第六信号检测与估计理论2

1948年，美国科学家维纳发表《控制论》，遭到科学界的冷遇，37岁的钱学森却敏锐把握到这一理论的普遍意义，将这一新理论运用到自己的喷气技术研究。1954年，钱学森发表《工程控制论》一书，开创了一门新的技术科学。多年来，这本著作为世界各国科学家广为引证、参考，成为自动控制领域引用率最高的经典著作。目前一页\总数八十四页\编于七点1

断章

卞之琳

你站在桥上看风景

看风景的人在楼上看你

明月装饰了你的窗子

你装饰了别人的梦

因此引用杨振宁博士的话：

“应该多对新的，活的东西，与现象有直接有关的东西感兴趣。”

目前二页\总数八十四页\编于七点26.2连续过程的维纳滤波

维纳滤波也称为最小平方滤波或者最佳滤波，其基本思想是要设计一个滤波器。一般是根据信号s(t)与噪声n(t)的时域或频域特性，选择适当的脉冲响应函数或系统函数，使得其滤波输出与期望输出之间的误差平方和最小（均方误差最小）。目前三页\总数八十四页\编于七点3

被噪声污染的信号波形恢复称为滤波。大家熟悉的滤波器是采用电感、电容等分立元件构成，它对于滤去某些干扰谱线有较好的效果。对于混在随机信号中的噪声滤波，这种简单的滤波器就不是最佳的滤波电路，这是因为信号与噪声均可能具有连续的功率谱。目前四页\总数八十四页\编于七点4如下图所示。不管滤波器具有什么样的频率响应K(j)，均不可能做到噪声完全滤掉，使信号波形的不失真恢复。因此，需要寻找一种使误差最小的最佳滤波方法，又称为最佳滤波准则。

目前五页\总数八十四页\编于七点5

维纳线性滤波理论是一种在最小均方误差准则下的最佳线性滤波方法。（维纳滤波发展的两个方向）由于维纳滤波器电路实现上的困难，在维纳滤波基础上发展了一种基于状态空间方法的最佳线性递推滤波方法，称为卡尔曼滤波。这种滤波器特别适用于对离散时间序列的实时滤波，可以很方便用计算机处理，因而是近代滤波理论的重要发展，在自动控制领域起到了重要作用。目前六页\总数八十四页\编于七点6维纳滤波理论的另一发展方向是自适应滤波，它可以自动地调节其自身参数，在设计时，只需要很少的，或根本不需要任何关于信号和噪声的先验统计知识。因此，目前在模型识别、通信信道的自适应均衡、生物医学信号中周期干扰消除等方面均有重要应用。目前七页\总数八十四页\编于七点7真实信号观测信号加性噪声线性估计问题最小均方误差(MMSE)估计(minimummean-squareerror)估计误差维纳滤波问题描述维纳滤波—对真实信号的最小均方误差估计.目前八页\总数八十四页\编于七点86.2连续过程的维纳滤波维纳滤波最基本的概念：从信号加性噪声中尽可能完整地提取信号而最大限度地抑制噪声。实质上是研究维纳滤波器的设计问题。最佳线性滤波

观测信号其中，是有用信号；是观测噪声。我们可以对，，，等信号波形进行估计。为统一分析，将被估计信号波形统一记为，估计结果统一记为。目前九页\总数八十四页\编于七点9设和都是零均值的随机过程，则的线性估计可以表示为其中，是时刻的采样；是加权系数。是采样的线性加权和。为使估计波形具有最小均方误差，由估计误差与观测信号的正交性，有由该式可以求出最佳加权系数，从而实现的最目前十页\总数八十四页\编于七点10佳线性估计。式估计波形的积分形式表示为这说明，将输入具有时变脉冲响应为的线性滤波器，其输出为的估计为，见图6.1。

