中考数学第三编 综合专题闯关篇 题型二 解答题重难点突破 专题四 综合实践与探究习题

阴影．专四阴影．

综实与究专命题规律纵河北8年中考综合践与探究是河每年中考的压题型．结合几图形如三角形正方形、圆及方考查，一般以单几何图形的基性质为出发进行考查．近年涉及的考查形式有2016年25题索半圆大半圆内运动律、2015年的形、圆为背景探索形旋转变化中规律2014年景区的环形(方形)路为背景，考查次函的实际应用、程、列代数式比较大小和不式的实际应用年以正方容器背景考查线段位置关系、直柱的体积、倾角、一次函数实际应用等2012年三角形为背景考查列数式及线段之的距离的最值系等2011年以平行间的半圆为背，考查点到直的距离和旋转等；2010年以动的机械装置背景，考查点之的最值、直线圆的位置关系点与直线的距等2009年圆为背，结合规律探考查；难度一较大，考查学综合能力，具选拔性．解策略此题目前几问一比较简单，解后面问题往往套用前面问题解题思路，则问题变为从简逐渐到难过程，从而解问题．做题时需要将后面的题与前面的问对比，才能轻得解．2017测预河北中考，依会以简单几何形为背景进行动化，考查学综合分析以及用函数、方程相等知识解决问的能力，难度很大．,中重难突破探与拓展【典导例】【1(2015河北中平面，矩形ABCD与径为QP的圆如图1摆，分别长DA和QP交点O，∠DOQ60°OQ＝OD3，＝，OAAB＝让线段OD及形的位置定，将线段OQ连着圆一绕着点O按逆针方向开始旋，设旋转角为α(0≤≤°．发(1)α0°，即初始置时，点选“在”或“在”直AB上．求当是少时，OQ经过B?(2)OQ旋过程，简要说明α是少时，，A间距离最小？并出这个最小值(3)图2，当点P恰落在BC边时，求及S拓如3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边于点时设BM＝x(x0)用含x代数表示BN的，并求x的取范围．探当圆K与矩ABCD边相切时，sinα的值【生解答】发现(1)在当α＝°，如答图①过点P作OD的线PE交OD于E.在eq\o\ac(△,Rt)中，1cos∠DOQ60°＝2×＝1＝，则A和E重，则P在线AB上2如图①，连接OB则在eq\o\ac(△,Rt)OAB中OAAB，△OAB是腰直角三角形则∠BOA45°，则α＝∠POA－∠BOA＝°－°＝15.当α＝°，经过点B(2)图②，连接AP，OP为值，而＋AP≥OP，即判断当OA，共线取得最值．当OP过A，α＝°时等成立．∴AP≥OP－OA－＝，∴

＝60°时PA间距离最小PA的最值为(3)答图，设半圆K与PC交点，连接，点P作PH⊥AD点，点RRE⊥KQ于E.eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)OPH中，＝AB＝1OP＝，∴∠POH＝°，∴＝°－30°＝30∵AD∥BC，∴RPO∠POH30°∴∠＝2×30°＝60°，

＝

160π·）2π3＝，在△RKE中RE＝RK·60°，S＝36024413π3·RE·＝，∴S＝＋.2162416OAAN11－x拓：∵∠ANO＝∠BNM，OAN＝，OAN∽△MBN，∴＝，即＝，得BN.BMBNBN1＋x如图③，当点Q落BC上时，取最大值．作QF⊥AD于点F.BQAF＝OQ－FM－AO＝－－＝22x－1.的围是0<x21.即BN(0≤x≤22－；1＋探半K与形ABCD的边相切三种情况：与相、与切、与CD相，再据相切，画出形并构造eq\o\ac(△,Rt)，运用KOG的正弦的义，求得KO与KG即可①当半圆K与BC相时，设切点是，如答④，设直线KT与AD和OQ的始位置所在直分别相交于点S′，作KG⊥OO′于，则∠KSO＝∠KTB53＝90°，在eq\o\ac(△,Rt)OSK中，＝OK－SK＝（）－（＝2，eq\o\ac(△,Rt)′中，SO′＝OS·60°23，2233－313KG4KQ23，′，∠′30°，KG＝KO′3－，∴在eq\o\ac(△,Rt)中sin＝＝＝224OK24－10

