高考数学真题分类训练22（含答案解析）

高考数学真题分类—椭圆的概念及标准方程

一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）

1.已知椭圆W+1过点（一转）和（3,-：），则椭圆离心率e=（）

A.2B.在C-D.|

5555

2.已知椭圆C的焦点为三（一1,0）,尸2（1,0）,过尸2的直线与C交于A,8两点.若依尸2|=2|尸2用,

\AB\=\BFr\,则C的方程为（）

A.^+y2=lB.^+^=1C.兰+^=1D.r+g=1

27324354

3.设尸是椭圆9+?=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）

A.2V2B.2V3C.2V5D.4V2

二、不定项选择题（本大题共2小题，共8.0分）

4.（5分）已知曲线C：mx2+ny2=1.（）

A.若m>n>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若m=n>0,则C是圆，其半径为近

C.若nm<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±

D.若m=0,n>0,则C是两条直线

5.已知曲线（?:〃/+〃/=i（）

A.若m>n>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若m=n>0,则C是圆，其半径为近

C.若nm<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±

D.若m=0,n>0,则C是两条直线

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

6.已知。为坐标原点,8与尸分别为椭圆捻+、=l（a>b>0）的上顶点与右焦点，若|OB|=\OF\,

则该椭圆的离心率是.

7.在椭圆?+?=1上任意一点P,Q与尸关于x轴对称，若有肝•亏W1,则瓦户与俄的夹角

范围为.

8.设Fi，尸2为楠圆C：立+[=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若AMFiB为等腰三

3620

角形，则M的坐标为.

9.己知椭圆?+?=1的左焦点为凡点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段P尸的中点在以原点

。为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是.

四、解答题(本大题共14小题，共168.0分)

10.(12分)已知椭圆C：,l(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶点，且AM的斜率为

(1)求C的方程；

(2)点N为椭圆上任意一点，求AAMN的面积的最大值.

11.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：七+g=1的左、右焦点分别为F1、尸2,点A在椭圆E

43

上且在第一象限内，AF2LF1F2,直线与椭圆E相交于另一点B.

(1)求△46尸2的周长；

(2)在x轴上任取一点尸，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求赤•评的最小值；

(3)设点M在椭圆E上，记△CMB与AAMB的面积分别为Si，S2,若52=3S「求点M的坐标.

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12.(12分)

已知椭圆G：^+3=l(a>b>0)的右焦点尸与抛物线。2的焦点重合，G的中心与。2的顶点重

合.过尸且与x轴垂直的直线交a于4B两点，交于C,D两点，且|CD|=g|AB|.

(1)求G的离心率：

(2)若G的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求G与C2的标准方程.

13.已知椭圆。己+£=<5i的离心率为回，A,B分别为C的左右顶点.

25nr4

(1)求C的方程；

(2)若点尸在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|,BP±BQ,求△APQ的面积.

14.已知A,B分别为椭圆E:1+/=l(a>l)的左、右顶点，G为E的上顶点，前•口=8,P

a-

为直线x=6上的动点，P4与E的另一交点为C,PB与E的另一交点、为D,

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

15.已知椭圆q：5+'=l(a>b>0)的右焦点F与抛物线的焦点重合，C］的中心与的的顶点

重合.过F且与x轴垂直的直线交G于A,8两点，交于C,。两点，且|CD|=g|4B|.

(1)求G的离心率；

(2)设M是Q与。2的公共点，若|MF|=5,求G与C2的标准方程.

16.已知椭圆C:二+q=1(。>匕>0)的离心率为逛，且过点力(2,1).

，厂2

(1)求C的方程；

(2)点M,N在C上，且AD±MN,加为垂足.证明：存在定点。，使得|DQ|为定值.

17.已知A,8分别为椭圆E：W+/=l(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，前•而=8,P

为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C,P8与E的另一交点为O,

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(1)求E的方程;

(2)证明：直线C。过定点.

18.设椭圆《+，=l(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为苧，|AB|=S5

(/)求椭圆的方程；

(〃)设直线/：丫=生《卜<0)与椭圆交于尸，。两点，直线/与直线4B交于点M,且点P,M均

在第四象限.若ABPM的面积是ABPQ面积的2倍，求Z的值.

