门爱东老师DS课程复习总结

门爱东教授

menad@数字信号处理DigitalSignalProcessing复习Review主题概述 1-绪论2-离散时间系统和离散信号的变换2.1取样和内插2.2离散时间信号序列2.3离散时间系统2.4离散信号的傅氏变换2.5离散信号傅氏变换的性质2.6离散信号的Z变换2.7Z变换与傅氏变换的关系2.8系统函数、零极点、稳定性2.9信号流图2.10本章小结3-离散傅里叶变换及其快速计算方法4–IIR数字滤波器设计和实现5–FIR数字滤波器设计和实现6–数字信号处理中的有限字长效应2数学模型p(t)2.1取样和内插ADC数字信号处理DAC模拟信号x(nT)y(nT)模拟信号输出x(t)y(t)平滑滤波限带滤波3综述，取样过程如下图所示时域：频域：2.1.1取样和取样定理4对于带通信号，范围为B1<f<B2，而不是0<f<B，没有必要以两倍的最高频率或2B2

进行取样最小取样极限取决于信号的带宽(B2－B1)以及带宽在频谱中的位置，至少必须是带宽的两倍，可以更高些，关键是要保证没有频谱混叠。这种对带限信号的取样，称为欠取样（Undersampling）。例如一个GSM蜂窝电话在900MHZ频段上占30KHz带宽，通过欠取样，只用比60KHz略高一点的取样频率，而非1.8GHz相对应的是过取样（Oversampling）用远高于奈奎斯特取样频率的频率去取样收益：1）简化了抗混叠滤波器设计；2）降低了量化噪声的影响；3）通过噪声整形（NoiseShaping）的滤波过程消除量化噪声，提高信噪比B1B2－B2

－B102.1.1取样和取样定理：带通信号52.1.2内插：理想的DAC变换6信号连续时间信号离散时间信号数字信号离散时间信号序列2.2离散时间信号序列（其中T在取样过程中是重要参数，但在结果中却并不重要。）由于：(1)信号要进行计算机处理（数字处理），必须要离散化、数字化；（2）数字信号处理时，nT并不重要（特别在非实时处理中），重要的是离散时间序列x(n）。7常用序列（自学）单位取样序列单位阶跃序列矩形序列实指数序列正弦序列2.2离散时间信号序列：常用序列82.3.1离散时间系统的定义离散时间系统是将输入序列（激励）x(n)变换或映射成输出序列（响应）y(n)的一种变换或运算，以算子T[.]表示。2.3

离散时间系统亦即将一个序列变换成另一个序列的系统。离散系统可粗略地分为线性和非线性、时变和非时变等系统。我们主要讨论的是线性非时变系统。

9(其中a、b为任意常数）2.3.2

线性非时变系统（LSI）线性：满足叠加原理的系统具有线性特性输入x1的输出为y1，输入x2的输出为y2，则当输入为两个输入

(x1，x2)之和时，输出为两个输出

（y1，y2）之和。

时不变：参量不随时间而变化的离散系统若则102.3.2线性时不变系统既满足叠加原理，又具有非时变特性的系统。LSI系统输出的时域表示式---离散卷积)(nh)(nx)(ny][.T)(nd)(nh由此可见，线性非移变系统的输出序列就是输入序列与该系统的单位取样响应序列的离散线性卷积。线性时不变系统的单位取样响应h(n-k)表示沿纵轴镜像h(-k)，然后右移n位。11解析式计算---直接用卷积表达式计算

2.3.2线性时不变系统：离散卷积的计算

图形法⑴折叠⑵位移⑶相乘⑷求和排序法(1)首先将两个序列右对齐；(2)逐个样值对应相乘，但不进位；(3)最后将同列乘积值相加即可。122.3.3系统的稳定性和因果性：因果性LSI系统是因果系统的充分必要条件：因果性定义：某时刻的输出只取决于此时和此时刻之前的输入的系统，即n=n1时的y(n)仅取决于n≤n1的x(n)，而不取决于x(n)的将来值。涵义：对于因果系统，如果n<n0,x1(n)=x2(n),则n<n0时，y1(n)=y2(n)。-可实现系统，常用来证明系统的因果性(重要）。（具体证明见教科书。）13稳定性定义：如果系统所有的输入有界，则输出有界。即当：则：在以后的讨论中，除非特别说明，所涉及的离散系统都是线性时不变系统，一般的实际系统都是因果、稳定的。2.3.3系统的稳定性和因果性：稳定性重要结论：对于LSI系统，稳定的充分非必要条件是：142.3.4LSI系统的差分方程：IIR系统递归性（IIR,无限冲击响应)如果系统是线性、非时变、因果的，则：满足上述表达式的系统是递归的或者无限冲激响应（IIR,InfiniteImpulseResponse）系统。特点：当前输出值也由过去的输出值所决定，即反馈。此式称为“N阶常系数线性差分方程”，其含义为：①N阶：系统的阶次；②常系数：指差分方程的系数ak和bm是不随n变化的常数。若系数ak和bm是随n变化，则称变系数差分方程，它描述的是时变系统；③线性：指y(n-k)和x(n-m)各项都只有一次幂，且不存在它们的相乘项，否则是非线性系统；④差分：y(n)和y(n-1)之间的运算。15非递归装性（FI摸R,有限遵冲击辞响应)如果则满足量上述逆表达叶式的浑系统叼是非职递归郊或者有限样冲激盲响应（FI熔R）系擦统，伸以后莫我们翠要讲贫的数汪字滤该波器翠的设堤计，炮就是煎要确范定值bm。特点归：无反多馈参映量，泼是递央归系败统的李特例雪。2.孝3.纲4理LS肉I系统拾的差葵分方攻程：FI浴R系统解差滚分方痕程的岂方法：（1）经洒典法竟；（2）递按推法缺；（3）z变换宵法（4）Ma鸡tl哈ab16离散信号与间存在傅氏变换的关系。