11O′（O－）KG22.②当半圆K与AD相切时设切点是T如答图⑤同可得：sin＝＝＝＝OK5522511（）－）×322262－＝.当半与CD相切，点Q点D重合，为切点，＝60，∴51034336－3sin＝sin60＝，综上，α的值是或或.210102【法指导】解决题的难点在于确分析半圆K与形的相切的种情况，并借直角三角形的角系求出α的边与斜边．画出圆相切时情形，并过圆K作OO′的垂．1(2015河中)如图①，在ABC中，B＝°BC＝＝，D，E分别边BC，AC的中点，连接DE.将绕顺针方向旋转，旋转角为α(1)题发AE①＝°时，＝________；BD

55AE55②＝°时，＝________．BD(2)展探AE试断：当0°≤<360时，的大小无变？请仅就图②情形给出证明BD(3)题解当旋至A，，E三共线时，直接出线段BD的．1解(1)①α＝°BC＝＝8∴＝4.∵点，分是边BC，的中点∴DEAB＝，AE＝2AE255EC.∠B＝90，AC＝BC＋AB＝8＋＝45，∴＝CE＝5，∴＝＝.②α＝°由旋转BD4AEAC＋4525555性可得CE25，CD＝4.∵AC＝4，BC＝，＝＝＝.填：；.BDBC＋84222(2)0°α≤360°，AEEC5ECADCB，∴＝＝BDDC2

AEBD

ECAC5的小没有变化．∠ECD∠ACB∴∠ECA∠DCB.又＝＝，eq\o\ac(△,∴)DCBC2(3)如答①.∵AC＝，CD⊥AD，∴AD＝AC－CD＝（5）－＝8016＝8.∴ADBC，AB＝DC，B＝90，四边形ABCD是形，BD＝AC＝45.②答图②，连接ADBD，点D作AC的线交于点Q，点作AC的线交AC于P.∵AC45，CD4CDAD，ADAC

CD，－CD＝（5）－＝80－＝，在ABC和CDA中，△ABC≌ACCA.44125CDA(SSS)，∴＝DQBP∥DQ，PQ⊥DQ，四边形BDQP为矩，BD＝＝－－CQ＝5－－＝.552(2012河中)如①和图②，在ABC中AB＝，BC＝14cos∠＝.13探如①AHBC于，则AH________，AC＝________，的面积S________．拓如②，点D在AC(可点，重合),分过点，C作线BD的垂，垂足为E，F.＝x,AEmCFn(当A重时，我们认＝0)eq\o\ac(△,S)(1)含x，m或n的数式表示S及S；(2)(＋与x的数关式，(mn)最大值和最值；(3)给定一个x值，有时只能确唯一点，出这样的x的值范围．发请确定一直线，使得AB，C三到这条直线距离之和最小(不必写过程，并写出个最值解探究121584.

eq\o\ac(△,x)eq\o\ac(△,x)eq\o\ac(△,x)1eq\o\ac(△,x)eq\o\ac(△,x)eq\o\ac(△,x)拓(1)由三角形积公，得S＝mxS＝nx；22S2S2S2S1682S28456(2)(1)得＝，n＝，m＋＝＋＝.由于AC边的高为＝＝，∴x的x1555656取范围是≤≤∵＋n)随x增大而减小∴当x时(m＋n)最大值为15.当x＝14，(m的5556最值为12(3)x取值围是x＝或≤14.556发AC所的直线，最小为.53(2014河中)某区内的环形路边长为800m正方形ABCD如图①和图②现有1、号游览车别从出口A和点C同出发，号顺时针2号逆时针沿环形连续循环行驶供游客随时免乘车(上下车时间忽略不)两车度均为200/min探设驶时间t.(1)当0≤t≤8时分别写1号2号车左半环线离口的程y，m)与t(min)函数关系式，并出当两车相距路程是m时t的；,图

图)为何值，号车第三恰好过景点？并直接写出一段时间内它2号相遇过次数．发如②，游甲在BC上的一K(不与点B，重合处候车，备乘车到出口A.设CK＝m.情一：若他刚好过2号车便乘即将到来的1号车；情二：若他刚好过1号车便乘即将到来的2号车．比哪种情况用时多？(候车时)决已游客乙DA上向口A走，步行的速度mmin.行进到DA上点P(与点DA重合时刚与2号迎面遇．(1)发现乘1号会比2号到出口A用时少请你要说明理由；(2)＝＜＜m.若他想尽到达出口A，根据s的大小，等候号车是步这两种方式中他如何选择？解探究：根据意：y＝200t(0≤t8)，＝1600≤t，当车相距的路程400m时可得yy|＝，即|200t－(1600－200t)|＝，(1600200t)－＝400或－(1600－＝400t＝或t＝答：相遇前相距时t为3min；遇后，相距400m时t为；(2)第次过点C从A到C，需1600÷2008min；第次经过点C，C到D到A，从A，需要16min；第三与第二次相同因此t＝8＋＋16＝)．于两车速度相，出发时间相，第一次在B处遇过了；第二次处遇，了，三次B处遇，又了8，此(40－4)÷8＝4……4即4800－x＋＝次答：在40内它与2号相了5次发现：解：情一用时为：＝－；情200200800×＋xxx二时为：＝＋.∵－＜＜＋(x＞0)，情况用时较多．200200200200决：(1)由题意知此时号车正驶在CD边，乘1号到达点A的程小于个边长而乘号的路却大于3边，所以乘1号比乘号到口A用少(两速相)；(2)若步行乘1号用时，则s800×－＜.得s＜320.∴当0＜＜320时，选择行．同理可得320＜＜800时，选乘1号．当s50200320时，选步行或乘号车思与探究【典导例】【2】(2011河中考如图①至图④，两平行线ABCD间的离均为，点M为AB上一定．