19.己知椭圆M：l(a>b>0)的离心率为净焦距为2鱼.斜率为&的直线/与椭圆M有

两个不同的交点A，B.

(I)求椭圆”的方程；

(11)若卜=1,求|4B|的最大值；

(III)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若

C,D和点Q(一共线，求左.

20.已知斜率为A的直线/与椭圆C：=+?=1交于两点，线段AB的中点为0).

(1)证明:fc<-1；

(2)设尸为C的右焦点，P为C上一点，且丽+西+而=6，证明：2|FP|=\FA\+\FB\.

21.已知椭圆C：5+、=1的右焦点为(1,0),且经过点4(0,1).

(1)求椭圆。的方程；

(II)设。为原点，直线/：y=/cx+t(tR±l)与椭圆C交于两个不同点尸、Q,直线AP与x轴

交于点例，直线4。与x轴交于点N.若［OM|•|ON|=2,求证：直线/经过定点.

22.已知斜率为4的直线/与椭圆C：立+些=1交于A,8两点，线段A8的中点为0).

43

(1)证明：fc<-j;

(2)设尸为C的右焦点，P为C上一点，且就+同+而=6.证明：I而I，I而I，I而I成等差

数列，并求该数列的公差.

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23.设椭圆奈+g=l(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为8.已知椭圆的离心率为争点A的坐标为

(6,0),且|FB|•\AB\=6V2.

(I)求椭圆的方程；

(11)设直线/：y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且/与直线AB交于点Q.若

j^=¥sinN40Q(0为原点)，求k的值.

答案与解析

1.答案：A

解析：解：椭圆0S=1过点（-4,：）和（3,-：）,

Q，55

（竺+，-=1

则捋2鬻，解得&=5,b=l,

匕+痂=1

・•・c2=a2—b2=24,

・•・c—2A/6»

c2V6

"~a~s"

故选：A.

将点代入可得方程组，解得a=5,b=l,根据离心率公式即可求出.

本题考查了椭圆的简单性质，以及离心率公式，属于基础题.

2.答案：B

解析：

本题考查了椭圆的定义以及方程，余弦定理，属于中档题.

根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得。=b，b=&，可得椭圆的方程.

解：•••依/21=2|B6I，

A\AB\=3\BF2\,

又|AB|=|BF/,

•••|BFi|=3|BF2|,

又|BF/+\BF2\=2a,-\BF2\=p

\AF2\=a,|B&|=-a,

则|4F2|=\AF1\=a,

所以A为椭圆短轴端点，

在RtAAF2。中，COS^.AF20=

在小B&F2中，由余弦定理可得cos4BFzFi=

2

根据COSZTlF?。+CQSZ-BFP1—0，可得工+4-2a-0，

2a2a

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解得=3,

:.a=V3»b2=a2—c2=3—1=2,

所以椭圆c的方程为：式+艺=1,

32

故选B.

3.答案：C

解析：

本题考查椭圆的定义，属于基础题.

直接利用桶圆方程求出a,再利用椭圆定义求解即可.

解：椭圆gg=1的焦点坐标在x轴，a=V5，

P是椭圆"=1上的动点，

由椭圆的定义可知，P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2V5.

故选C.

4.答案：ACD

解析：

本题考查圆锥曲线方程的定义，属于中档题.

根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可.

解：4若7n>n>0,则\<；，则根据椭圆定义，知1+]=1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正

mn

确；

B.若m=n>0,则方程为/+y2=1,表示半径为亲的圆，故8错误；

C.若m<0,n>0,则方程为%了2++y2=1,表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为

mn

m

---X,

7=+.n

y2

若m>0,n<0,则方程为丁+丁1,表示焦点在X轴的双曲线,故此时渐近线方程为y=土l-^x,

mn

故C正确;

。当巾=0,n>0时，则方程为旷=士亲表示两条直线，故力正确；

故选：ACD.

5.答案：ACD

解析：

本题考查圆锥曲线的相关概念，考查逻辑推理能力，难度一般.

化为标准方程后再研究.

y2

解：当zn.nWO时，+几y2=1可化为工+3=1,

mn

1142y2

若小>71>0,则故工+丁=1表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；

mn

若m=m/+ny2=］可化为％2+y2=三，表示圆心为原点，半径为口的圆，

n7n

故3错误；

若mn<0,则C是双曲线，令7n%2+ny2=o,故其渐近线方程为旷=±&心故C正确;

若m=0,n>0>m%2+ny2=1可化为y2=；,即y=±J1,表示两条直线，故£）正确.