2.姑4离散晴信号概的傅驰氏变乱换直接严关系172.暖4离散咏信号避的傅丹氏变忙换离散浴信号火的傅欢氏变宜换对（离散尾时间窗傅氏崭变换DT撑FT）频域勉变量w是连脂续的时域端变量t是离脂散的182.尊5离散斑信号茧傅氏毁变换喜的性捏质离散糠傅氏谨变换汉的周松期性离散狗傅氏宰变换练是线投性变畅换时域宴卷积孕定理（时酷域卷消积映徒射为笋频域府乘）频域帐卷积枕定理（时安域序练列相节乘）离散霜傅氏予变换挎的对密称性犯（复绩数、课实数膀）频率倚响应时域鄙相关乌定理（x(膨n)自相淡关函翻数和x(浇n)的傅施氏变绝换之缎间的然关系兆）Pa党rs孕er霉va涉l(帕斯赏瓦尔)定理（能煤量保匪持不缠变）Wi耻en搁er蓬-Kh略in村ch果in(维纳-辛钦)定理（功韵率信作号x(蒸n)的自瞒相关醋函数崖和其匙功率燥谱是艺一对虑傅氏搬变换约）19H(掌ejw)为系意统单笑位取照样响健应序绪列h(守n)的傅绍氏变烫换：或者是ω的周填期函面数，挺周期局为2π。H(东ejω)称为指一个LT很I系统分的频率乱响应须，一般卧来讲涛，它演是ω的复泉函数忌，其揪幅度|H(订ejω)|称为幅度胞（增勇益）采响应魄函数侦，或幅频离响应，而逐其相荷角∠H(兔ejω)则称贴为相位恋响应爱，或相频颈响应。2.锁5速DT发FT的性曾质：LS童I系统莲的频逮率响引应202.设6离散剪信号静的Z变换线性弓模拟迈系统当：L变换垒（拉挂氏变疲换）：解含常系灭数微束分方雁程的刊运算练方法微分恨方程代数巴方程（时踩域s域）离散拆系统:Z变换瘦：解常顾系数罪差分延方程求的运刊算方宫法差分饿方程代数世方程节（时导域z域）仔；用零极骡点图形象急的表俯示离胸散系叠统的翠时间暴与频桃率特岛性，巾避免牛大量葵的数邀学分记析。212.舱6.射1督Z变换差的定花义及特其收攀敛域序列x(勤n)的Z变换毛定义正变哭换：z娃—复变脸量反变腰换：双边Z变换姐定义22收敛恨域既然X(读z)是幂挡级数疤，就府存在疏它是凡否收知敛的伶问题庸？对于衰任意瞒给定案的序烦列x(判n)，使杆其Z变换杯收敛肝的z值集筒合称移作X(拖z)的收烫敛域RO海C（Re拣gi奖on磁o订f盆Co挽nv困er侄ge淘nc凭e），即萄：{搏z：X(蔬z)存在}。即RO尿C是满李足僚的区艺域2.何6.涉1烂Z变换断的定辅义及梢其收秩敛域注意污：不同贸的序列x(丑n)，可宋能对乱应相悠同的Z变换，只摧是收受敛域朱不同杰，故副在确资定Z变换时，镰必须江指明末收敛及域。23因收走敛域匀仅决软定于模值|z感|=守r，按复翠变函拜数的页理论舰，幂熔级数乌的收巨敛域趋为Z平面昼上的院环状裹区域逆：r1<|衔z|朵<息r2，r1、r2是X(词z)的极酿点。在收锤敛域发内的X(奔z)是解析浪函数，X(蹄z)的极点角在收稀敛域RO社C之外，收芽敛域以极欣点为狐边界么，收摧敛域铃内无么极点。r1可以游取0，r2可取∞。如长果r2<刚r1，说明什收敛某域不汉存在飘，那市么Z变换匪也不萝存在抄。Re(z)Im(z)r1r22.容6.货1宜Z变换桥的定枕义及元其收舞敛域根据谜收敛丢域RO诱C的情良况，x(尾n)序列霸分为馋：右边旨序列那（RO缩慧C:|z伪|>律r爱1）左边杂序列捕（RO贝C:|z蚊|<口r2）双边鬼序列(R忘OC捉:r1苹<|倍z|扑<初r2)242.塞6.扎2绑Z反变愉换常用喇方法熄：幂级拦数展救开法流（长检除法纹）部分警分式醒分解芹法留数红法（农围线录积分僻法）Ma之tl窝ab注意眠：收敛晃域RO御C从给它定的Z变换闭合婚式X(骄z)中还也原出饺原序茅列x(蝴n)，称再为Z反变毯换：25设zk是被疲积函格数X(渗z)制zn-完1在围线c内的一组忌极点。根泛据留忌数定廉理，x(须n)等于丛围线c内全管部极岗点留打数之衡和，即栽：2.粗6.捷2慰Z反变左换：留数亩法利用司留数厅定理很可以塑求解虾围线茎积分撕运算求极饶点的阅留数X(似z)拨zn-鸽1在单芝极点z0的留雀数X(曾z)淡zn-没1在z0有K阶极晕点的援留数复杂樱！262.互6.俯2绘Z反变窄换：留数剩法利用层围线拿外极纺点留柏数求x(斑n)假设于围线c内有k个极冻点zk，c外有m个极饭点zm（k、m是有株限值夕），对于毛扩充敢复平贱面，加围线c内外代的极深点留拜数之患和为0，包喜括无且穷远贼点助∞添的留苦数，扁则有历：对于剃在围围线c内有伤多阶行极点笋，而溉围线c外没鸣有多动阶极址点的叼情况坡，为璃避免躁求多贝阶极府点留厉数的摘麻烦虽，可上以利嫌用留数架辅助冶定理脱，即雄改求北围线c外的晒极点宏留数翅之和艳，并促取负冤号：要求等条件巧：X(录z)彻zn-佣1分母希多项角式z的阶气次比汗分子腐多项券式z的阶易次高烘二阶爷或二帆阶以奔上。此时便，X(雄z)祸zn-蹲1在无薪穷远治点的遥留数凯为零毙。否则怜，需贝要考洪虑无继穷远杂点的估留数侦。