)=2>/(0)=ln3,

作出函数/(x)g(x)的图像，如图，由图像可知它们有4个交点.

故选：C.

3.(2020・浙江・高考真题)函数产xcosx+siru■在区间［-兀，n］的图象大致为()

【答案】A

【解析】

【分析】

首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在尤=乃处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】

因为〃x)=xcosx+sinx,pli］/(-x)=-xcosx-sinx=-/(x),

即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称,

据此可知选项co错误：

且苫=%时，y=icos乃+sini=-万<0,据此可知选项8错误.

故选：A.

4.(2022・北京•高三专题练习)已知二次函数/(x)的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数

g(x)的图象，则不等式g(x)>log2X的解集是()

A.(f2)B.(2,+00)C.(0,2)D.(0,1)

【答案】C

【解析】

【分析】

作出函数g(x)与y=log?x的图象，数形结合可得出不等式g(x)>log2》的解集.

【详解】

根据图中信息作出函数g(x)、y=log：x的图象如下图所示：

因为/(0)=1,则g⑵=1,且1呜2=1,

由图可知,不等式g(x)>log2X的解集为(0,2).

故选：C.

5.(2022.内蒙古通辽.二模(文))若函数/(x)=("l)"-L(。>0且awl)在R上既是奇函数，又是减

函数，则g(x)=logJx+M的大致图象是()

【答案】B

【解析】

【分析】

先求得g(x)的解析式中参数％的值和。的取值范围，再去判断其图像形状.

【详解】

因为函数/(x)=("l)优-4(a>o,awl)在R上是奇函数，

所以/(0)=0,所以&=2,经检验，左=2满足题意，

又因为f(x)为减函数，所以则g(x)=logjx+2|(0<.<1)

由g(-4-x)=logJ-4-x+2|=log4|x+2|=g(x)

可知g(x)的图象关于直线x=-2轴对称，排除选项CD；

又g(0)=log„|0+2|=Iog„2<0,可知选项A错误.所以g(x)的大致图象为B.

故选：B

6.(2022•四川广安.模拟预测(文))华罗庚说：“数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依,

焉能分作两边飞所以研究函数时往往要作图，那么函数〃x)=fnWcos3x的部分图象可能是()

【答案】D

【解析】

【分析】

根据奇偶性排除BC,根据当xe(0，\时〃x)<0,排除A,继而得解.

【详解】

因为/(-x)=；ln|-x|cos(-3x)=glnWcos3x,所以f(x)=/(-力，所以f(x)为偶函数，排除BC,

当时，lnx>0,且cos3x>0,

所以当时，/(x)=-^ln|x|cos3x<0,排除A；

故选：D.

7.(2023・全国•高三专题练习)从函数丫=ly=J,y=2-，，y=sinx,V=cosx中任选两个函数，记为

和g(x),若力(x)=/(x)+g(x)或/z(x)=/(x)-g(x)的图象如图所示，则〃(x)=()

A.x2-sinxB.x+cosxC.2-'+sinxD.x-cosx

【答案】C

【解析】

【分析】

根据图象可知函数*x)过定点(0,1),当x<0时为减函数：当x>0时〃(x)>0或6(幻<0交替出现,

结合排除法和选项中函数的图象与性质，即可得出结果.

【详解】

由图象可知，函数Mt)过定点(0,1),

当x<0时，Kx)>\,为减函数;

当x>0时，〃(》)>0或〃(》)<0交替出现.

若〃(x)=/-sinx,贝廿(0)=0,不符合题意，故A错误；

若〃(x)=X+cosX,则/?(())=1,即函数h(x)过定点(0,1),

又一14cosx41,当x<-l时，h(x)=x+cosx<0,不符合题意，故B错误；

若Mx)=x-cosx,则人(0)=-1,不符合题意，故D错误.

故选：C

8.(2023•全国•高三专题练习)已知函数“X)是定义在R上的偶函数，满足/(x+l)=-/(x),当xe[0,l]时,

〃x)=cos^x,则函数y=/(x)-的零点个数是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】

作出函数y=/(x)与y=|乂的图象，由图象观察即可求解

【详解】

由〃x+l)=—〃x),得〃x+2)=〃x),

知周期T=2,

令〃x)一国=0,得/(x)=M

作出函数y=/(x)与y=W的图象如图所示.