思：如图①，圆为O的圆形片在ABCD之(包括AB，CD)其直径MN在AB上，＝8，P为半圆一点，设∠α.当α＝____°时，点到的离最小，小值____．探一：在图①的础上，以点M旋转中心，在AB，CD之顺时针旋转半圆形纸片，到不能再转动止如图②，得到大旋转角BMO＝____°，此时N到CD的距是___．探二：将图①中扇形纸片MOP按下面对α的求剪掉，使形纸片MOP绕M在AB，之顺时针旋转(1)图③当α＝°时，在旋转过程中点P到CD的最距离，并请指旋转角∠的最大值；(2)图④在扇形纸片MOP旋转程中，要保证能在直线CD上，请确定α的值范围参考数33据sin49＝，41＝，tan37＝44【析】思考：根两平行线之间线段最短，以切线的性质定，直接得出答．探究一：根MN＝8，MO4，OY＝4，出UO2，可得出最旋转角∠30°此时点CD距离是；探究二：(1)由已得出M与P的距离为4PM⊥时，到AB的最大离是4从而点到CD的最小距离为6＝，可得∠BMO的大(2)分求出α最值为∠OMH＋∠OHM3090°及最小值＝2∠MOH，即得出的值范围．【生解答】思考90，2；解法提示：据两平行线之垂线段最短，接得出答案，α＝°时，点到CD距离最小，MN8，OP＝4，点到CD的离小值为6－＝2.探一：，；解法提示∵点M为旋中心，在AB，间顺针旋转该半圆纸片，直到不再转动为止，解图①.∵MN，MO＝，＝，UO2，∴到最大旋转角BMO30°，此时点N到CD的离是2；探二：(1)α＝°，∴△MOP是边三角形，∴MOMP＝，∴PMAB时点P到AB的大距离是4，由知得出P的距离为4，从而到点PCD的小离为64＝，扇形在ABCD之旋转不能再时，弧MP与AB相切切点为M.此旋转角最，BMO的最值为90；如解②，由探究一知，︵点PMP与CD的切时，α达到大，即OP⊥CD，此时，长PO交AB于，最值为∠OMH＋∠OHM30＋90°＝120°如图③，当点P在CD上与AB距最时，⊥CD，α达到最，连接，OH⊥MP于点MH3H，垂径理，得＝，在eq\o\ac(△,Rt)MOH，＝，∴sinMOH＝＝，MOH＝49°∵α＝∠MOH，α最OM4小98°∴α的取值范围是98≤≤°4(2016石庄二十中二)题提出学了三角形全等的定方法即SAS”“ASA”AAS””)和角三角形全等判定方法(即“”)，我们续对“两个三形满足两边和中一边的对角应相等”的情进行研究．初思考我不将问题用符号言表示为：在和DEF中＝DFBC＝EF∠＝∠E，后，∠B行分类，可分“是直角钝角、锐角”种情况进行探．深探究第种况：当∠是角时，≌△DEF.(1)图①，在△ABC和DEF，＝DFBCEF∠＝∠E90°，根据________以知道ABC≌eq\o\ac(△,)DEF.

第种情况：当∠是钝角时，△ABC≌DEF.如②在△ABC和DEF中AC＝DF，＝EF，∠＝，∠B、都钝角，求证：△ABC△DEF.第种情况：当∠是锐角时，△和不定全等．(3)在△ABC和△中AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且B、都锐角，请用尺规在图③作出△DEF使和不等．不写作，保留作图痕(4)还要满足什么条件就可以使△≌△DEF请直写出结论：在ABC和DEF中，AC＝DF，＝EFB＝，且B、都是锐，若_，则△ABC≌△DEF.解(1)HL(2)答图，过点CG⊥AB交的延线于G，过点F作FH交DE的延长于H.∵∠ABC∠DEF且∠ABC，∠DEF都钝∴°－∠ABC＝°－∠DEF，即＝∠FEH，在△CBG和△FEH中，＝∠FEH，∠H90°，△CBG△FEH(AAS)，∴＝FH，在eq\o\ac(△,)ACG和DFH中EF.