272.范6.嚼2单Z反变礼换：留数哪法几点余说明：极点旁的确杰定。首集先确页定收疯敛域摄，然起后针耀对围派线c每个聪收敛唐域内篮的函呆数X(陕z)恒zn-屯1的极拢点计滨算Z反变南换。不是X(小z)的极馆点，因汁此，茂需要五判断X(居z)拍zn-短1极点展是否女发生霸了变忌化。当X(盆z)蛙zn-御1在z＝0处有脸极点叔时应特筒别注窑意：设X(锻z)在z=遮0处有r阶的演极点炼，即紫有因颈子z-r，则X(篮z)淹zn-邻1就有邮因子z-r蠢+n洁-1。若–r山+n骗-1贞<0时，萝则在z=波0处将透出现香极点袖。因嘴此，螺应对毁一个宋或多释个nk值分淹别求跳，歉以免号出错粪。留数予法分服为两播种情遮况：282.惕7别Z变换鞋与傅量氏变谱换的境关系末：正变脉换序列粉的傅连氏变他换就雕是其倦在单侵位圆梅上的Z变换序列x(访n)的Z变换引为：令复伯变量z=rejw，则令r=击1，则z=ejw－傅软氏变乓换的属表达哨式ω—数字亩角频锤率，型复数Z的幅巩角。因此劲，单位嗓圆上僵的Z变换挤就是锋傅氏矿变换。傅氏矿变换戴是Z变换蓄的特涝例。F变换羽的一彻切特喊性可研直接骆由Z变换仓的特照性得妄到。收敛培域的雪要求闸不同292.些8系统冬函数总、稳名定性嫁、零吨极点一个LS恩I因果猪系统屯的差抽分方案程为洞：两边Z变换齿后系统传递函数（必须指定收敛域）系统买函数30系统庄的因汤果稳企定性佩质可咬由系走统传却输函宗数的晋极点录判断刃。如驱果全部腔极点晶都在曲单位脸圆内，则蝴系统伯因果物稳定江。LS古I因果莫系统储的稳范定性因果静性：因果吵可实仇现系奶统一担定满肌足h(投n)=朝0,殊n男<0，其Z变换已的收屯敛域棋一定联包括苹∞负点唐，因扬此，屈因果赤系统忘的收浆敛域香一定伶是某个错圆外替的整绞个Z平面。稳定谁性：系统钻稳定汇要求犬，仍对照Z变换某定义透，系统足稳定流要求遵收敛根域包临括单济位圆，所穷以如驳果系因统因便果稳泄定，太则收燃敛域吼一定伪满足嗓下式天：2.探8系统慨函数脆、稳瞧定性板、零努极点312.弓8系统包函数弊、稳丧定性纪、零花极点系统滩函数纯的零挪极点负指话数使车求零简极点恐困难欢，故把H(怠z)的分誓子分评母表惨示成稠正指显数形鼓式，从幻玉数学棒角度慈看，抗这并恼没有丙改变款传输脉函数阔。但恢这并企不意费味着秤计算末零极叨点一聚定要悠表示击成正吵指数治，只攻是这羽样使天得求势根过知程更骆直接球。322.勒8系统颠函数太、稳榆定性巷、零姑极点系统脂频率活响应若函户数H(雕z)的收药敛域轮包括北单位尝园（z=ejw），贯我们奏就可副在这贞个单江位园究上计浑算H(篇z)，并隙得到扭系统本频率钳响应束或传骗递函先数H(亏ejw)。eRmIwjeiCriDricidiaib332.址9信号勤流图信号佣流图是表凯示信号阀流通会的几同何图款形，由粉连接烧节点盐的有换向分捏支构垂成的逢网络荣，它斥可以酸从系盼统的诊方框锄图设滴计，似也可掠有描效述系撇统的扬线性鬼代数浴方程禽设计满。节点艇、源惜节点望、支帐路、台汇点捏、混狂合节众点、中环路仪、通郊路。z-1x(n)Ab1y(n)a0a1BC系统浇的方周框图x(n)XABCy(n)Y等效也信号止流图34信号你流图旺计算耀规则节点剥变量碎的值节点驻变量鸭值等盛于流锡入该刚节点盏的全泉部信走号的六迭加臣，而从该宅节点吐流出妻的信便号则楚不计。（这巾一点席与基淹尔霍里夫电称流定看律完苗全不告同!）x(n)XABCy(n)Y2.苍9信号庆流图睁：计算请务野必注右意！35信号贼流图缸的化谨简(相当霉于)→解代受数方轻程组挠的消像去法→利用信代数醒方程季组的乎恒等蔽关系证明拾流图窄化简季的正阅确性秋，即籍消除斗一些晃不必往要的派支路唉和节捏点。支路钳的合籍并(1陶)相加集：将窜并联寒支路旋合并踩成单乘一支争路(2剃)相乘：将几吐条串弟联支拘路合遗并成纯单一近支路2.攀9信号惑流图差：化简支路宴的吸葱收：炒可以叙消去索混合旬节点自环润的清认除362.朵9信号缓流图杜：由流风图求情系统晌函数方法①将信讯号流简图逐物步化峡简—类似员于消愧去法②拦用信鸦号流秧图代伐数方折程组③利用Ma势so璃n毁(梅森)公式其中菌△骑称杨为信摸号流夹图的财特征厘行列团式：所有暗不同绪环路粗的增催益之灿和所有置两两羡互不法接触便环路旅的增套益乘抢积之血和所有陪三个嫩互不桨接触龄环路孟的增龟益乘究积之仗和37i表示闹从源放节点忙到汇省节点掉的第i条前厕向通路的标灵号；gi表示光由源俩节点现到汇趣节点致的第i条前银向通回路的巧增益撤；△i是第i条前尺向通普路特折征行来列式骆的余泻因式缠，它遇是除腰去与隐第i条前征向通轨路相原接触乳的环网路外孟，所亦余子援图的伸特征烫行列友式。△i=坊1－(与此垄通路载不接乡丰触的全部现环路应传输洗之和)＋(与此闲通路每不接趟触的躲所有爸成对以不接党触环辆路传历输乘狼积之良和)－(与此世通路显不接匀触的务所有峰三个平不接述触环挂路传圆输乘梁积之蛛和)＋…2.相9信号吃流图悟：由流此图求哗系统哪函数382.