由函数的图象知，y=/(x)-W有两个零点.

故选：A

l-x,0<x<l,

9.(2022・全国•高三专题练习(理))设函数〃x)=<+]x>]若方程/(x)=log.x(a>0且awl)有

唯一实根，则。的取值范围是()

【答案】D

【解析】

【分析】

作出函数图象，由图象结合临界情况下对应。的值，数形结合即可写出满足条件的范围.

【详解】

若XC[2"T,2")(〃€N)口吟心1)有〃x)=J僚+i+1长

作出函数y=/(x),y=bg”的图象，如图,

由图象，可以发现当“目2,+8)时，两者无公共点，当/(2)=log“2时，即log“2=g,〃=揖时，有两个公

共点，故由图象可知，当ae(l,/)时，两者有唯一公共点，当时，由〃x)=l-x与y=bgaX相切于点

(1,0)时，由％=)，'LT=J-=-1可得a=L

结合图象可知，a时，两者有唯一公共点.

综上，a的取值范围是(0,：)口(1,退).

故选：D

【点睛】

关键点点睛：根据所给分段函数，分析出函数在》£[2"-,2")("£%*)上的具体解析式，做出函数的图象，找

出临界情形，由数形结合的方法是解决此问题的关键.

10.(2023♦全国•高三专题练习)已知函数〃x)=x(1+a附(aeR),设关于x的不等式/(x+a)</(x)的解

集为A,若-g,；=月，则实数。的取值范围是()

18

A.(-1,0).卜1，110/萼'[D-'I)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据条件分。=0，“>0和。<0三种情况讨论，由[-g,g]aA,求出a的取值范围.

【详解】

解：显然当a=0时，A=0,不满足条件；

当a>0时，易知"0)=0,当x>0时,/(x)=x(l+a|x|)>0,于是f(0+a)>0=f(0),

而由[-；]小，可得OeA,即/(0+。)</(0),所以a>0也不满足条件，

当”<0时，函数/(x)=x(l+dx|)=产产*20八，

[-ax'-+x,x<0

因为关于X的不等式〃x+a)<f(x)的解集为A,若-矍小，则在一；，g上，函数y=/(x+a)的图

象应在函数y=〃x)的图象的下方，

如图所示，要使在上，函数y=/(x+a)的图象在函数y=/(x)的图象的下方，

y

，…、>fx+a)

1

:'j上；」\X

a2:av^x)

।

1

x=2a

x=2a

只要/(-g+a)</(一g)即可，即_々(_(+々)+(—g+"J<—g，

化简可得解得山5<“<1±正,

22

2,0

所以〃的取值范围为

2

综上，”的取值范围为-y-,0.

\/

故选：C.

二、多选题

11.(2022・重庆巴蜀中学高三阶段练习)若关于x的不等式lnx>Gnx-2)x在区间(0,+8)上有唯一的整数解，

则实数m的取值可以是()

753

A.1B.-C.-D.一

642

【答案】CD

【解析】

【分析】

XX

将不等式等价变形为史In>蛆-2,构造函数g(x)=UInY,/心)=，加-2,作出函数图象，结合图象求出

XX

gM>h(x)有唯一正整数解的m取值范围作答.

【详解】

依题意，\nx>(mx-1)x<^^->mx-2,设g(x)=^^,h{x}=mx-2,xe(0,+8),

xX

则g'(x)=上詈，当xe(0,e)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当xe(e,+<»)时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

则有g")a=g⑻=：，g⑴=°，当天>1时，恒有8⑴>°，又函数丫="X)的图象是恒过点(0,-2)的直线，

在同一坐标系内作出函数g(x)=上的图象和直线丫=妙-2,如图,

x

因lnx>(/nx-2)x在区间(0,+8)上有唯•的整数解，观察图象知，g(x)>力(x)的唯一的整数解是1,

w-2<0

因此，8⑴〉〃⑴，且g⑵4M2),即L、M2,解得1+芈4机<2,

2m-2>---4

I2

0e4(2.84=61.4656(64=26,61n2)4,1即1,工不满足,3满足.