故选ACD.

6.答案：也

2

解析：

本题考查椭圆的简单性质的应用，考查了学生的计算能力.属基础题.

利用已知条件推出b=C,转化求解椭圆的离心率即可.

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解：0为坐标原点，B与尸分别为椭圆盘+，=l(a>b>0)的上顶点与右焦点，

由|0B|=|。9|,可得b=c,则a=a2+(2=戊c.

所以椭圆的离心率为：e=£=虫.

a2

故答案为它.

2

7.答案：［兀一arccos［,兀］或［arccos(一1)，兀］

解析：

本题考查椭圆的标准方程，平面向量的夹角与数量积，属于中档题.

设P(x,y),贝UQ(x,-y),结合审.用W1,9+?=1可得：y2e［1,2］,进而可得瓦户与用少的夹

角。满足：cos。=总瞽的范围，最后得到答案.

解：设P(x,y),则Q(x,-y),

椭圆?+?=1的焦点坐标为B(-a,0),F2(V2,0),

•••印•可W1，

•••x2-2+y2<1,

结合式+日=1

42

可得：y2e［1,2］

故用与碗的夹角。满足：

222

门评•雨x-2-y2-3yo,8-，1,

|&P|•|F2QIJ(x2+2+y2)2-8x2y2+2y2+23J

故9G［兀—arccos］,用或［arccos(—1),兀］

故答案为：［兀-arccos”］或［arccos,n］

8.答案：(3,同)

解析：

本题主要考查椭圆的方程，考查分类讨论思想方法，属于中档题.

设M(7n,zi),n>0,求得椭圆的a,btc,由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF/>|MF2|,

△MF/2为等腰三角形，可能|MF/=2c或|MF2|=2c,分类讨论即可得出M的坐标.

解：设(m,n>0),

由椭圆C5+5=1可得，。=6,b=2A/5,c=4,

则取F](—4,0).(4,。)，

由于M为。上一点且在第一象限，可得IMF/>|M&I，

△MF/2为等腰三角形，可能IMF/=2c或IMF2I=2c,

所以商+痛=1或前十五二，,

(jn+4)24-n2=64[(m-4)2+n2=64

解吸;法

所以M(3,、砥),

故答案为(3,尺).

9.答案：V15

解析:

本题主要考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理、余弦定理，考查方程思想

和运算能力，属于中档题.

求得椭圆的a”,c,设椭圆的右焦点为尸'，连接PF',运用三角形的中位线定理和椭圆定理求得△PFP

各边长，利用余弦定理求NPFF'的余弦值，进而可求该角的正切值，即为直线PF的斜率.

解：椭圆9+?=1的。=3,b=痘,c=2,

线段P尸的中点4在以原点。为圆心，2为半径的圆上,

连接AO,可得|P『|=2|40|=4,

△PFF'中，PF=6-PF'=2,FF'=4,PF'=4,

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二由余弦定理得C0S4PFF'=P卢+"'2-PF，2

2PFxFFf

42+22-4Z1

2X2X44

・•・sin乙PFF'=

.%tan^PFF7=V15，即直线PF的斜率为

故答案为丁1于

10.答案：解：(1)由题意可知直线AM的方程为：y-3=*x-2),即x-2y=-4,

当y=0时，解得x=—4,所以a=4,椭圆C：提+，=l(a>b>0)过点M(2,3),

可得白+白=1，解得炉=12,

16

所以c的方程:总+1=1.

(2)设与直线AM平行的直线方程为：x-2y=m,当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线

与椭圆的切点为M此时AAMN的面积取得最大值.

x-2y=m代入椭圆方程：—4-—=1.

’1612

化简可得：16y2+I2my+3m2-48=0,所以△=144m2—4x16(3m2—48)=0,即m?=64,

解得巾=±8,

与AM距离比较远的直线方程：x-2y=8,

利用平行线之间的距离为：d=嵩=今鸟

MM|=7(2+4)2+32=3辰.

所以△4MN的面积的最大值：ix3V5x—=18.

25

解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考

查学生分析问题解决问题的数学素养，是偏难题.

