常数项数的概念和性质

nnn123nnn123．写出下列级数的一般项：⑴

13572468

；【解】分析级数各项的表达规律：分子为奇数数列

2

，分母为偶数数列2，于是得级数的一般项为

un

22

，n1,2,3,....。⑵

111123498

；【解法一】分析级数各项的表达规律：分子不变恒为1，分母的变化中，奇数项为2的乘，幂指数为项+1的一，即

，偶数项为3的乘幂，幂指数为项数的一半，即

n2

，2k于是有u32n

，kJ，。也可为

un

1n1nn22

，。【解法二】分析级数各项的表达规律：分子不变恒为1但母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律可以视为两个级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成，若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有1u2

，111u4922

，1111u827233......

，于是得

un

11，1,2,3,....。23n⑶

322

。【解】分析数列各项的表达规律：/8

nnnininnnini各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为

(

，从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，分母恰为序数n于是得

unn

nn

，

n2,3,....

，检验当n时1

11

，说明第一项也符合上面一般项的规律，从而得

unn

nn

，

n1,2,3,....

。．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性：⑴

1(2nn

；【解】级数前

项和为

111n11()()ii2ii2iii⑵

1111[(1)))])2352n22111limlim(1)由于，知级数收敛，收敛于。2nn221；nn

，【解】级数前

项和为n

i

1iii

ii(ii)2

ii)i23)

n)n

，由于

limlim(nnnn

，知级数发散。⑶

ln

nn

；【解】级数前n项为[ln(ii]iiln2ln1)ln3)[ln(nnln1ln(n/8

，

n1)n1)⑷

(

limlimln(由于nnnn)。

，知级数发散。n【解】级数前

项和为iii)ni1)42)43)

+…………nnnn)各项抵销的规律为括中首项与第二括号中的中项及第三括号中的末项相互抵销为0，按此规律，第一括号中余

，第二括号中余下

，而第三括号与后面括号抵销完，同理，倒数第三个括号与前面括号抵销完，倒数第二个括号中余下

n

，倒数第一个括号中余下

n

，于是，

nn1n2nn

，由于

lim2nnn

1nn

，知级数收敛，收敛于2。．判断下列级数的敛散性，若级数收敛，求其和：⑴

n

n2

；【解】这是等比级数，首项为

a

(20

，公比为

q

1，可见22

，知级数收敛，其和为

a1112

。/8

1111⑵

3)2nn

n

；【解】这是等比级数，首项a

(ln2

0

，公比为

q

ln32

，可见

q

ln3ln222

，知级数收敛，其和为e⑶；

a1

1

1ln332

。【解】这是等比级数，公比为

q

，可知级数发散。⑷

n

1)23

；【解】

n

123n

12n

2()3

n

，其中级

n

12n

1为首项a比的等比级数和为2

a12

；级数

n

2()3

n

2为首项a，公比q的等比和为3a13

，由性质7.1.1知级数

2(3n

n

也收敛，其和为

，于是由性质7.1.2知级数

n

123

收敛，其和为

2

。⑸

442455255

n

45

nn

；【解】这是等比级数，首项为

a

4，公比为，见q5

，知级数收敛，其4和为

a1

541)5

49

。/8

132112n132112n⑹

11111())2398

127

)

。【解】级数为

n

111()2n3nn1

，为两收敛等比级数的和，是收敛的。1其中的和为2

1，的为11223

，从而

1()23n

的和为

132

。4．求级数

1()2n(nn

的和．1【解】级数为比级数，其和为2n

1112

，级数

11()n(nnnnn

，其前

项和为

ni

11(3(1)ii

，得知其和为

limnnn

1)n综上知，级数

n

(

1)2(n

的和为

。５．判断下列级数的敛散性：⑴

0.001

；【解】级数的通项是

u(0.001)n

1n

，⑵

由于nnn134；25

1n

(0.001)0

，所以该级数发散。【解】级数的通项是

un

nn

，由于

limlimnnn

nn

，所以该级数发散。/8

nnnn⑶

n

2

。【解】由于

limunnn

(n(lim2n2

不存在，所以该级数发散。６．设级数

u

收敛，

v

发散，证明：级数

()nn

发散。

n【证明】由级数收敛定义，知

n

i

i

不存在，从而由极限运算法则知，

n

i

u)ii

也不存在，可知级数

(

n

)n

发散。证毕。7．判别级数

n11112102210n

是否收敛。【解】级数通项为

un

1210n

，于是级数为

nn

1)2n

，1由于调和级数发，从而数发，n即由上面第6题结论知，级数

nn

1)2n

也发散。*8．级数

n

1n(nn

的和。【解】由于

112()n(n2nnn

，得

n

nn121)(kk2)kk1211212[(1)))22234121121)))]nnnnnn/8

nn2nnnn2nn111)22nn1()22nn11[2(

]

，于是，

limnnn

1111lim[](kk2(nn4

。9．已知级数

u

的前

项的部分和

Sn

87n

，求这个级数。【解】由于

un

n

88n(8nn7nnn

，可知这个级数是

8n

。10设数

u

的第n

次部分和为

Sn

n2

判级数

n

u

n

的敛散性若数收敛，求它的和。【解】由于

n11Slimnnn12

，知级数

u

收敛于，而级数

u

n

为由级数

u

去掉前面两项得到即性质7.1.3知级

u

nn

n也收敛，由于

un

n

nn2n2(n2(2n1)(2