反常积分与函数

1第一页，共三十二页，编辑于2023年，星期五复习定积分的几何意义：由一条连续曲线表示和三条直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积abxyo定积分有:2.被积函数是有界函数.1.积分区间是有限区间,第二页，共三十二页，编辑于2023年，星期五一、无穷限上的反常积分二、无界函数的反常积分三、函数第五节反常积分与函数

第六章第三页，共三十二页，编辑于2023年，星期五引例：求由曲线y=1/x2，直线x=1和y=0围成图形的面积.xyo1xyo1t一、无穷区间上的反常积分因第四页，共三十二页，编辑于2023年，星期五定义：设在内连续，取如果极限存在，则此极限叫函数在无穷区间内的反常积分.记作即此时也称反常积分收敛.否则称反常积分发散.注意：反常积分发散时，仍用记号表示.但只是形式上写出，不表数值.一、无穷区间上的反常积分第五页，共三十二页，编辑于2023年，星期五无穷积分的几何意义

若对一切x∈[a,+∞),有f(x)≥0,且收敛,则表示的就是由曲线y=f(x),直线x＝a和x轴围成的无穷区域的面积,若发散,则该无穷区域没有有限面积.第六页，共三十二页，编辑于2023年，星期五解由定义知：显然不存在.故发散.例1计算反常积分第七页，共三十二页，编辑于2023年，星期五注意:为了简便起见,另解记解若原式例2

计算反常积分第八页，共三十二页，编辑于2023年，星期五证例3证明反常积分当p>1时收敛，当发散.故当p>1时，该反常积分收敛于当时，该反常积分发散.第九页，共三十二页，编辑于2023年，星期五设在内连续，取如果极限存在，则此极限称为函数在无穷区间内的反常积分.记作即此时称反常积分否则称反常积分发散.定义2第十页，共三十二页，编辑于2023年，星期五设在内连续，如果都收敛，则称两反常积分之和为在无穷区间上的反常积分.记作即此时也称反常积分否则称反常积分发散.定义3第十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期五一般地：若是的原函数，则计算方法：例4计算解第十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期五解因为

不存在，所以反常积分发散.注意:

对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.例5讨论反常积分的敛散性.第十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期五二、无界函数的反常积分(又称为瑕积分).yxo11yxo11引例：求由曲线，及x=0、x=1和y=0围成图形的面积.解：取充分小因第十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期五二、无界函数的反常积分(又称为瑕积分).例子或或第十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期五2.瑕积分定义设在上连续，而如果极限存在，则称此极限值叫在上的反常积分.记作即有(又叫瑕积分).此时称反常积分收敛.若该极限不存在，称其发散.(这时称a是瑕点)，类似地定义：在处为瑕点，则反常积分第十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期五另有：若是瑕点时，注意：与同时收敛.才收敛.否则，发散.2.计算方法：若是的原函数，当a为瑕点时，其中当b为瑕点时，其中第十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期五解故所给反常积分是收敛的.例6

讨论反常积分的敛散性.所以x=a是被积函数的无穷间断点.第十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例7讨论反常积分的敛散性.解在上除外连续，且是的瑕点.则由于所以发散，因而发散.第十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期五证因此当q<1时反常积分收敛，

其值为当时反常积分发散.例8证明反常积分当q<1时收敛，当发散.第二十页，共三十二页，编辑于2023年，星期五小结设有反常积分其中f(x)在(a,b)内连续，a可以是b可以是a、b也可以是无穷间断点.对这样的积分，可以象定积分一样作换元.第二十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期五解例9

求反常积分令则再令于是第二十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期五三、函数定义：

广义积分是参变量α的函数,称为函数．

函数具有如下递推公式：

(α+1)=α(α

)(t＞0).特别地,当α=n为正整数时,有(n+1)=n!第二十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期五函数的重要性质：

(α+1)=α(α) 特别,(n+1)=n！证明：第二十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例10：利用函数计算下列反常积分.解:(1)(2)第二十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例10：利用函数计算下列反常积分.解:(2)第二十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期五1.反常积分积分区间无限被积函数无界定积分的极限2.两个重要的反常积分小结第二十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期五作业：P253：

1(3)(5)(8)预习：从253到261页P268：

1(5)第二十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期五相转化.例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互第二十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期五计算方法第三十页，共三十二页，编辑于2