姨9信号鸟流图师：流图足转置烂定理转置浴定理若将袖信号以流图照全部炉支路慨的方研向反沾向，镰且保递持全话部的厉支路旅传输只不变漏，输味入变爹量（源节蚁点变允量）和输城出变鱼量(汇点挽变量)交换围位置两，则旅当信依号流遗图中酬只有咬一个周输入袄和一宵个输填出时链，顿转置项后的驰流图企与原剥流图荣有相床同的巾传输蹦函数鸣。转置稀定理粉是Ma拘so读n公式涨的一扩个推缴论cax(n)y(n)z-1(a)caz-1(b)caz-1(c)y(n)y(n)x(n)x(n)即转很置后师的流倍图与际原流患图有逆相同际传输个函数怎。39第2章小目结差分石方程冲激填响应h(嘴n)x(忘n)y(内n)x(成n)y(歉n)=x(拣n)*h(均n)数字输系统传输侧函数H(捆z)频率侵响应H(弓ejw)X(饺z)Y(阻z)=X(泉z)队H(僚z)X(鄙ejw)Y(循ejw)=X(织ejw)H灭(ejw)时域频域Z变换傅氏肺变换DF狂T40第2章小岛结熟练符掌握败和运匆用采样测定理；掌握章序列体的概傻念、外基本眨运算宣、卷积析和线累性卷休积，并郊会判指断序持列的链周期葱性；掌握呈线性/移不梢变/因果/稳定寻的离塑散时甘间系孕统的台概念丸并会艇判断驰，掌跑握线喷性移班不变录系统插及其愁因果揭性/稳定疮性判咽断的那充要沙条件雕；掌握宾傅氏腐变换翠、Z变换连和系忆统函蛾数的销求解禁方法明。41主题脾概述1-绪论2市-离散颂时间系统和离皂散时办间信号植的变歪换3-离散哄傅里党叶变擦换及眠其快笛速计股算方感法3.朵1问题富的提煎出3.炭2晓DF瞒S（离遵散傅样里叶忆级数市）3.门3栏DF库T（有甲限离局散傅瞒里叶联变换耀）3.瞒4朽FF期T（快纹速离宁散傅怕里叶漂变换蒙）3.于5烛CZ坑T及其塑快速挣算法3.夺6其它忧变换3.犹7本章棕小结4–II倦R数字舒滤波哪器设笼计和什实现5患–FI榨R数字怪滤波帅器设毕计和欺实现6功–数字责信号拢处理寒中的执有限巨字长及效应JeanBaptisteJosephFourier1768年3月21日生于法国Bourgogne,Auxerre1830年5月16日死于法国巴黎42问题轰：X(棍z)，X(弱ejw)都是稍连续杰的，利用遥计算枪机处程理有穿困难组，例淘如使桥用Ma堵tl您ab，因歼此提出溜了在尸频域膀内取歼样，踢使频污谱离眯散化薪的问尼题；必须印截断凤序列多，得浓到有怕限个饰点的舒序列航。目标疑：我们俯需要费得到特一个可进粉行数锹值计夜算的变承换方法农：1）DT护FT厅-频域矛中原盼始信永号频疼谱的隔周期跳拓展2）对DT辟FT在频林域中隶采样--DF会S。3）将DF障S推广捉到有从限持许续时文间序蓄列DF胁T。（DF贯T避免枝了前右面提箱到的部那两窜个问思题，俗并且急它是范计算熊机可何实现跑的变宿换方铃式。南）DF阵T已成献为DS役P算法羽中的祖核心顾变换认，原因劲：1.成为磨有限控长序烟列傅忘里叶违变换蹲的重轮要方满法。2.有快撒速算佩法。3.川1问题滩的提枪出：可计评算性43时间函数频率函数傅里叶变换FT连续非周期非周期连续傅里叶级数FS连续周期(T0)非周期离散(Ω0=2π/T0)离散时间傅里叶变换DTFT离散(T)非周期周期(Ωs=2π/T)连续离散傅里叶级数DFS离散(T)周期(T0)周期(Ωs=2π/T)离散(Ω0=2π/T0)离散冻时间抢函数披的取爱样间芽隔：T1，取遵样频家率：离散等频率尚函数棋的取林样间嗓隔：F0，时间挥周期签：3.精1问题竟的提倍出：傅里惧叶变饺换的日四种贯形式结论张：①时域无中函迹数取宽样（映射办）频域养中函悦数周经期重纹复；②归频域裁中函肾数取姜样（映旱射）时域查中函注数周路期重回复；③集取样奋间隔（映墓射）周期（2π终/间隔粪）44DF猎S变换外对：时域披周期抬序列描与频扶域周挂期序绑列间处的关背系3.丽2惊DF晓S定义风和性等质其中45在什源么条破件下足不产器生混攀迭失始真？—频率积取样频率露取样懒：若闸时间堂信号勇有限滔长，昼当满羞足下启列条主件时鸡，X(糊ejw)的样努本值X(脑k)能不连失真零的恢详复成器原信缠号。为了假避免抖时间嚼上的眠混迭升：（1）必格须是烟时间排限制培（有哗限时墓宽）（2）取建样频颤率间狮隔小净于3.侨2.淡1厉DF驶S定义巧：几点恭说明46频率缘瑞分量如果紫变量DF墓S可表参示为夸：因此捏，时域n及频骑域k都是扇有物屿理意晚义的。3.照2.咱1皆DF谈S定义注：几点封说明（指醉数项kn不变戒）47更具拳体地瓦，傅猜里叶衰系数葵的标铺号k和频磨率f的关寇系为超：所以叉：对应巧关系：傅里午叶系那数标鼠号k：0～N数字愧频率ω：0～2π模拟酷频率f：0～fs3.辽2.俯1比DF恼S定义久：几点涝说明48线性序列冶的周顽期移挪位（声时域昨）（园重要尾）调制臭特性贩（频四域周宪期移橡位）对称瓶性周期何卷积留（时较域）圈（重鲁要）3.督2.壳2崇DF锁S的性删质493.豪2.以2载DF神S的性煎质：周期票卷积找计算0N-Nm0N-Nm0N-Nm0N-Nm（1）x1(n藏)和x2(n伟)是周佛期的右。（2）求谨和范肆围为祥一个兔周期（3）周技期序紫列周饿期卷畏积后辛，序那列的眠长度都仍然侨是周祥期的眉；50序列床的线部性卷丑积与装周期址卷积程的几敬点区锋别：线性柴卷积洒的求吃和对豆参与冶卷积计的两盖个序屈列无免任何协要任求，而周耽期卷牵积要其求两贼个序妥列是格周期铺相同借的周辛期序皱列。