2021年四川省南充市中考数学试卷及答案解析

2021年四川省南充市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分.1．（4分）满足x≤3的最大整数x是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（4分）数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣13．（4分）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是（）A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF4．（4分）据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7．下列说法错误的是（）A．该组数据的中位数是6 B．该组数据的众数是6 C．该组数据的平均数是6 D．该组数据的方差是65．（4分）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（）A．10x+5（x﹣1）＝70 B．10x+5（x+1）＝70 C．10（x﹣1）+5x＝70 D．10（x+1）+5x＝706．（4分）下列运算正确的是（）A．3b4a•2a9b2C．12a+17．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°8．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为36，则AD的长为（）A．6 B．23 C．3+1 D．239．（4分）已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12-2021A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣202110．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论：①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为48；③A′C﹣B′C的最大值为15；④A′C+B′C的最小值为917．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上.11．（4分）如果x2＝4，则x＝．12．（4分）在﹣2，﹣1，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是．13．（4分）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为．14．（4分）若n+mn-m=3，则m15．（4分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC=3AB＝3BD，则AD：AC的值为16．（4分）关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。17．（8分）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x﹣3）2，其中x＝﹣1．18．（8分）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．19．（8分）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目．（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率；（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：考生自选项目长跑掷实心球小红959095小强909595①补全条形统计图．②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与x1x221．（10分）如图，反比例函数的图象与过点A（0，﹣1），B（4，1）的直线交于点B和C．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）已知点D（﹣1，0），直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求△BCE的面积．22．（10分）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，OA＝4，求GF的长．23．（10分）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价；（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式；（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z=-1100x+12．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润24．（10分）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE=1（1）求tan∠ACE；（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；（3）当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=5（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

2021年四川省南充市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分.1．（4分）满足x≤3的最大整数x是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据不等式x≤3得出选项即可。解：满足x≤3的最大整数x是3，故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解和有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键．2．（4分）数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1【分析】一个数到原点的距离可以用绝对值表示，例如|x|表示数x表示的点到原点的距离．所以，表示数m和m+2的点到原点的距离相等可以表示为|m|＝|m+2|．然后，进行分类讨论，即可求出对应的m的值．解：由题意得：|m|＝|m+2|,∴m＝m+2或m＝﹣(m+2),∴m＝﹣1．故选：C．【点评】本题在根据绝对值的几何意义列出方程之后，在解方程的时候要注意分类讨论，除了同一个数的绝对值相等之外，相反数的绝对值也相等．并且，在解方程之后，会发现有一个方程是无解的．这是一个易错题．3．（4分）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是（）A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF【分析】证△AOE≌△COF（ASA），得OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，进而得出结论．