(1)利用已知条件求出4的坐标，然后求解〃，得到椭圆方程.

(2)设出与直线AM平行的直线方程，与椭圆联立，利用判别式为0,求出椭圆的切线方程，然后求

解三角形的最大值.

11.答案：解：(1)由椭圆的标准方程可知，。2=4,b2=3,c2=a2-b2=1,

所以△力&尸2的周长=2a4-2c=6.

o3

(2)由椭圆方程得4(1,|),设P(t,0),则直线AP方程为y=£Q_t),

椭圆的右准线为：x=-=4,

C

所以直线AP与右准线的交点为。(4,|•工)，

L1—C

OP-QP=(t,0)•(t-4,0--•—)=t2-4t=(t-2)2-4>-4,

21—t

当t=2时，(赤•评)疝”=-4・

(3)若52=3S1，设O到直线AB距离d],M到直线A8距离d2,则：x|48|xd2=：xx刈x3,

即弘=3d],

4(1，|)，FiC-1,0),可得直线AB方程为y=：(x+l),即3x-4y+3=0,所以刈=|,d2=

由题意得，M点应为与直线AB平行且距离为高的直线与椭圆的交点，

设平行于AB的直线/为3x-4y+m=0,与直线AB的距离为，

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所以噫W=P即7n=一6或12,

V9+165

当m=-6时，直线/为3%-4y-6=0,即y=；(%-2),

联立，2；：：),可得Q-2)(7久+2)=0,叫;：:

所以M(2,0)或(号，一表

当m=12时，直线/为3x—4y+12=0,即y=[(%+4),

(y=-(%+4)

联立%，可得?/+18%+24=0,A=9X(36-56)<0,所以无解,

±+匕=14

143

综上所述，M点坐标为(2,0)或(一：,一芝).

解析：(1)由椭圆标准方程可知”，b,c•的值，根据椭圆的定义可得AAF/z的周长=2a+2c,代入

计算即可.

(2)由椭圆方程得4(1,|),设P(t,0),进而由点斜式写出直线AP方程，再结合椭圆的右准线为：x=4,

得点Q为(4,|•三)，再由向量数量积计算最小值即可.

⑶在计算ACMB与的面积时，A8可以最为同底，所以若S?=3S],则。到直线AB距离刈与

M到直线AB距离为，之间的关系为d2=3岂，根据点到直线距离公式可得力=J,d2=|,所以题

意可以转化为M点应为与直线AB平行且距离为3的直线与椭圆的交点，设平行于AB的直线/为

3x-4y+m=0,与直线AB的距离为:根据两平行直线距离公式可得，m=—6或12,然后在分

两种情况算出M点的坐标即可.

本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属

于中档题.

12.答案：解：(1)•；F为椭圆G的右焦点，且A3垂直x轴，•••F(c,0),|48|=不，

设抛物线C2方程为y2=2px(p>0),丁尸为抛物线C2的焦点，且CQ垂直x轴，

•••尸名,0),|CD|=2p,

c=-

v\CD\=^\AB\,G与C2的焦点重合，・•・2

c42b2

2P=3X~

整理得4c=—,：■3ac=2b2,3ac=2a2—2c2,

设G的离心率为e,则2e2+3e-2=0,解得e=［或e=—2(舍)

故椭圆G的离心率为］

22

(2)由(1)知a=2c,b=p=2c,,•・6：^+£=1，Q：y2=4cx,

.・・Ci的四个顶点坐标分别为(2c,0),(-2c,0),(0,岳),(0,-V3c),C2的准线为％=—c,

由已知得3c+c+c+c=12,即c=2.

所以Cl与C2的标准方程分别为?+1，y2=8x

解析：本题主要考查椭圆和抛物线的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置

关系，属于中等题.

(1)根据题意，列出椭圆a,b,c之间的齐次方程，求出离心率；

(2)由(1)可设q与C2的标准方程，求出顶点坐标，列出方程即可求出c的值，从而得到G与C2的标准

方程。

13.答案：解：(1)e=2=叵，乌=身，

、,Q4a216

b2=a2—c2=—a2=—

16169

.•.c的方程为5+£=1.

