2022高三数学二轮专题复习极限突破转化与化归思想

专题三：转变与化归思想【考情剖析】转变与化归思想在高考取占有十分重要的地位，数学识题的解决，总离不开转变与化归，如未知向已知的转变、新知识向旧知识的转变、复杂问题向简单问题的转变、不同数学识题之间的互相转变、实际问题向数学识题转变等．各样变换、详细解题方法都是转变的手段，转变的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。数学识题解答题离不开转变与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考察所占比重很大，是历年高考考察的重点。预测2022年高考对本讲的考察为：1）常量与变量的转变：如分别变量，求范围等。2）数与形的互相转变：若解析几何中斜率、函数中的单一性等。3）数学各分支的转变：函数与立体几何、向量与解析几何等的转变。4）出现更多的实际问题向数学模型的转变问题。【知识交汇】转变与化归思想方法，就是在研究和解决相关数学识题时采用某种手段将问题经过变换使之转变，进而获得解决的一种方法．一般老是将复杂的问题经过变换转变为简单的问题，将难解的问题经过变换转变为容易求解的问题，将未解决的问题经过变换转变为已解决的问题。从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串适合转变，进而达到解题目的的一个探索过程。1．转变有等价转变与非等价转变。等价转变要求转变过程中前因结果是充分必要的，才保证转变后的结果仍为原问题的结果。非等价转变其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的打破口。2．常有的转变方法转变与化归思想方法用在研究、解决数学识题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转变到另一种情形，也就是转变到另一种情境使问题获得解决，这种转变是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式。常有的转变方法有：1）直接转变法：把原问题直接转变为基本定理、基本公式或基本图形问题；2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转变为容易解决的基本问题；3）参数法：引进参数，使原问题的变换拥有灵活性，易于转变；4）结构法：“结构”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转变方法的一种重要途径；6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转变的途径；7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转变，并证明特殊化后的结论适合原问题；8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题经过一般化的途径进行转变；9）等价问题法：把原问题转变为一个易于解决的等价命题，达到转变目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作会合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，经过解决全集U及补集CUA获得原问题的解决。3．化归与转变应按照的基来源则：1）熟悉化原则：将陌生的问题转变为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，经过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启迪和依据；3）和睦化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更切合数与形内部所表示的和睦的形式，或许转变命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法切合人们的思维规律；4）直观化原则：将比较抽象的问题转变为比较直观的问题来解决；5）正难则反原则：当问题正面议论碰到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探究，使问题获解。4．转变与化归的指导思想把什么问题进行转变，即化归对象；化归到哪处去，即化归目标；怎样进行化归，即化归方法；化归与转变思想是一切数学思想方法的核心。【思想方法】题型1：会合问题例1．（2022广东理2）已知会合A={，|，为实数，且x2y21}，B={，|，为实数，且=}，则A∩B的元素个数为（）A．0B．1C．2D．3解析:会合A表示由圆x2y21上的所有点组成的会合;会合B表示直线yx上的所有点组成的集体,由于直线经过圆内的点O(0,0),故直线与圆有两个交点,应选C.（2）已知函数f(x)4x22(p2)x2p2p1,在区间[1,1]上起码存在一个实数使f(c)0,求实数的取值范围剖析:运用补集观点求解。解答：设所求的范围为A,则CIAp在[1,1]上函数f(x)4x22(p2)x2p2p10注意到函数的图象开口向上；f(1)2p23p90pp或3CIAp2p2p103p2f(1)AP3P