线性桐卷积驱的求羡和范忧围由绍两个仰序列踪蝶的长蜜度和美所在腹的区扣间决借定(M压+N屿-1逼)，而周追期卷长积的伞求和胸范围蒙是一彩个周惜期N。线性仁卷积侍所得蛮序列你的长谊度由等参与沫卷积刻的两衣个序榜列的灾长度够确定协，而周跳期卷华积的遭结果再仍是凶周期族序列临，蹈且周胡期与赢原来态的两丢个序丙列周役期相陡同。周期岁卷积共等同握于两锡个周限期序淡列在成一个拴周期扮上的丧线性枣卷积杰计算3.揪2.膛2挂DF租S的性讽质：周期毛卷积51有限未长序蛮列的DF饰T正变位换和竖反变那换：其中：DF词T3.杂3申DF矿T定义瞧及其皇性质或注意勾：从工圆程角脑度看南，DF骑S和DF还T的表衫达式捉没有迁本质啦区别林。52DF票T的矩胖阵表吵示形上式若令神：则：3.状3.哪1乘DF拔T定义533.毁3.捐1赵DF叶T定义衰：DF窜T频谱DF嘉T从整枯体上黄可看括成是鄙由窄蛮带相色邻滤笨波器叫组成秘的滤杜波器号组DF藏T的每拖个分夕量X(晒k)可看竭成是蹈窄带腹滤波筝器的和输出科，此句窄带手滤波哀器的壳中心叛位于姑数字轮频率2π逗k/蝇N弧度疏，带哀宽为2π步/N。分辨旗率（俊子带夏带宽秘）N点DF古T覆盖纽奉了0到fs（取层样频涉率）吵的频绪率范费围。假定院取样持频率供保持开不变削，当零取样浪点越扛大时仪，DF娇T分辨属率就蹄会越揪好，踪蝶这样伸频率却间隔箩小，狸可获散得频腥谱的酱许多辰细节铺。滤波揪器的翅中心谅频率从滤绳波器阳组的愿角度筑看，奶分辨挠率好盲的DF额T是由厅大量荒非常置窄的犯带通涝滤波永器构寸成的搏。DF绩T分量X(看k)位于湖以下魄频率健处：54序列x(蛋n)的Z变换控在单锁位圆排上进创行N等分萝，即＝2怎/N，就是步序列角的DF仍T变换们。(取样剑）Z变换罩和DF豆T的关直系是取样旦和内约插的关道系，烈这在胜实际喘应用技中很葱重要远。3.溜3.慰2喘DF驶T与DT掀FT和Z变换曾的关沿系55线性对称缘瑞性帕斯靠瓦尔改定理反转及定理循环检反转蜂的DF普T循环炊移位(圆周沿移位)频域黄循环说移位凑后的ID伤FT（调滤制特冒性）循环绵卷积(圆周袭卷积)3.芒3.川3短DF星T的性靠质56循环晨反转发的定伍义：如果x(推n)是长对度为N的序赛列，则称x(坊(-截n)咱)N为x(错n)的循环胸反转柏运算恒。3.等3.摘3勺DF想T的性倦质：反转谣定理循环涛反转丧运算忆是有岩限长掉序列扛所特昨有的像一种凭运算葡，其级结果嘉仍然养是集彻合{0筋,盖1,刘…贺..伯,嗽(N熄-1后)睡}上的昆有限怀长序绣列，特别距注意n=唐0时情禽况。计算政过程裤：1）补匆零为N；2）周糕期延此拓；3）纵丛轴镜证像；4）取荷主值巩序列胳。573.惕3.脉3住DF逼T的性音质：反转驼定理循环伪反转识的DF练T若，则证明假：583.祥3.衬3稻DF兆T的性族质：序列秘的循虚环移察位(圆周锐移位)循环旅移位骆的定润义：称其忽为循图环移挥位的寒原因揭在于霞，当射序列从一端识移出狼范围浇时，券移出擦的部临分又蚊会从另一寒端移悼入该局范围听。若N点序尖列沿招一方蚁向线性歉移位，它涉将不球再位跑于区逆间0≤声n≤石N-篇1上。59结论究：有限毁长序监列的皮循环剩移位划，在否离散旧频域定中只楚引入狡了一杜个和糕频率均成正乓比的线淘性相啦移质，晋对幅素频特筛性没蓄有影予响。3.残3.慈3都DF纳T的性鲜质：序列挽循环恳移位秘后的DF稻T若，则证明耗：60时域削序列亿的调柳制等文效于梨频域锯的循勇环移恼位3.围3.傲3劈燕DF肌T的性哪质：频域政循环厕移位挑后的ID免FT频域劲循环株移位雄后的ID首FT（调制灿特性）：由DF心T所具敌有的刘对偶与特性脏不难误看出污，在盆频域竹内循驾环移蹦位时网，将蚊有类栋似的唯结果池，即晚：证明睡：613.疗3.惊3林DF诱T的性晶质：循环戏卷积(圆周吃卷积)循环销卷积歼定义举：设x1(n邻)和x2(n躺)都是洲长度结为N的有底限长听序列鸣，定肉义循散环卷搁积为执：—周期构序列培卷积匪后取供主值62循环灿卷积盟过程昂：1）补粮零2）周以期延躺拓3）翻狸褶，考取主宽值序模列4）循味环（监圆周有）移框位5）对扭应位钳相乘帅相加6）重抵复，n=期0~比(N爹-1信)3.铸3.催3若DF坏T的性仔质：循环引卷积(圆周纳卷积)mx2(m)mx1(m)00NNmx2((0-m))N0Nmx2((1-m))N0Nn0N注意n=扎0时的宝循环扔反转63循环条卷积梦的时申频映拳射关鸦系由DT春FT的性顾质可兆知，秘两个赏序列缘瑞时域河上的寒线性宰卷积溉运算君在频鹊域上堤表现景为两释个序退列DT唇FT结果林的乘霜积。同样宁的，若则即当在亲频域帐中进及行两冠个N点DF禽T相乘疼时，妙在时家域中痰映射许为循挽环卷聚积（戚而不病是通辩常的角线性浴卷级晚！创！！喘）。3.内3.商3钓DF备T的性殊质：循环爪卷积(圆周唇卷积)641)同心洗圆法2)利用恨求周阿期卷福积的肥作图狐法3)解析御式法4)Ma著tl凉ab方法3.尸3.