16

(2)由题:4(—5,0),8(5,0),设Q(6,t),显然tH0,

则岫＜2=t，:BPJ.BQ,则跖P=一9，

则直线BP方程为：y=一沁-5),联立总+普=1,

化简得2解得

«2+16)y-10ty=0,yp=3*，xP=5-tyP,

•••\BP\=\BQ\,

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At2yp+=14-12,即=1,

代入"=哉,解得t=±2,±8,

当t=2时，Q(6,2),P(3,l),|PQ|=VlO.

PQ方程为：x-3y=0,点A到直线PQ的距离为盘=手，

则SEIAPQ=IxV10x卑=I；

当t=8时,(2(6,8),P(-3,1),|PQ|=V130)

PQ方程为：7x-9y+30=0,点4到直线尸。的距离为擢=高,

511^=1x7130x^=1，

根据对称性，"-25=-8时面积均为|,

综上：I34PQ的面积为|.

解析：本题考查椭圆方程的求解，两点间距离公式，直线方程，点到直线距离公式的综合运用，属

于较难题.

14.答案：解：

由题意4(一a,0),B(a,0),G(0,l),B=(a,1),GB=(见-1),

AG-GB=a2—l=8=>a2=9=>a=3»

，椭圆E的方程为土+y2=1.

9J

(2)由⑴知力(-3,0),B(3,0),P(6,m),

则直线尸A的方程为、=为0+3),

(fy=30+3)

联立<=>(94-m2)x2+6m2%+9m2-81=0,

Iey2=i

由韦达定理-3先=*1nxe=三竺竽，代入直线PA的方程、=孩0+3)得，儿=事，即

L9+m2L9+m29八9+m2

「f-3m2+276m、

C\9+m2,9+m2)1

直线PB的方程为y=£(x—3),

fy=g(%-3)

联立<„=(1+m2)%2—6m2x+97n2—9=0,

I22=1

由韦达定理3孙=*=和=/，代入直线PA的方程、=g0-3)得，丫。=消，即

u1+m2u1+m23/"1+m2

n,3m2—3-2zn、

(l+m2F+m2)，

6m-27n

二直线CD的斜率册。=每房v=*百，

9+m21+m2

••・直线co的方程为y-1s=&(X一窑),

整理得y=^(x-l)'

•••直线co过定点(|,o).

解析：本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题；

(1)求出各点坐标，表示出向量；

(2)求出C,。两点坐标，进而求出直线CQ,即可证明.

15.答案：解：(1)•••/；■为椭圆G的右焦点，且AB垂直x轴，•••F(c,0),|力B|=手,

第18页，共28页

设抛物线。2方程为必=2Px(p>0),

・•・F为抛物线C2的焦点，且CZ)垂直x轴,

•••F(p0),\CD\=2p,

\CD\=^\AB\,G与C?的焦点重合,

_P

C~2

42b2,

2P=y

a

整理得4c=—>3ac=2b2,Sac=2a2—2c2,

3a

设G的离心率为e,贝U2e2+3e-2=0,解得e=三=一2(舍),

故椭圆Q的离心率为去

(2)由(1)知a=2c,b=V3c，p=2c,

联立两曲线方程，消去y得3/+16cx-12c2=0,

:.(3x—2c)(x+6c)=0,

・・・x=|c或％=-6c(舍)，

从而|MF|=|c+c=|c=5,解得c=3,

所以G与C2的标准方程分别为总+，=1，y2=12x.

解析：本题主要考查椭圆和抛物线的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置

关系，属于中档题.

(1)根据题意，列出椭圆a,b,c之间的齐次方程，求出离心率；

(2)由(1)可设G与C2的标准方程，联立求出M的坐标，即可求出c的值，从而得到Q与的标准方

程.

16.答案：团解：由题意可知£=立，W+W=l，a2=b2+c2,

a2azb，

解得M=6,b2=3,

所以椭圆方程为次+g=1.

63

团证明：设点N(%2,y2)，

因为/M1AN,所以,孑3=一1，

所以y，2-(yi+y2)+1=一/检+2g+x2)-4,①

当％存在的情况下，设MN:y=kx+m,

联立{%7'6得(1+2心)x?+4kmx+2m2—6=0,

由4>0,得6k2-^2+3>0,

由根与系数的关系得%】+&=-悬，盖，

所以yi+y2=kg+x2)+2m=若卜，

22

y，2=kxxx2+km{xx+x2)+m=:晨,

代入①式化简可得4/+8km+(m-l)(3m+1)=0,

即(2k+m—l)(2fc+3m+1)=0,

所以m=1—2k或m=一肖2，

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所以直线方程为y=kx+l-2k或y=kx-空

所以直线过定点(2,1)或(|,一J),

又因为(2,1)和A点重合，故舍去，

所以直线过定点

所以为定值，又因为团为直角三角形，A£为斜边,

所以AE中点。满足|QD|为定值.，此时QC，｝.