32点评：对于很多会合问题，经过转变，将不熟悉和难解的会合问题转变为熟知的易解的问题，将抽象的问题转变为详细的直观的问题，便于将问题解决。题型2：函数问题x例2．（2022天津理21）已知函数fxxexR．（Ⅰ）求函数fx的单一区间和极值；（Ⅱ）已知函数ygx的图象与函数yfx的图象对于直线对称．证明当时，fxgx；（Ⅲ）如果x1x2，且fx1fx2，证明x1x22。解析：（Ⅰ）fx1xex．令fx1xex0，则；当变化时，fx,fx的变化情况如下表：,11,fxfx增极大值减所以fx在区间,1内是增函数，在区间1,内是减函数。函数fxf11在处取得极大值．且e．（Ⅱ）因为函数ygx的图象与函数yfx的图象对于直线对称，所以gxf2x，于是gx2xex2．记Fxfxgx，则Fxxexx2ex2，Fxx1e2x21ex，当时，2x20，进而e2x210，又ex0，所以Fx0，于是函数Fx在区间1,上是增函数．因为F1e1e10，所以，当时，FxF10．因此fxgx．（Ⅲ）1若x11x210，由（Ⅰ）及fx1fx2,得xx,与xx2矛盾；1212若x11x210，由由（Ⅰ）及fx1fx2,得x1x2,与x1x2矛盾；根据1，2可得x11x210．不妨设x11,x21．由（Ⅱ）可知fx2gx2f2x2，所以fx1fx2gx2f2x2．因为x21，所以2x21，又x11，由（Ⅰ），fx在区间,1内是增函数，所以x12x2，即x1x22．点评：函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转变与化归能够将问题化繁为简，一般可将不等关系转变为最值值域问题，进而求出参变量的范围．题型3：不等式问题例3．（1）（2022四川文11）某运输企业有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地起码72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得收益450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得收益350元，该企业合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大收益为（A）4650元（B）4700元（C）4900元（D）5000元（2）（2022江苏14）设会合m(x2)2y2m2,,}2B{(x,y)|2mxy2m1,x,yR},若AB,则实数m的取值范围是___________；解析：（1）C：设派用甲型卡车（辆），乙型卡车（辆），获得的收益为u（元），u450x350y，xy12,2xy19,由题意，、知足关系式10x6y72,作出相应的平面地区，u450x350y50(9x7y)在由0x8,0y7,xy12,处取得最大值4900元，选C．2xy确定的交点(7,5)19评析：将最大值转变为轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形联合可知答案选C，本题主要考察了用平面地区二元一次不等式组，以及简单的转变思想和数形联合的思想，属中档题。（2）解析：当m0时，会合A是以（2，0）为圆心，以m为半径的圆，会合B是在两条平行线之间；22m1m(12)m20，因为AB,此时无解；当m0时，集22合A是以（2，0）为圆心，以m和m为半径的圆环，会合B是在两条平行线之间，必有222m1m222m。m221m21又因为mm2,1m21。222【温馨提示】此题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题往常能够利用分别变量转变为最值的方法求解。结构函数解题是数学中的常用方法，经过巧妙地结构协助函数，把原来的问题转变为研究协助函数的性质，进而达到解题目的。题型4：三角问题例4．（1）（2022四川理6）在ABC中．sin2sin2Bsin2CsinBsinC则A的取值范围是A0，]B[，c0，]D[，6633答案：C；解析：由题意正弦定理a2b2c2bcb2c2a2b2c2a21cosA1A。bcbc023点评：本小题主要考察解三角形知识，并突出了边角互化这一转变思想的应用。（2）若0，sincosa，sincosb，则（）4A．abB．abC．ab1D．ab2解析：若直接比较a与b的大小比较困难，若将a与b大小比较转变为a2与b2的大小比较就容易多了。因为a21sin2，b21sin2又因为0222所以sin2sin2，所以a2b2又因为a，b0，所以ab应选（A）。点评：体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段办理求值（域）、最值、比较大小等问题。题型5：数列问题例5．（2022辽宁理数，16）已知数列知足a133,an1an2n,则an的最小值为n__________【答案】