另3春DF科T的性隔质：循环俩卷积冲计算始方法65利用DF锻T求离涨散线友性卷症积条件约：N≥须N1+N2-1方法衣：时虏域转焦换到养频域燃，处搂理后纳再转渠换回王时域用DF梢T进行爆信号且频谱科分析参数旨选择频谱棍泄漏栅栏坑效应3.遭3.脉4阶DF碗T的应砌用66线性朴移不芹变离凭散系艇统当长位度N增大狭时，误线性赌卷积陕的运弱算量悉较大亭，需洗寻找宾实用轨的线臭性卷许积的糠快速延计算狐方法屡！3.从3.达4扬DF犯T的应艳用：线性炭卷积梁求解循环慰卷积地的时膏频映粒射频域朗中进牛行两犯个N点DF独T相乘初时，园在时拌域中装映射凡为循新环卷淘积（而不刻是通击常的阶线性猛卷级蓄！盏！！）。快速背算法FF耐T67如果循环持卷积爽的长列度N满足N≥幅N1+N2-1，则亭此循写环卷护积Y(捧k)就等券于x(瓣n)和h(惕n)的线辩性卷势积。用流掉程图世表示慨法求y(内n)=x(搏n)*h(邀n)的过雀程如亭下：因为DF缘瑞T、ID决FT都有跃快速叙算法友，因亩此，水线性比卷积妨可以仇实现第快速内算法面。3.扩3.任4扣DF配T的应港用：线性旋卷积琴求解IDFTN点DFTN点DFTN点)(kX)(kH)(kH)(kX)(ny)(nx)(nh2N长度1N长度121-+=NNN683.鲁3.肠4呼DF兽T的应忠用：线性民卷积绩求解结论烤：N1=N2越长械，循犬环卷艰积的得优越该性越橡大。线但当悄其中恐一个寄序列乐很长眼时，煌例如x(惩n)当很枝长时绞，即饮：这时Cm下降攻，循生环卷题积快扎速算桌法的紫优点饭不能园发挥沾出来壶。克服抢的办祸法：分段硬卷积将长凉序列泪分段姿，每均一段凤分别决与短以序列章进行常循环新卷积搅（即堆用FF狼T运算两）分为冠重叠像相加辉法，候重叠粒保留惜法。69线性披卷积团求解个小结煮：时域敌直接愉求解补N-N1个零x(n)N点DFT补N-N2个零h(n)N点DFTN点IDFTy(n)=x(n)*h(n)z变换辉法DF身T法3.冤3.屯4犁DF宽T的应运用：线性贪卷积破求解70上面葵介绍形的是端两个有限钻长序魔列x1(n遇)、x2(n龄)的线棒性卷贵积。完但有应时其喷中某窗个序德列会勾很长政或无含限长熊，若氏等长锤序列恩存储抵或输位入完维后再剑做卷坊积运榆算，旺将产生万问题：(1岩)存储轮量过军大，说运算元量也乒太大怪；(2牛)等待彩输入旨的时绢间很体长，览引起雀不能彼忍受狠的延节迟；(3纸)采用DF纺T/众FF驱T快速柴算法钩的效扎率降半低具体亿方法凡：重葱叠保丑留法懂、重估叠相侵加法解决倘此问殖题的绵思路碍：把长遥序列蜻分段扁，每你一分端段分吧别与车短序帐列进织行卷副积—分段搁卷积熔。3.脾3.医4狠DF糕T的应馋用：分段柜卷积71误差幻玉分析3.匙3.滩4秃DF吹T的应糕用：误差苍分析错误楚样本疲数=线性欢卷积黑长度–循环舅卷积炎长度N1N20假设N=N2N1+N2-1-Ne(n)=0e(n)=y(n+N)y(n)yC(n)h(n)x(n)N1+N2-1M-1点有误差与线性卷积相同72重叠健保留颂法——对输赤入x(宏n)预处捧理基本猪思路假设苗把序雨列x(填n)分成妈多段N点序驾列，砌一个箱系统茫的脉弄冲响奴应为M点序汽列，M<严N。由上仪面的寄结论竿可知幻玉，输入觉分段则序列和和脉耳冲响酿应之震间的稼循环缎卷积巩产生始该段亩的输示出序界列，皆其中票前(M荷-1拘)个样孝本不霸是正坟确的草输出燃值。若将x(兰n)简单李地分摄成互默不重巨叠的近各段咏，则蓬所得什的输搂出序悦列会程有不宝正确岛样本情区间拳存在猫。输入滤数据喂如何鸟分段缸？结垂果如生何处帜理？3.志3.奋4依DF也T的应奴用：重叠熄保留碑法73为了削解决斧这个医问题喉，将x(怒n)分为梁长度N1的分锤段，托然后顿每段踩再往矿前多概取（M-蝴1）个样声本，即第k段的劲最后M-彼1点保捕留下法来作赌为第(k挠+1慎)段的嗽前M-良1点，太各段流长变拖为：其中弄最前字面的麻一段x0(n典)，在翼其前错面补宇上M-僵1个零症，使殖其长梅度也旋为N。其中抖任一围段xk(n)与h(押n)进行N点卷棵积运绢算。3.势3.业4蒜DF辽T的应百用：重叠辅保留腔法将每嚼一段砖所得晌到的眉循环切卷积骄的前M-保1个值惯去掉，保留扛后面刘的N1个值，再将聚各段舒保留计的N1个值前后便拼接喊起来咳，就拢得到缘瑞所要惠求的添线性驻卷积y(愿n)。743.田3.如4斜DF罪T的应安用：重叠斗保留下法75这种蕉通过认将树与双相重伤叠的坏部分洪舍去洒，即贞舍去且中接前M-跟1项，保留课后面租的N1个数贝值，来得馆到所矩求结骂果的忌方法宏称为重叠幸保留驰法，有领的书缩慧中又镇称为重叠泻舍去轿法。3.挂3.学4么DF怕T的应依用：重叠世保留宇法76重叠丈相加撒法—对输推出y(卡n)后处首理基本肺思路假设鼻一个升系统虚的输旱入为乓长序储列项x(苗n),脉冲丸响应h(和n)为M点序穗列；把序丢列x(添n)分成多段N点序并列，并川且M<系N；将每通段序孕列和h(友n)进行线性宽卷积，然号后再萍将结幻玉果y(份n)重叠壁相加。问题衡：重叠梯部分浆如何沈处理亚？3.歇3.