单变量平稳时间序列模型

单变量平稳时间序列模型第一页，共二十八页，编辑于2023年，星期五内容结构

ARMA模型的理论介绍

ARMA模型的实证分析问题与小结123第二页，共二十八页，编辑于2023年，星期五1、ARMA模型有何价值？2、什么是ARMA模型？3、如何确定ARMA(p,q)中的p和q？4、如何估计ARMA(p,q)中的参数？5、如何检验ARMA模型？6、如何利用ARMA模型进行预测？

ARMA模型的理论介绍一：ARMA模型的概述六大问题第三页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述1、ARMA模型有何价值？时间序列分析即寻找时间序列{

}的规律，对于给定的时间序列{}，有2种方法对其进行解释或预测：

利用外部影响因素的时间序列与本时间序列的关系进行解释或预测，典型的方法如回归模型。例如，预测零配件的月销售量，可以利用汽车月度产量等外部影响建立回归方程，进行预测。缺点：上述因素的数据必须具有可获得性，但是影响因素的数据并不是总是可获得，如政策、消费者偏好等因素就难以获得，这时就不适合采用外部影响因素法。

ARMA模型的理论介绍1、外部影响因素法第四页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述上述方法中存在外部影响因素数据不可获得的特点，时间序列方法则规避了此类缺点。时间序列法，通过时间序列的历史数据，得出关于过去行为的有关结论，进而对时间序列未来进行判断。时间序列方法有很多，如传统时间序列方法（时间序列分解、指数平滑等）、随机时间序列（ARMA/AR/MA等）、其他方法（ARCH、动态时间序列法等）2、什么是ARMA模型？一些知识点的介绍即进行时间序列分析前，必须判断其是否平稳，否则，时间序列分析中的t、F等检验都是不可信的。1、时间序列的平稳性（任何时间序列分析都必须满足的前提）2、时间序列方法

ARMA模型的理论介绍第五页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述

满足如下条件：则时间序列平稳

例一(平稳)满足如下条件称为白噪声

ARMA模型的理论介绍~第六页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述例二（非平稳）满足如下条件称为随机游走序列作差分后平稳

ARMA模型的理论介绍第七页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述滞后算子公式：Lnxt=xt-n2、滞后算子3、自相关函数对于有自协方差函数定义k

=Cov(Xt,Xt-k)=E[(Xt-)(Xt-k-)]

其中，k=0时，0=Var（

）=

ARMA模型的理论介绍第八页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述自相关函数定义k=

=

=其中，k=0时，0=14、偏自相关函数自相关函数ACF(k)给出了

与

的总体相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的隐含关系，例如与间有相关性可能主要是由于它们各自与间的相关性带来的，这时需要用PACF（k）进行判断与间的偏自相关函数（partialautocorrelation，PACF）则是消除了中间变量，…，带来的间接相关后的直接相关性

ARMA模型的理论介绍第九页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述

ARMA模型的介绍1、移动平均MA（q）模型

一般地，满足称为q阶移动平均过程MA(q)为白噪声，为移动平均系数移动平均过程是无条件平稳的（有严格的数学证明）

ARMA模型的理论介绍第十页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述

2、自回归过程AR（p）模型

一般地，满足称为p阶移动平均过程AR(p)如果=

，为白噪声，为自回归系数移动自回归过程平稳的条件

滞后算子：

滞后算子表达式：

特征方程：=0结论：特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于1），则AR(p)模型是平稳的

ARMA模型的理论介绍第十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述

3、自回归移动平均过程ARMA（p，q）模型

与AR（p）相似，满足如果是一个白噪声，满足：

12由1式和2式得：

其中为白噪声，此模型是上述2个模型的混合，因此称为ARMA(p，q)模型

ARMA模型的理论介绍第十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述

当p=0

时，ARMA(0,q)=MA(q)

当q=0时，ARMA(p,0)=AR(p)ARMA（p，q）模型包括了一个AR(P)模型和一个MA(q)模型，因为MA(q)模型永久平稳，因此检验ARMA（p，q）模型平稳性时，只需检验AR(p)模型的平稳性结论：