解析：本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题.

目根据条件列方程求解即可.

国联立直线与椭圆的方程，根据根与系数的关系结合两直线的斜率之积为-1化简即可证明.

17.答案：解:

由题意4(-a,0),B(Q,0),G(0,l),而=(a,l),GB=(a,-l),

AG-GB=。2-1=8=＞。2=9=。=3，

2

•••椭圆E的方程为二+y2=i.

9)

(2)由(1)知4(一3,0),8(3,0),P(6,m),

则直线PA的方程为y=£(x+3),

,fy=(x+3)

联立，=(9+m2)x2+6m2x+9m2—81=0,

Iey2=i

由韦达定理-3xc=史胃=q=*弄，代入直线PA的方程y=?(x+3)得，yc=事，即

e9+m2c9+m29八9+m2

,-3m2+276m、

L(9+优，9+优)，

直线的方程为'=与0-3),

y=—(x-3)

32222

联立(y2=>(14-m)x—6mx+9m—9=0,

-+y2=l

由韦达定理33=*=和=吟，代入直线融的方程y=g(x-3)得，丫。=券，即

u1+m2u1+m23八1+m2

3m2-3-2m

以n/l+m2」+疗人

6m-2m

二直线CD的斜率心。=•系需v=遥亍

9+m21+m2

二直线CD的方程为y-恚=；7日W(x-容)，

1+m23(3-mz)1+m2'

整理得y=­

・•・直线CQ过定点(|,0).

解析：本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题;

(1)求出各点坐标，表示出向量；

(2)求出C,。两点坐标，进而求出直线CD,即可证明.

18.答案：解：(/)设椭圆的焦距为2c,

由已知可得标=|,又。2=£)2+©2,|4B|=Va2+炉=VT^

解得Q=3,b=2,

二椭圆的方程为：江+^=1,

94

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(〃)设点POIXL),M(x2,y2')'(%2>Xi>O).JIIJ(?(-%1，-yt).

••♦△BPM的面积是ZkBPQ面积的2倍，|PM|=2|PQ|,从而不一与=2[与一(一的)],

•,»%2=5%],

易知直线A8的方程为：2%+3y=6.

,(2x4-3y=6__.„6八

由),,可得z不=——>0.

(y=kx23k+2

由,4/+9y2=36可得_6

=kx'可得/一标K

O1

n、9k2+4=5(3k+2)，=181+25k+8=0,解得k=一§或九=一亍

由亚=搐>0.可得k>一：，故卜=一£.

JK।4J/

解析：本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.

（/）设椭圆的焦距为2c,由已知可得冬=，又a2=b2+c2,解得a=3,b=2,即可.

（〃）设点PQi，%）,M（x2,y2）,（x2>%i>0）.则（2（-/,一%）.由4BPM的面积是4BPQ面积的2倍,

5x

可得％2-匕=2[%1-x2=i>联立方程求出由久2=兀%>0，可得&,

19.答案：解：（I）由题意可知：2c=2或，则。=鱼，椭圆的离心率e=£=①，则。=百，

a3

b2=a2—c2=1,

椭圆的标准方程：1+y2=i；

3J

(II)设直线AB的方程为:y=x+m,4(%,力),B(x2,y2),

ry=x+m

联立2_]，整理得：4x2+6mx+3m2—3=0,△=(6m)2—4x4x3(m2—1)>0,整理

13y—

得：m2<4,

2

+,%=37n,=3(m-l)),

X12N4xx

\AB\=A/1+HJ®+&)2—4%I%2=^-y/4—m2f

・•・当m=0时，|AB|取最大值，最大值为历；

(皿)设直线PA的斜率须4=等p直线PA的方程为：、=/¥(%+2),

:X1+2()，消去y整理得：(*+4/+4+3火)/+12丫*+(12资-3后一12%1-

联立

m+y2=i

12）=0,

2

由£+*=1代入上式得，整理得：（4xi+7）/+（12-4*）x-（7婢+12xi）=0,

刈"=-叱，「一蟹，则儿=含（一整+2）=券，

则c（一部，爵），同理可得：°（一登缶券），

由则<2,=(4(4；+7)二；4；：7)7)，QD=(4(4：+7)'北；；7；)

由近与而共线，则小xM广小义黯?