末4择DF普T的应尊用：重叠井相加山法77这种心方法暖把yk(n)最后形的（M-坏1）项张与yk＋1(n帝)最开颠始的筋（M-妇1）项艳相加算起来歪得到y(之(k本+1保)N1)母,…脏,片y(忍(k畅+1细)N1+M膝-2清)各项县，所哥以称干为重叠唤相加在法。3.畜3.姑4跑DF议T的应蹈用：重叠块相加全法783.横3.聚4桨DF我T的应蚁用：重叠静相加缠法79信号绳的频碧谱分现析：计算翻信号哀的傅仇里叶刃变换3.康3.秤4瓣DF捡T的应都用：频谱鼻分析803.廉3.切4懂DF册T的应代用：频谱纯分析813.寻3.繁4诊DF阳T的应清用：频谱浅分析823.如3.冷4卷DF贤T的应庙用：频谱锁分析参数元的选扰择为便腔于FF油T计算催，一挑般选仅择N检=悟2r（r为正签整数辨）833.极3.构4摇DF袖T的应舍用：频谱迎分析DF顷T计算希频谱当香时，X(假k)对应逢频率暮为华的频姥谱值研。频谱X(者k)是由赤实部U和虚冤部V组成郑：于是溉幅频抬特性A(稍k)，相武位谱Φ(腾k)，功舰率谱G(洞k)84对时档域截斯短，副使频醋谱变性宽拖甜尾，兆称为逮泄漏改善叛方法彻：1）增疗加x(n)长度N；2）缓类慢截杰短(窗函弄数)3.乖3.性4雕DF垄T的应铜用：频谱席泄漏(窗效乓应)85怎样达减少物泄露凤效应隔？选择适当长度堂的窗初函数煌使主阵瓣变怜窄，义提高装分析秤的精辜度。当τ→勇∞时，W(偏jΩ)变为湖在Ω=陆0处的狂冲激茶函数承，而思冲激技函数似与任滴何X(师ejΩ旬T)相卷蒸积都替不会眼使X(蝇ejΩ葡T)有所骑改变获，即肌：因此敬加大屯窗宽把度可吓使泄敌露减谈少，但油也不范能无们限加愉宽，窑因为砍当τ→役∞时，孔等于怕没有伯截短蛙。而且余实际支的信匪号的某窗口蔽长度忠未必宾总能欺随意娘加长饲，例程如，如果咽信号眼是时殊变的悟，长字窗可绒能会挺使计仅算结步果发饿生混周淆。选择趣窗长呜度需问要同丙时考号虑时廊域和射频域再。选择适当的窗坑函数泄露盼现象煌是由击于矩职形窗旧函数颂的频受谱具糖有旁嚷瓣，津而且拘主瓣耽又有分一定煌宽度句所造贝成。鲜为了错减少纳泄露脖，尽量赵寻找警频谱字接近臂冲激若函数预的窗脖函数痛（即逝旁瓣凳小，崖主瓣陷窄，但这愈是矛条盾的）。常用帖的窗慨函数兴有汉锹明窗挖、汉叙宁窗许、布错莱克扮曼窗誓和凯县塞窗灵等注意妹：①独窗口问宽度垄应与汁所需痛数据赖长度N相同枝；②滴若计隶算过呜程中桥需要员补零御，应加先乘肯窗口唯变为N点后货，再盾补零厉，即蚊补零齐后的门点不鼓乘窗渣函数园。3.探3.甚4炒DF抬T的应钟用：频谱书泄漏(窗效飞应)86DF森T应用克问题叨：栅耕栏效缠应栅栏传效应莲：DF翁T只计菠算离碰散点离（基州频F0的整团数倍拨处）捕的频寄谱，赏而不怠是连己续函哈数。这好道象是光在栅子栏的强一边章通过右缝隙纲观看焦另一篇边的赏景色鼻一样输，所酷以称型之为栅栏志效应。被伤“栅鸭栏”饺挡住驰的景辩色是讽看不肚到的历，所洁以有惜可能比漏掉幼大的要频谱株分量足。87改善镜方法俯：增加爷频域妥取样肚点数N（时呀域补锻零）望，使音谱线忽更密在实支际问凡题中劫，被副“栅合栏”舰挡住矿大的茫频谱怎的情舅况很头少，虫所以饱栅栏孕效应混不是么很严阔重的件问题拜。另外撕，补0不会峰影响域信号照的DF覆T特性钉，因纯为它系没有止增加嚼信号妄的信碗息，摄也不烤能提祸高DF伏T频谱固的准顿确性挎，它逝只是捎可以捉减少掀频率梢间隔丘，移侵动了允“栅磨栏”恋，看网到了询原来胆就存摆在的护信息臭。3.枕3.旋4保DF敬T的应车用：栅栏从效应88FF令T:坝F魄as江t雄Fo爆ur补ie败r掠Tr踏an沾sf施or滴m19普65年，Ja乘me疑s钢W.山C味oo颜le读y和Jo浆hn演W宅.Tu奴ke述y在《计算版数学》（《M灿at旧he于ma伍ti貌cs沾o勺f末Co滚mp宗ut绒at膜io本n》）上荷发表饺了“惹一泳种用钱机器壳计算妖复序拴列傅千立叶超级数展的算延法（An挡a捷lg枪or惹it炒hm雕f宜or究t庄he赠m谁ac盐hi愿ne正c毁al神cu厘la端ti骄on次o赖f燃co丑mp蚁le跑x朵Fo木ur晒ie反r液se笼ri热es）”蛙论坏文。自此盐之后携，新祖的算绪法不适断涌沃现。蔬一种讨是对N等于2的整店数次丧幂的痕算法，如浪基2算法将，基4算法像。另里一种拴是N不等蚊于2的整妖数次讽幂的疮算法，例增如Wi赶na段gr挠ad算法歼，素险因子乡丰算法砖。3.丈4吴FF妥T（快旦速离匹散傅课里叶僚变换张）Dr勇.游Ja掀me肝s谜W.葡C辞oo款le劳yWo商rk英ed渐a压t扭IB西M额Wa梨ts肃on店R婚es撇ea岁rc衬h属Ce将nt鸭er施i羽n见Yo连rk疏to慰wn帖H杂ei涛gh煎ts社,N.娱Y.微.A猪ft敞erhi变s仍re校ti泡re坟me关nt赔f舟ro愚m钳IB吐M仁in贤1电99渣1,每h灭e主jo低in易ed裳t糊he劲E浇le趋ct瓜ri贵ca贫l歪En久gi汗ne会er遵in驴g锻De剩pa妙rt橡me血nt斯a塔t扔th蛙e间Un样iv窑er救si练ty颂o义f构Rh疑od动e医Is扫la降nd庸.Jo浴hn撑W盛.Tu英ke商y(1宁91渐5菌–描20奇00铸)893.托4轿FF乞T：WNkn的性泉质90以4点DF糟T为例听：直接笋计算柔需要：42=晚16次复违数乘指。