∴eq\o\ac(△,)ACGeq\o\ac(△,Rt)∠DDFH()，＝，在ABC和DEF中＝∠DEF∴△ABC≌△AAS)(3)如图②，以点C为圆ACDF.心以AC为半径画弧，AB相于点D，与B重合F与C重，得△DEF与eq\o\ac(△,和)ABC全；本题答案唯一．如∠B≥，则△ABC≌△DEF.5(2016邯二十三中二)某学兴趣小组对段上的动点问进行探究，已AB＝8.问思考如①点P为线段AB上的一动点，分别以APBP为边在同作正形APDC与正方形PBFE.(1)点P运时，这两个方形面积之和定值吗？如果，求出这个值若不是，求出两个正方形面之的最小值．(2)别连AD，，AF，AF交DP点K，当点P动时，在△APK△，△中，是否存在个面始相等的三角形请说明理由．问拓展(3)如图，以AB边正方形ABCD，点P，正方形ABCD边上运动，且PQ＝若点P从点出发，沿A→B→C→D的线路向D点运动，点P从到D的运动程中PQ的点O所过的径的长(4)图③在“问题思考中，若点M，线段上的点，且AM＝BM，点，H分是边CD，EF的中．请直接写出P从到N的动过程中GH的中点O所经过路径的长及OMOB的最值解问题思考(1)点P运时，这两个方形的面积之不是定值．设APx，＝－，据题意这个正方形面积和为x＋－＝2x－16x＋＝2(x－4)＋32∴当＝4时这两正方形面积之有最小，最小值为32(2)存两个面积始终等的三角形，们是△与DFK.依意画图形，如图①所．

11PKAPPKaa（－）设AP＝a，PB＝BF＝8－a.∵PE∥BF，∴＝，即＝，PK＝，∴＝－＝a－BFAB8－a88a（a）a11（8－）a（－）11a＝，∴S＝PK·PA＝··a＝，S＝DKEF＝··(8－a)＝8822816228a（8a），S＝；问题拓展(3)当从出，沿A→C的线路向点D运动时不妨设点eq\o\ac(△,S)Q在DA边，若点在点A点Q在D，时PQ的中点O即为DA的中点；若在DA上，且不在D，1则P在AB上且不在点A.此时在eq\o\ac(△,Rt)中，为PQ的点，AO＝PQ＝4.点O在A为心，径为24，心角为90°的弧．PQ的点O所经过的路径三段半径为4，圆心为90°圆，如图②所3示∴PQ中点O所过路径的长为：××＝π；(4)如图③所示，分过点G作GR⊥AB于，过41点O作OS⊥AB于点，过点作HT⊥AB于T.∵点为段GH中，四边形GRTH为直梯形，＝(GR＋21HT)(APPB)＝，即OS长度定值，∴点O运动路径在与AB距为的行线上∵MN＝－－＝，21点线段MN上运动，且O为段GH的点，∴点O的动路径为线段，XY＝＝，点P从M到的2运过程中，GH所过的径长为3.∵XY∥AB且行的距离为4，答图④所示，M点关XY所在直的对称′，连接MM，′，根据称点之间的线被对称轴垂直分性质可得OM＝OM′，OM＋OB的最值为M的长，在eq\o\ac(△,Rt)M′中由勾股定理得MM′＋MB＝M′B，M′＝（4×2＋－）＝113，∴OM＋的最小值为113.6(2015湖中)数活动上，某学习小对有一内角为120°平行四边ABCD(∠BAD120°进行探：将一块含60的直三角板如图放在平行四边形ABCD所平面内旋转，60°角顶点始终与点重合较短的直角边斜边所在的两线分别交线段ABAD于点E，F(包括线段的)．(1)步尝如，若AD＝AB求证：eq\o\ac(△,①)BCEACFAE＋AF＝AC(2)比发如，若AD＝2AB，过点C作CH⊥AD于，求证：AE＝；(3)入探AE3AF如，若AD＝3AB，探究：的为常数t则t．AC

证：(1)在平行四边形ABCD中，BAD°∴∠＝∠B＝60.∵＝AB，eq\o\ac(△,∴)和ACD均