目前十一页\总数八十四页\编于七点11为使均方误差最小，利用正交性原理，即求解线性时变滤波器的脉冲响应。利用相关函数表示上式，得

该式是实现信号波形线性估计，且均方误差最小目前十二页\总数八十四页\编于七点12的线性时变滤波器的脉冲响应应满足的积分方程。它能实现非平稳随机信号波形的线性最佳估计（但时变脉冲响应的解比较困难）。估计的均方误差就是估计误差的方差，表示为目前十三页\总数八十四页\编于七点13目前十四页\总数八十四页\编于七点146.2.2维纳—霍夫方程

适用于非平稳随机信号波形最佳估计的线性时变滤波器的求解困难。为获得实用的结果，进行必要的约束：设和都是零均值的平稳随机过程，且二者联合平稳；这意味着观测时间从开始，而且滤波器是线性时不变。考虑因果系统，滤波器在构造估计信号波形时，只用时刻及以前时刻的观测信号。这样，线性时不变滤波器的估计为见图6.2。目前十五页\总数八十四页\编于七点15而(6.2.6)式变为

令,,则有目前十六页\总数八十四页\编于七点16

该式称为维纳—霍夫方程。它是信号波形线性最小均方误差估计的线性时不变滤波器的脉冲响应应满足的积分方程。这样的滤波器称为维纳滤波器，而由维纳滤波器获得信号波形估计，称为维纳滤波。目前十七页\总数八十四页\编于七点17估计误差的方差为所以，要实现维纳滤波，需要设计维纳滤波器，这就是维纳—霍夫方程的解。目前十八页\总数八十四页\编于七点18

6.2.3维纳—霍夫方程的非因果解

(6.2.10)式中,限定（正半轴）,即维纳滤波器的脉冲响应满足所以,它是因果系统。如果我们取，包括整个时间轴则系统是非因果的.目前十九页\总数八十四页\编于七点19此时，维纳—霍夫方程变为目前二十页\总数八十四页\编于七点20故最佳滤波器的系统函数为目前二十一页\总数八十四页\编于七点21

讨论：若；与相互统计独立，即，则目前二十二页\总数八十四页\编于七点22当噪声为0时，信号全部通过；当信号为0时，噪声全部被抑制；因此维纳滤波确有滤除噪声的能力。目前二十三页\总数八十四页\编于七点23目前二十四页\总数八十四页\编于七点24目前二十五页\总数八十四页\编于七点25（1）对1<<2的频率范围内，由于Pn()=0，一定有|H（)|=1，表示由于没有噪声，故滤波器增益为1，从而保证信号不失真。其次，在这段频率内，均方误差的积分值为零。目前二十六页\总数八十四页\编于七点26（2）对>3的频率范围内，由于Ps()=0，一定有H()=0，表示由于没有信号，故滤波器增益为零，从而完全阻止噪声通过。同样在这段频率内，均方误差的积分值也为零。目前二十七页\总数八十四页\编于七点27（3）对2<<3的频率范围内，由于Ps()及Pn()均不为零，则|H()|<1，这一方面要防止噪声通过，又要保证信号通过。因此随着增加，Pn()逐渐加大，|H()|逐渐减小，直至为零。目前二十八页\总数八十四页\编于七点28估计误差的方差为目前二十九页\总数八十四页\编于七点29目前三十页\总数八十四页\编于七点30目前三十一页\总数八十四页\编于七点31目前三十二页\总数八十四页\编于七点32重叠部分的影响目前三十三页\总数八十四页\编于七点33可见，维纳滤波能够实现信号波形的线性最佳估计。非因果的维纳滤波器是物理不可实现的。讨论目的：加深对维纳滤波概念理解；提供了维纳滤波均方误差的下界，作为比较的参考标准。目前三十四页\总数八十四页\编于七点34[例]s(t)为马尔科夫过程，其功率谱密度为观测噪声n(t)为白噪声，其Pn()=1，求维纳滤波器的H()及h(t)。