212【命题立意】此题考察了递推数列的通项公式的求解以及结构函数利用导数判断函数单一性，考察了同学们综合运用知识解决问题的能力。【解析】an=an-an-1an-1-an-2a2-a1a1=2[12n-1]33=33n2-n所以an33n1nn设f(n)33n1，令f(n)3310，则在(33,)上是单一递增，在nn2(0,33)上是递减的，因为n∈N,所以当n=5或6时有最小值。又因为a553，a66321，所以，an的最小值为a62155662n62点评：数列是一种特殊的函数，动向的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。如等差数列{an}的通项公式ana1(n1)ddn(a1d)，前n项的和公式Snna1n(n1)ddn2(a1d)n。当d0时，能够看作自变量n的一次和二次函222数。因此利用函数的思想方法去研究数列问题不单能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。题型6：立体几何问题例6．（1）如果，三棱锥V1l2h11111V1l2h2222222222222122222222y22222263333262322222222y2x1cos6222323121252222OOH（OA＋OB3ysin2222222＋OC），则实数m＝＿＿＿＿剖析：如果用一般的三角形解决此题较难，不妨设ABC是以∠A为直角的直角三角形，则O为斜边BC上的中点，H与A重合，OA＋OB＋OC＝OA＝OH，于是得出m＝1。点评：这种经过特殊值确定一般性结果的思路还有好多，如概括、猜想、证明的方法，过定点问题，定值问题也能够用这样的思路。题型8：详细、抽象问题例8．若f（）和g（）都是定义在实数集R上的函数，且方程－f［g（）］＝0有实数解，则g［f（）］不可能是（）（A）2＋－1（B）2＋＋1（C）2－1（D）2＋15555剖析：此题直接解不容易，不妨令f（）＝，则f［g（）］＝g（），g［f（）］＝g（），－f［g（）］＝0有实数解即－

g（）＝0有实数解。这样很显然得出结论，

B使－g（）＝

0没有实数解，选

B这种从抽象到详细再到抽象，使学生从心理上感觉特别轻松，象这样常有抽象函数式还有一次函数型f（＋）＝f（）＋f（）＋m，对数函数型f（）＝f（）＋f（），幂函数型

f（）f（）f（）。点评：把抽象问题详细化是在数学解题中常有的化归程径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与详细事物间成立联系，进而实现抽象向详细的化归。题型9：正难则反转变问题例9．（2022山东理20）等比数列中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列知足：bnan(1)lnan，求数列的前项和【解析】（Ⅰ）当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26,a318时，切合题意；当a110时，不合题意。由题意知a12,a26,a318,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式an23n1（Ⅱ）因为bnan(1)lnan=23n1(1)ln23n1,所以Snb1b2bn(a1a2an)(lna1lna2lnan)=2(13n)-lna1a2an=-13ln(2n131323n1)=n(n1)2n(2n1)-ln(2n32),所以=32n1-ln(22n32)=9n1-2nln2(2n2n)ln3。点评：一些数学识题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论下手，或从问题的条件与结论的反面下手进行思考，迂回地获得解题思路，这叫做“正难则反”。“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使很多灾题、趣题和生活中的问题获得巧解。题型10：实际应用问题例10．把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的部件，其周长是xAB1(Pxx)2P(2)x1?x2x?2P(2)x4x222242448b2PPP2。A·Ox4a=822a4点评：实际问题转变为数学识题，用数学结果解释最终的实际问题。B【思维总结】1．娴熟、扎实地掌握基础知识、基本技术和基本方法是转变的基础；丰富的联想、机警细微的察看、比较、类比是实现转变的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转变意识需要对定理、公式、法例有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动存心识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转变”是学好中学数学的金钥匙。2．为了实施有效的化归，既能够更改问题的条件，也能够更改问题的结论，既能够变换问题的内部结构，又能够变换问题的外部形式，既能够从代数的角度去认识问题，又能够从几何的角度去解决问题。3．注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素。因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法，而设计目标是问题的重点。设计化归目标时，老是以课