\'14/6642

故选：CD

【点睛】

关键点睛：涉及不等式有整数解问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数性质，画出

函数图象，数形结合是解决问题的关键.

三、填空题

12.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=bg〃(x+b)的图象如图，则而=

【答案】8

【解析】

【分析】

由图像可得:f(x)过点(—3,0)和(0,2),代入解得“、b.

【详解】

/、/、/、/、log(i_3)=0仿=4

由图像可得:/x=log“x+6过点TO)和0,2,则有:,解得

log/=2［a=2

：.ab=8.

故答案为：8.

13.(2023♦全国•高三专题练习)函数y=x-当a取不同的正数时，在区间［0,1］上它们的图像是一组美丽的

曲线(如图)，设点4(1,0),3(0,1),连接A8,线段AB恰好被其中的两个基函数y=x",y=的图像三

【答案】0

【解析】

【分析】

根据5M=MN=N4,可的点M与N的坐标，进而可得参数值，计算可得解.

【详解】

3M=M/V=W4,点A(l,0),8(0,1),

所以嗯,N岛)

将两点坐标分别代入y=x",y=x",

12b=log2=—^―^-=—

得”强针消10g2a,

333

ci—!=a—a=0,

b

故答案为：0.

14.(2023•全国•高三专题练习)若偶函数/(x)满足/(xT)=/(x+l),在xe［0,l］时，f(x)="2,则关于工

的方程/(£)=在［］上根的个数是

130,4

【答案】4

【解析】

【分析】

根据可得/(力是周期函数，根据F(X)的对称性和周期性画出函数图象，然后在同一直角

坐标系中观察产与，(x)图象的交点情况即可求解.

【详解】

解：f(x)满足/(x—l)=f(x+l),故可得f(x)=/(x+2),所以函数“力是以2为周期的周期函数，且“X)

是偶函数

根据xe[O,l],/(》)=/得该函数在[0,4]上的图象为：

再在同一坐标系中做出函数了=(看)的图象，当x=l时，/(1)=1,当x=3时，/(3)=1,而当x>0时,

。稿人

如图，当xe[0,4]时，两函数图象有四个交点.

所以方程在[0,4]上有4个根.

故答案为:4.

15.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=[%尤”，若|f(x)|N奴-1恒成立，则实数。的取值

[--V+4x,

范围是—.

【答案】[-6,0]

【解析】

【分析】

画出函数y=|f(x)|的图象，结合图象得到函数y=公-1的始终在y=/(x)的下方，联立方程组《二

根据△=(),求得。的值，进而得到答案.

【详解】

由题意，函数f(x)='£；：：：x<0，画出函数y=|/(x)|的图象，如图所示，

由图象可知，要使的|/。)性办-1恒成立，只需函数。=ax-1的始终在y=f(x)的F■方,

若。>0时，显然不成立，所以“V0,

当xWO时，/(x)=|-x2+4x|=x2-4x

联立方程组[‘="一1,,整理得/-(4+如+1=0,

[y=x-4x

令△=[_(4+a)『-4=0,解得a=-6或a=—2,

当a=-6时，可得x=—1,此时切点坐标为(-1,5),符合题意；

当a=-2时，可得x=l,此时切点坐标为(L-3),不符合题意，

所以实数。的取值范围是1-6,0].

故答案为：[-6,0].

,x<1

16.(2021•北京八十中高三阶段练习)己知函数若方程=，有三个不等的实数

—x+l,x>1

I2

根，则实数f的取值范围是;若互不相等的实数为,々，不满足/(%)=/(々)=/(毛)，则

+(£f+(£f的取值范围是

【答案】(0,1)(1,|)

【解析】

【分析】

由函数的解析式作出图象，令/小)=〃毛)=，(毛)=，，结合图象即可求出♦的取值范围，把($$+($*+g尸转

化为关于r的函数求解即可.

【详解】