解：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCOAO=CO∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，又∵∠DOC＝∠BOA，∴选项A正确，选项B、C、D不正确，故选：A．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．4．（4分）据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7．下列说法错误的是（）A．该组数据的中位数是6 B．该组数据的众数是6 C．该组数据的平均数是6 D．该组数据的方差是6【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别进行计算即可．解：A、把这些数从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7．则中位数是6，故本选项说法正确，不符合题意；B、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴众数是6，故本选项说法正确，不符合题意；C、平均数是（5+5+6+6+6+7+7）÷7＝6，故本选项说法正确，不符合题意；D、方差为：17×[（5﹣6）2+2×（5﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（7﹣6）2]故选：D．【点评】本题考查了众数、平均数、中位数、方差．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．5．（4分）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（）A．10x+5（x﹣1）＝70 B．10x+5（x+1）＝70 C．10（x﹣1）+5x＝70 D．10（x+1）+5x＝70【分析】设每个肉粽x元，则每个素粽（x﹣1）元，根据总价＝单价×数量，结合购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．解：设每个肉粽x元，则每个素粽（x﹣1）元，依题意得：10x+5(x﹣1)＝70．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．6．（4分）下列运算正确的是（）A．3b4a•2a9b2C．12a+1【分析】根据分式的乘除法和加减法可以计算出各个选项中式子的正确结果，从而可以解答本题．解：3b4a⋅2a13ab÷212a+11a-1-1故选：D．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°【分析】由垂径定理知，点E是CD的中点，有CD＝2ED＝2CE，可得DE＝OE，则∠DOE＝∠ODE＝45°，利用圆周角定理即可求解．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CD＝2ED＝2CE，∵CD＝2OE，∴DE＝OE，∵CD⊥AB，∴∠DOE＝∠ODE＝45°，∴∠BCD=12∠故选：B．【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理，得出DE＝OE，求出∠DOE＝∠ODE＝45°是解题的关键．8．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为36，则AD的长为（）A．6 B．23 C．3+1 D．23【分析】连结BD，作DH⊥AB,垂足为H，先证明△ABD是等边三角形，再根据SAS证明△ADE≌△BDF，得到△DEF是等边三角形，根据周长求出边长DE=6，设AH＝x,则HE＝2﹣x，DH=3x,在Rt△DHE中，根据勾股定理列方程求出x,进而得到AD＝2解：如图，连结BD，作DH⊥AB,垂足为H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD,AD∥BC,∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°,∴AD＝BD,∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°,∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°,∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF(SAS)，∴DE＝DF,∠FDB＝∠ADE，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°,∴△DEF是等边三角形，∵△DEF的周长是36，∴DE=6设AH＝x,则HE＝2﹣x，∵AD＝BD,DH⊥AB,∴∠ADH=12∠∴AD＝2x,DH=3x在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE²,∴（3x）²+(2﹣x)²＝(6)²,解得：x=1+∴AD＝2x＝1+3故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，根据勾股定理求出AH．9．（4分）已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12-2021A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021【分析】由题意得出x1+x2＝2021,x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0，将代数式变形后再代入求解即可．解:∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2021,x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0，∵x2≠0,∴x2﹣2021+1∴-1x2∴-2021∴x12-2021x2=2021x1﹣1+2021＝2021(x1+x2)﹣1+20212＝20212﹣1﹣20212＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查了根的定义及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x210．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论：①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为48；③A′C﹣B′C的最大值为15；④A′C+B′C的最小值为917．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①根据平行四边形的判定可得结论．②作点C关于直线AA′的对称点E,连接CE交AA′于T,交BD于点O,则CE＝4OC．利用面积法求出OC即可．③根据A′C﹣B′C≤A′B′,推出A′C﹣B′C≤15,可得结论．④作点D关于AA′的对称点D′,连接DD′交AA′于J,过点D′作D′E⊥CD交CD的延长线于E,连接CD′交AA′于A′,此时CB′+CA′的值最小，最小值＝CD′．