北师大版八年级数学上册《二次根式》第1课时示范课教学设计

第二章实数7二次根式第1课时一、教学目标1.了解二次根式和最简二次根式的概念，能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式.2.通过对二次根式的性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力.3.经历在具体情境中发现二次根式的过程，体会引入二次根式的必要性.4.经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体现发现的快乐，并提高应用的意识.二、教学重难点重点：了解二次根式和最简二次根式的概念，能将二次根式化简为最简二次根式.难点：对二次根式的性质的探究.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境【复习回顾】什么叫做平方根?一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根.什么叫做算术平方根?一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”.什么数有算术平方根?正数或0有算数平方根，负数没有平方根.思考：用带根号的式子填空，观察这些结果有什么特点？(1)如图①的画框为正方形，若面积为8dm2,则边长为____dm；若面积为Sm2，则边长为_____m．(2)如图②长方形的土地，若宽是长的，面积为13m2，则它的长为_____m．预设答案：(1)；；(2).学生思考，回答问题.学生思考，举手回答问题.回顾平方根和算数平方根的定义，为本节课要学习的内容作准备.通过实际问题，让学生用带根号的式子填空，为下面探究二次根式的特征作准备.环节二探究新知【合作探究】问题1上面问题中，得到的结果分别是，，，这些式子分别表示什么意义？预设答案：分别表示8，S，的算术平方根．问题2非负数b，m+n，t22的算术平方根怎么表示？预设答案：，，.问题3什么样的数才有算术平方根？预设答案：只有非负数才有算术平方根.问题4这些式子有什么共同特征？预设答案：①含有“”；②被开方数为非负数.【归纳】二次根式的概念：一般地，式子叫做二次根式.a是被开方数.教师活动：注意：a可以是数，也可以是式.二次根式的两个必备特征：①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0.【做一做】1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？分析：答案：解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.2.(1)使二次根式在实数范围内有意义的m的取值范围是__________.解：由m2≥0，得m≥2.当m≥2时，在实数范围内有意义.答案：m≥2.总结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.(2)使式子在实数范围内有意义的a的取值范围是_______.解：由a1≥0，得a≥1.又∵为分母，∴a-1≠0，即a≠1∴当a＞1时，在实数范围内有意义.答案：a＞1总结：若二次根式为分母时，应同时考虑分母不为零.【归纳总结】求二次根式中字母的取值范围的依据：(1)形如的二次根式有意义的条件：m≥0.(2)二次根式作为分式的分母时，如有意义的条件：m＞0.【做一做】(1)预设答案：6；6；；；；.追问：你有什么猜想？预设答案：(2)根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证一下吧.预设答案：6.4807；6.4807；0.9258；0.9258.教师总结：，.所以验证了猜想！【归纳】二次根式的性质：积的算术平方根，等于算术平方根的积.(a≥0，b≥0)教师强调：a，b必须都是非负数！商的算术平方根，等于算术平方根的商.(a≥0，b＞0)教师强调：a必须是非负数，b必须是正数.学生思考，回答问题.认真思考，并举手回答认真思考认真思考，举手回答.用计算器进行计算.列举一些具体数据，从学生熟知的算术平方根入手，通过问题的思考，让学生初步感知二次根式的特征.进一步探究二次根式的概念，明确只有含有二次根号和被开方数是非负数这两个条件同时满足时才是二次根式.给出问题，激发学生思考，并讨论交流.引导学生从数学现象背后发现数学规律，为后面学生独立解题和总结规律打下一定的基础.引领学生自主探索二次根式的性质，此问题（1）从特殊数入手，希望学生获得一定的感性经验，通过问题（2）进一步强化这样的经验和猜测.最后经由学生交流，总结、归纳出二次根式的性质.环节三应用新知【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，教师指名学生上台板演.【例1】化简(1)；(2)；(3).解：(1)(2)(3)【交流】观察例1的化简结果，，这些数有什么特点呢？预设答案：特点：被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式.最简二次根式定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.【做一做】下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？解：（1）不是，因为被开方数是小数（即含有分母）.（2）不是，因为被开方数含有分母.（3）是.（4）不是，因为被开方数32y中含有能开得尽方的因数16，16=42.（5）不是，因为分母中有二次根式.【例2】化简（1）；（2）；（3）.解：（1）（2）（3）小结：化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.【议一议】你是怎么发现的被开方数含有开得尽方的因数的？你是怎么判断是最简二次根式的？预设答案：因为被开方数50是偶数，可写成25×2的形式，25=52是一个完全平方数，是能开得尽方的因数.中，根号内是整数，且不含有能开得尽方的因数，分母中又不含根号，所以是最简二次根式.【归纳】将二次根式化成最简二次根式的方法：认真思考问题，尝试独立完成.学生小组讨论并回答.学生思考，举手回答.尝试独立完成.认真思考，举手回答.明确二次根式的性质之后，自然是运用性质进行化简.同伴间进行交流，教师适时引导,激发学生的学习热情.承接上面的化简结果，明确最简二次根式的概念，这样自然就导入下面的“做一做”和“例2”，辨认最简二次根式，然后将二次根式化简为最简二次根式.及时引导学生反思化简活动过程，以积累解决相关问题的经验，加深学生对二次根式化简的理解.环节四巩固新知【课堂练习】教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.选择.（1）下列各式是最简二次根式的是（）A.B.C.D.（2）下列各式正确的是（）A.B.C.D.答案：(1)C；(2)B.2.填空.（1）使式子有意义的a的取值范围为_________.（2）已知，则xy的值为_________.（3）当x=_____时，有最小值，最小值为_________.答案：(1)1<a≤4；(2)6；(3)，6.3.化简.（1）（2）（3）答案：解：（1）（2（3）自主完成练习，然后集体交流评价.在练习中联系相关知识分析，说明解决问题的