ARMA模型的平稳性完全取决于自回归模型的参数(1,

2,…,p)，而与移动平均模型参数(1,2,…,q)无关常用的两种平稳性检验方法：1、相关图法。随着k的增加，样本自相关函数下降且趋于零。但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快得多2、单位根检验。DF/ADF等

ARMA模型的理论介绍第十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述3、如何确定ARMA(p,q)中的p和q？确定p和q的过程即为模型的识别，所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction）ACF及偏自相关函数（partialautocorrelationfunction）PACF

，通常通过相关图来观察模型ACFPACF白噪声

AR(p)衰减趋于零（几何型或振荡型）P阶后截尾：，k>pMA(q)q阶后截尾：

，k>q

衰减趋于零（几何型或振荡型）ARMA(p,q)q阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）p阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）ARMA（p，q）模型的ACF和PACF理论模式

ARMA模型的理论介绍第十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述1、什么是拖尾和截尾拖尾：自相关函数或偏相关函数随着滞后阶数k的增加，不断衰减直到0，这种现象称为拖尾截尾：如果自相关函数或偏相关函数在滞后项p或q之后为0，则称自相关函数或偏自相关函数在p或q以后是截尾的拖尾相关图截尾相关图

ARMA模型的理论介绍第十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述2、AR（p）、MA（q）、ARMA（p，q）的识别AR（p）：ACF随着滞后阶数k的增加，呈指数衰减或震荡式衰减，具有拖尾性；PACF在p阶后截尾（有严格的数学证明）MA（q）：ACF在q步后截尾（有严格的数学证明）；PACF一定呈现某种衰减形式，衰减形式复杂（区别于AR（p）），具有拖尾性ARMA（p，q）

：ACF和PACF都呈现拖尾性在实际操作中，要集合ACF和PACF来判断用哪一模型，当相关图具备上述模型的特征时，选择该模型此外，由于自相关系数和偏自相关系数是通过要识别序列的样本数据估计出来的，必然存在误差，因此，实际操作中的图形并不一定是理想的拖尾和截尾，需要反复试验与检验，选择最合适的模型

ARMA模型的理论介绍第十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述3、AR（p）、MA（q）、ARMA（p，q）的相关图AR(1)模型：

ARMA模型的理论介绍第十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述MA(1)模型：ARMA(1,1)模型：

ARMA模型的理论介绍第十八页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述4、如何估计ARMA(p,q)中的参数？AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估计方法较多，大体上分为3类：最小二乘估计、矩估计和利用自相关函数的直接估计。

最小二乘法估计矩估计利用自相关函数估计利用估计的自相关系数，估计出AR(p)参数

ARMA模型的理论介绍第十九页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述5、如何检验ARMA模型？检验内容：ARMA(p，q)模型的识别与估计是在假设随机扰动项是一白噪声基础上进行的，因此，模型检验中首先要检验是不是白噪声检验指标：Q检验判断标准：如果残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。检验内容：增加p与q的阶数，可增加拟合优度，但却同时降低了自由度。因此，对可能的适当的模型，存在着模型的“简洁性”与模型的拟合优度的权衡选择问题。因此，需要权衡二者检验指标：AICSC判断标准：在选择可能的模型时，AIC与SC越小越好。

ARMA模型的理论介绍第二十页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述检验内容：参数估计时，需要对所估的参数进行检验，看其是否符合合适检验指标：t检验判断标准：若t统计值大于相应临界值，则应拒绝所估计的参数，prob值0.2以下较好6、如何利用ARMA模型进行预测？设对时间序列样本{xt},t=1,2,…,T，所拟合的模型是

xt=0.4

xt-1+0.77+0.68

εt-1则理论上T+1期xt的值应按下式计算xT+1=0.4

xT

+0.77

+0.68

εT……以此类推

ARMA模型的理论介绍第二十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一：ARMA模型的概述ARMA模型流程图

ARMA模型的理论介绍第二十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期五内容结构

ARMA模型的理论介绍

ARMA模型的实证分析问题与小结123第二十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期五二：ARMA模型实证分析1、建立工作文件并导入数据

ARMA模型的实证分析第二十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期五二