解：如图1中，∵AB＝A′B′,AB∥A′B′,AB＝CD,AB∥CD,∴A′B′＝CD,A′B′∥CD,∴四边形A′B′CD是平行四边形，故①正确，作点C关于直线AA′的对称点E,连接CE交AA′于T,交BD于点O,则CE＝4OC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°,CD＝AB＝15,∴BD=B∵12•BD•CO=12•BC∴OC=20×15∴EC＝48,故②正确，∵A′C﹣B′C≤A′B′,∴A′C﹣B′C≤15,∴A′C﹣B′C的最大值为15,故③正确，如图2中，∵B′C＝A′D,∴A′C+B′C＝A′C+A′D,作点D关于AA′的对称点D′,连接DD′交AA′于J,过点D′作D′E⊥CD交CD的延长线于E,连接CD′交AA′于A′,此时CB′+CA′的值最小，最小值＝CD′,由△AJD∽△DAB,可得DJAB∴DJ15∴DJ＝12,∴DD′＝24,由△DEE′∽△DAB,可得DEDA∴DE20∴ED′=725,DE∴CE＝CD+DE＝15+96∴CD′=CE2∴A′C+B′C的最小值为917．故④正确，故选：D．【点评】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上.11．（4分）如果x2＝4，则x＝±2．【分析】根据平方根的定义解答即可．解：x2＝4，开平方得x＝±2；故答案为：±2．【点评】本题考查了平方根的运算，开方运算是解题关键，注意一个正数有正负两个平方根．12．（4分）在﹣2，﹣1，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是12【分析】所列4个数中，倒数等于其本身的只有﹣1和1这2个，利用概率公式求解即可．解：在﹣2，﹣1，1，2这四个数中，其倒数等于本身的有﹣1和1这两个数，所以四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是24故答案为：12【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数及倒数的定义．13．（4分）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为3．【分析】由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解BE＝2AF＝6，再利用三角形中位线定理可求解．解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∵F为BE的中点，AF＝3，∴BE＝2AF＝6．∵G，H分别为BC，EC的中点，∴GH=12故答案为3．【点评】本题主要考查矩形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，求解BE的长是解题的关键．14．（4分）若n+mn-m=3，则m2n【分析】利用分式化简n+mn-m=3，得出n＝2解：∵n+mn-m∴n＝2m,∴m2n2故答案为：174【点评】本题考查了分式的化简求值，关键是根据已知条件表示出n与m的关系．15．（4分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC=3AB＝3BD，则AD：AC的值为33【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明出△ABC∽△DBA，再根据相似三角形的对应边成比例，变形即可得出答案．解：∵BC=3AB＝3BD∴BCAB∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA，∴ACAD∴AD:AC=3故答案为：33【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明出△ABC∽△DBA．16．（4分）关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．其中正确结论的序号是②③．【分析】①构建方程组，转化为一元二次方程，利用判别式的值判断即可．②首先证明a＞1,再证明x＝1时，y＜0,可得结论．③首先证明a＞0,再根据顶点在x轴上或x轴的上方，在点（0,1）的下方，可得不等式组1＞4a-4解：由y=2x+2y=ax2-2x+1,消去y得到，ax∵△＝16+4a,a＜0,∴△的值可能大于0，∴抛物线与直线y＝2x+2可能有交点，故①错误．∵抛物线与x轴有两个交点,∴△＝4﹣4a＞0,∴a＜1,∵抛物线经过(0,1),且x＝1时，y＝a﹣1＜0,∴抛物线与x轴的交点一定在（0,0）与（1,0）之间．故②正确，∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），∴--2∴a＞0,∴1＞4a-4解得，a≥1,故③正确，故答案为：②③．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建不等式或不等式组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。17．（8分）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x﹣3）2，其中x＝﹣1．【分析】由题意可知,在化简的过程中可以运用平方差公式(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2和完全平方差公式(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2快速计算,再把x＝﹣1代入化简后得到的式子中求值．解：原式＝4x2﹣1﹣(4x2﹣12x+9)＝4x2﹣1﹣4x2+12x﹣9＝12x﹣10．∵x＝﹣1,∴12x﹣10＝12×(﹣1)﹣10＝﹣22．故答案为：12x﹣10,﹣22．【点评】本题主要考查整式的混合运算——化简求值．同时也考查了平方差公式和完全平方差公式的灵活应用．这题属于简单题型，但是学生在化简时候容易忘记添括号，和去括号变符号．18．（8分）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．【分析】根据AAS证明△BAE≌△ACF，再根据全等三角形的对应边相等即可得解．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠EBA＝90°，∴∠EBA＝∠FAC,在△ACF和△BAE中，∠AFC=∠BEA∠FAC=∠EBA∴△ACF≌△BAE(AAS),∴AF＝BE．【点评】此题考查了三角形全等的判定和性质，本题的关键是根据已知的条件证明△ACF≌△BAE．19．（8分）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目．（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率；（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：考生自选项目长跑掷实心球小红959095小强909595①补全条形统计图．②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．【分析】（1）将乒乓球、篮球和羽毛球分别记作A、B、C，列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式计算可得答案；（2）①根据表格中的数据即可补全条形图；②根据加权平均数的定义列式计算即可．