而肠按周受期性迷及对铁称性具，可倡以将DF模T表示魔为：只需截要1次复厉数乘3.哑4珍FF眉T：WNkn的性伟质信号流图？91FF通T算法储分类:时间抽选是法DI叠T:吵D狠ec教im腾at常io勿n-犹In调-T饺im玩e频率抽选六法DI状F:姓D终ec鬼im好at台io塔n-再In氧-F亭re且qu奴en丽cy3.妄4捷FF奸T：基本字思想基本答思路：虽然嫂存在摩不同废的FF谦T方法愉，但兼其核吧心思殿想大图致相陪同，唯即通驾过迭但代，牵反复拆利用社低点胸数的DF技T完成蚊高点衔数的DF瞒T计算格，以讲此达降到降坑低运踩算量旋的目霉的。迭代得：利用WNkn的周捡期性直、特某殊点雀和对亮称性韵，合授并DF缝T计算镜中很魔多重坝复的递计算仇，达秩到降嫩低运箭算量算的目导的。低点气数：将傅默氏变愈换DF祸T分解同成相认继小泰的DF傻T计算恩，即N变小术，而躲计算愧量与N2成正浓比。92算法少原理设序尾列点付数N=经2M，M为整斤数。伴若不性满足篇，则哈补零浴。将序垫列x(n)按n的奇纯偶分牧成两储组：N为2的整斯数幂单的FF茧T算法愁称基-2烧F俗FT算法丸。即一画组由演偶数年序号里组成标，另括一组兔由奇让数序重号组绿成。3.有4.令1谱FF功T：基2时间付抽选铃法-算法秋原理注意病其长套度为N/伸293蝶形表示喜为信起号流挥程图税：3.劈燕4.扰1齿FF榴T：基2时间习抽选委法-算法析原理偶数撇点的DF呢T奇数薄点的DF脆T整个X(悉k)的计介算，圆可以旬分解桐为前、卖后半冲部分的运辅算。贴而只进要求请出前跪一半盟，就丝式可以福求出索整个王序列箭。94以N=更8为例异，其碑信号漫流程飞图为3.华4.勿1研FF每T：基2时间拐抽选歌法-算法亿原理95以N=案8为例河，其冬信号骑流程采图为3.传4.写1灭FF累T：基2时间疑抽选革法-算法家原理N/2点DFTN/2点DFT96每一次睛分解都是简按时间滑域输入序列奸的奇兰偶性次序炭，分界解为两个接半长的子序咬列，所犹以称封为按时余间抽侮取法。仍以N=废8为例腔：3.蛙4.五1膏FF惭T：基2时间赴抽选造法-算法卸原理注：复数乘法5次，原来64次；复数加法为24次，原来56次。m=倒0级m=教1级m=钩2级972m点DF这T的基2时间滥抽选它计算钞过程可见牵：为什麻么引会入FF妙T？出发奏点：考虑W因子趣的特酱点，简孤化算笼法。DI舍T-杏FF达T算法败：时淘间域胖输入俩信号逐级嫌分解为奇研偶序志列。3.只4.粥1评FF秃T：基2时间深抽选骂法-算法摩原理上式乌中位序调整第0级蝶形复合第1级蝶形复合第m-1级蝶形复合x(n)……X(k)98蝶形妥运算同址天计算奶（同蜓位特娇性）1)不同航级数货的节朵点序守号不塔变2)蝶形简运算停是自砖成独鞭立单士元输入陵倒序锣重排运算普量3.灿4.末1鼻FF板T：基2时间帅抽选夹法-基本辣元素复数稠乘法乱：复数成加法葱：99FF帐T算法上面宅讨论蚂的FF琴T算法恒假定N为2的整毒数次铸幂，器即N锯=陆2M，是基2衔FF矛T算法。当N=Rv时，捎这样草的算能法叫礼做基R雕FF珠T算法贫，而搜当N=辆R1v1R2v2R3v3时，计叫做混合拢基算滚法。当N是一唯个高菜度合真数时杜，可扯得到铲最有桥效的亡算法您。最庆受欢牧迎也矩最易限编程礼的算限法是基2超FF厦T算法。Ma荣tl当abFF充T实现Ma伏tl睁ab提供规了内摧建的X邪=ff鸟t(气x,毫N)函数汁来计享算矢驼量x的DF概T。ff戒t函数禁是机借器码糠写成煮的，膏而不射是以Ma狱tl瓜ab指令届写成执的，柜即不言存在.m文件尤，因辩此它豆的执表行速侦度很爆快。采用烟混合艳算法玩。若N为2的幂定，则裳得到役高速毒的基2貌FF殿T算法迅；若N不是2的幂派，则沸将N分解缩慧成质闭数，晶得到筐较慢励的混楚合基FF比T；若N为质码数，备则ff浑t函数谎采用龙原始DF拌T算法饱。3.映4.政1咐FF窄T：基2时间仔抽选要法-Ma裕tl枯ab实现10倦0DF猜T定义竟表示任为矩棵阵形裤式为声：3.剩4.访2县FF铲T：基2时间揉抽选泥法-矩阵动表示10浓1令：矩阵WN为：DF念T矩阵毁简单填地表禁示为括：特性3.朽4.挽2衣FF羽T：基2时间画抽选减法-矩阵正表示10爆2FF季T基2时间倾抽选仇法信右号流夏图（N=企8）-1W821×薄8点2×爽4点4×咐2点x(程0)x(奏1)x(和2)x(住3)x(勉4)x(糖5)x(尽6)x(供7)x(渔0)x(移4)x(配2)x(词6)x(杜1)x(饶5)x(训3)x(搅7)X(亿0)X(倦1)X(驶2)X(它3)X(夸4)X(呜5)X(柱6)X(鹅7)-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1W80W80W82W80W81W82W83C(部0)C(粮1)D(瓦0)D(辜1)E(灰0)E(芬1)F(珍0)F(撤1)A(耳0)A(绍1)A(旱2)A(议3)B(撤0)B(径1)B(修2)B(辰3)m炎=牢0级m软=规1级m胀=弓2级倒置给重排3.添4.突2再FF照T：基2时间恶抽选齐法-矩阵榴