目前三十五页\总数八十四页\编于七点35

[解]已知因此有其最小均方误差为式目前三十六页\总数八十四页\编于七点36下面，计算冲激响应h

(t)，对H（)作傅里叶变换得

目前三十七页\总数八十四页\编于七点376.2.4维纳滤波器的因果解

1.重写维纳—霍夫方程

目前三十八页\总数八十四页\编于七点386.2.4维纳滤波器的因果解

2.分析:求解的困难在于约束若,则。这意味着，若是自相关函数为的白过程，则。积分方程就可以直接求解。目前三十九页\总数八十四页\编于七点39

通常，是非白过程，但上述结果提醒我们：若将非白过程首先通过白化滤波器变为白过程，然后针对白过程，设计维纳滤波器，则维纳滤波器的因果解为

目前四十页\总数八十四页\编于七点40

如图6.4所示。下面讨论白化滤波器和滤波器的设计问题。目前四十一页\总数八十四页\编于七点41

3.白化滤波器的设计若观测信号是具有有理功率谱的平稳随机过程，则用复频域表示为式中，的所有零极点在s平面的左半平面；的所有零极点在s平面的右半平面。目前四十二页\总数八十四页\编于七点42如要求白化滤波器能够将非白化过程白化，则则其输出是白过程。因为而目前四十三页\总数八十四页\编于七点43所以，有从而得白化滤波器的系统函数4.滤波器的设计求解的积分方程为其中，。所以目前四十四页\总数八十四页\编于七点44于是，为式中，表示取中零极点在平面左半平面的部分，这是由决定的。因为目前四十五页\总数八十四页\编于七点45两边取拉普拉斯变换，得这样，维纳滤波器的系统函数为估计的均方误差为下面我们通过例子来说明维纳滤波器的问题。目前四十六页\总数八十四页\编于七点46例

设线性时不变滤波器输入的观测信号x(t)是平稳随机过程，其功率谱为设计物理可实现的白化滤波器，它的输出功率谱密度为1。目前四十七页\总数八十四页\编于七点47解所以该白化滤波器由微分器和常增益器并联组成。目前四十八页\总数八十四页\编于七点48例

设随机信号加白噪声通过一线性滤波器。已知和的自相关函数分别为现考虑的波形估计问题，要求估计的均方误差最小。设计该滤波器，并计算波形估计的均方误差。目前四十九页\总数八十四页\编于七点49解

据题意，待估计的波形，是维纳滤波问题。首先对和进行双边拉普拉斯变换，得令目前五十页\总数八十四页\编于七点50则故有又有然后求维纳滤波器的系统函数和均方误差。非因果的维纳滤波器

目前五十一页\总数八十四页\编于七点51

因果的维纳滤波器目前五十二页\总数八十四页\编于七点52例维纳预测和平滑问题。设随机信号加白噪声都是均值为0的平稳随机过程，二者互不相关。自相关函数分别为试求估计波形及均方误差。目前五十三页\总数八十四页\编于七点536.3离散过程的维纳滤波目前五十四页\总数八十四页\编于七点546.3.1离散过程的维纳—霍夫方程目前五十五页\总数八十四页\编于七点55目前五十六页\总数八十四页\编于七点56目前五十七页\总数八十四页\编于七点57离散形式连续形式目前五十八页\总数八十四页\编于七点58目前五十九页\总数八十四页\编于七点59离散过程的维纳-霍夫方程（因果关系）目前六十页\总数八十四页\编于七点606.3.2离散维纳滤波器的解离散维纳滤波器的z域解(频域)A因果解

B非因果解离散维纳滤波器的时域解目前六十一页\总数八十四页\编于七点611离散维纳滤波器的z域解(非因果解)目前六十二页\总数八十四页\编于七点62目前六十三页\总数八十四页\编于七点63目前六十四页\总数八十四页\编于七点64可以看出，维纳滤波的最小均方误差不仅与观测（输入）信号的功率谱有关，而且和噪声和信号功率谱的