整理得：则直线的斜率=受资=

y2-x2=yi-x1,ABk1,

.1.k的值为1.

解析：(I)根据椭圆的离心率公式即可求得。的值，即可求得人的值，求得椭圆方程；

(U)当k=l时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，根据弦长公式即可求得|48|的最大值；

(HI)求得直线PA的方程，代入椭圆方程，即可根据韦达定理即可求得C点坐标，同理求得。点坐

标，即可求得无与亚，根据向量的共线定理，即可求得直线AB的斜率.

本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，向量的共线

定理，考查转化思想，属于中档题.

答案：解：⑴设力)，

20.4(4B(x2,y2),

・•・线段AB的中点为

・•・+&=2,yi+丫2=2m

将A,8代入椭圆C：丘+”=1中，可得

43

(3好+4比=12

(3x^+4yj=12,

两式相减可得,不)+。+丫加一丁

3(X1+X2)(Xi-412)(2)=0，

即丫

6(a-x2)+8moi-2)=0-

,yi-y263

•••k=-----------=---=---

久1一x287n4m

点M(Lm)在椭圆内，即:+苧<1，0>0),

解得0<m<|

31

:.k=---<--

4m2

(2)证明：设§(%2，乃)，P(%3，y3)，

可得与+超=2

,**FP+FA+FB=0，9(1,0)，—1+%2—1+%3—1=0，

•••%3=1

由椭圆的焦半径公式得则|凡|阳=

4|=Q-％=2-11，2-\FP\=2-|x3=|-

则|F4|+/=4-[Qi+上)=3,

A\FA\+\FB\=2|FP|,

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解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解

决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查.属于中档题.

⑴如(%[%)，B(x2,y2)>利用点差法得6(%一工2)+8刈(71—、2)=0,上=年£=一卷=一亮

又点在椭圆内，即:+9<l,(m>0),解得〃?的取值范围，即可得k</

(2)设4(xi，y])，8(%2而，P(X3，、3)，可得/+不=2

由而+方+而=6，可得%3-1=。，由椭圆的焦半径公式得则田川=。一。1=2-：/，

\FB\\FP\=2-|x=|.即可证明尸川+|FB|=2\FP\.

=2-|X2,3

21.答案：解：

(1)椭圆。：马+写=1的右焦点为(1,0),且经过点4(0,1),

可得b=c=1,a=y/b2+c2=或，

2

则椭圆方程为/+y2=i；

(H)证明：y=kx+t与椭圆方程/+2y2=2联立，

可得(1+2/c2)%2+4ktx+2t2—2=0,

设P(%L%)，QQ2J2)，

△=16k2t2-4(1+2/)(2/-2)>0,

,4kt2t2-2

/+工2=一许，/不=询，

AP的方程为y=T二X+1,

X1

令y=0,可得y=D，即M(含,0)；

AQ的方程为y=竽x+l,

x2

令y=0,可得？=言•即N(言”0),

•••(i-yi)(i-y2)=1+y/2-01+72)

=14-(kxx+t)(fcx2+，—(—1+kx2+2t)

=(1+t2-2t)+k2-军2+(fct-fc)-(--%)=宜吗，

'Jl+2fc2)7vl+2fc271+2上2

\OM\\ON\=2,即为I言.言I=2,

即旬t2-l|=(-1)2,由t#±i,解得t=o,满足△>(),

即有直线/方程为y=kx,恒过原点(0,0).

解析：本题考查椭圆的方程和运用，考查联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过

定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

(I)由题意可得b=c=1,由a,b,c的关系，可得a,进而得到所求椭圆方程；

(n)y=/cx+t与椭圆方程％2+2y2=2联立，运用韦达定理，化简整理，结合直线恒过定点的求法，

计算可得结论.

22.答案：解：（1）设4（与,%）,BN，乃），

••