解：（1）将乒乓球、篮球和羽毛球分别记作A、B、C，列表如下：ABCA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）由表可知共有9种等可能结果，其中小红和小强自选项目相同的有3种结果，所以小红和小强自选项目相同的概率为39（2）①补全条形统计图如下：②小红的体育中考成绩为95×50%+90×30%+95×20%＝93.5（分），小强的体育中考成绩为90×50%+95×30%+95×20%＝92.5（分）．【点评】此题考查了条形统计图、加权平均数及列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与x1x2【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；(2)解方程求出方程的两根为k,k+1,得出x1x2=1+1k或（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，∴无论k取何值,方程有两个不相等的实数根．(2)解:∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，解得：x＝k或x＝k+1．∴一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的两根为k,k+1,∴x1x2如果1+1k为整数,则∴k＝±1,如果1-1k+1为整数,则∴k+1＝±1,则k为0或﹣2．∴整数k的所有可能的值为±1,0或﹣2．【点评】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用解方程求出k的整数值．21．（10分）如图，反比例函数的图象与过点A（0，﹣1），B（4，1）的直线交于点B和C．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）已知点D（﹣1，0），直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求△BCE的面积．【分析】(1)根据待定系数法求得即可；（2）解析式联立，解方程组求得C的坐标，然后根据待定系数法求得直线CD的解析式，再与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得E的坐标，然后根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求得△BCE的面积．解：（1）设反比例函数解析式为y=kx,直线AB解析式为y＝ax+∵反比例函数的图象过点B（4，1）,∴k＝4×1＝4,把点A（0，﹣1），B（4，1）代入y＝ax+b得b=-14a+b=1解得a=1∴直线AB为y=12x-1,反比例函数的解析式为(2)解y=12x-1y=4∴C(﹣2,﹣2),设直线CD为y＝mx+n,把C(﹣2,﹣2),D(﹣1,0)代入得-2m+n=-2-m+n=0解得m=2n=2∴直线CD为y＝2x+2,由y=2x+2y=4x得x=-2∴E(1,4),∴S△BCE＝6×6-12×6×【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．22．（10分）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，OA＝4，求GF的长．【分析】（1）证明∠OAC＝90°即可；（2）求弦长，根据垂径定理先求出弦长的一半即可．连结OF,过点O作OH⊥GF于点H，根据中位线定理得DE∥OC，所以∠OEH＝∠AOB＝60°，求出OH，根据勾股定理求出HF，乘2即可求出GF．(1)证明:∵AB＝OA＝OB，∴△OAB是等边三角形．∴∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°．∵BC＝OB，∴BC＝AB，∴∠BAC＝∠C,∵∠OBA＝∠BAC+∠C＝60°，∴∠BAC＝∠C＝30°．∴∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝90°．∴OA⊥AC，∴点A在⊙O上，∴AC是⊙O的切线；(2)解:如图，连结OF,过点O作OH⊥GF于点H．∴GF＝2HF，∠OHE＝∠OHF＝90°．∵点D,E分别是AC，OA的中点，∴OE＝AE=12OA=12×∴∠OEH＝∠AOB＝60°,OH＝OEsin∠OEH=3∴HF=D∴GF＝2HF＝213．【点评】本题考查了切线的判定，三角形中位线定理，垂径定理，属于中档题，构造直角三角形，利用勾股定理求出HF的长是解题的关键．23．（10分）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价；（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式；（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z=-1100x+12．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润【分析】(1)设苹果的进价为x元/千克，根据题意列出方式方程，解出即可得出结果；（2）根据自变量的不同取值范围：0≤x≤100和x＞100，得出两个函数关系式即可；（3）根据自变量的不同取值范围：0≤x≤100和100＜x≤300，得出两个二次函数关系式，分别求出最大值比较后即可得出结果．(1)解：设苹果的进价为x元/千克，根据题意得：300x+2解得：x＝10，经检验x＝10是原方程的根，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克．(2)解：当0≤x≤100时，y＝10x；当x＞100时，y＝10×100+(x﹣100)(10﹣2)＝8x+200；∴y=10x(0≤x≤100)(3)解：当0≤x≤100时，w＝(z﹣10)x＝(-1100=-1∴当x＝100时，w有最大值为100；当100＜x≤300时，w＝(z﹣10)×100+(z﹣8)(x﹣100)＝(-1100x+12-10)×100+(-=-1=-1∴当x＝200时，w有最大值为200；∵200＞100，∴一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大为200元．答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大．【点评】本题考查了分式方程的应用，一次函数及二次函数的应用，能够正确地根据自变量不同的取值范围，列出不同的函数关系式是解决本题的关键．24．（10分）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE=1（1）求tan∠ACE；（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；（3）当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．【分析】(1)过点E作EM⊥AC于点M,由正方形的性质求出AE=23,由直角三角形的性质求出EM和(2)证明△DHG∽△DAF,由相似三角形的性质得出HGAF(3)由锐角三角函数的定义要得出AFAD=x1=12,求出x=12,解:(1)过点E作EM⊥AC于点M,∴∠AME＝∠EMC＝90°,∵四边形ABCD是边长为1的正方形,DE=1∴∠CAD＝45°,AE＝AD﹣DE＝1-1∴EM＝AM＝AE•sin∠CAD=23×2∴CM＝AC﹣AM=2∴tan∠ACE=EM(2)∵GH⊥AD,AB⊥AD,∴GH∥AB,∴△DHG∽△DAF,∴HGAF∴yx∴y＝x﹣xy,∴y=xx+1(