大学高等数学第一章函数(习题精讲)

12第1章12

函

数第

函

数§

函的念性绝值与等（a0，b（）

xx

；

yxx（）

（调和平均值

几何平均值

算术平均值）一般地，

n1x1

1n

n

x1

n

1n

n（）

max

aa；a222函概与质对变量

的每一个确定值，变量

y

按某确定规则

f

，都有且只有一确定值与之对应，则称变量是变量的函数，记为

fx)xD。注意：定义域D对应规则f是数相等的两要素。（）关性（）调性

f()f(t)t,xI11x)f)12f(x))12

fx)单调递增()f(x)；fx)单调递减f(x)f(x)12

f(x)严格单增f(x)严格单减（）偶性

)(x)f((x)

f(x)为偶函数，轴f(x)为奇函数，对注意函的奇偶性是相对于对区间而言定义域关于原点不对称则不是奇/偶函数。（）期性若

f(xf(x)，T，则为f(x

的周期。（）界性若

D

，

f()

，

f(x

在

D

上有界。常用有界函数：

sinx

，

cosx

，

(

；1

f反数设第1章f反数设

函

数arcsinx

2

，

x

，

x

2

，

x

，

(复函设

(

的定义域为，uf

(x

的值域为Z，且D

f

Z

（空集称y

函数。x)定义域为Dyf()定义域为f

值域为Zf值域为f注意：正反函数的图形对称于直线；格单调函数必有反函数；f

x)

(x)

f

；

f

f(x)

xD

f初函由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合而成的用个解析式表示的函数称为初等函数。基本初等函数：幂函数

y

（

为实数数数

y

（

0

，

数函数

ylog（0a函a

xxcscx；反三角函数

，

x

，

，

arccotx

.６分段数幂函分段函数一般不属于初等函数，因为一般在其定义域内不能用一个解析式表示；幂指函数

y

x

一般不属于初等函数，因为它无法用初等函数复合而成；但若规定x，x

x

xlnx

，是初等函数。§

典例解例

已知不等式

2x

，用区间表示不等式的解集分解此不等式应先去掉绝对值符号，由于

12

，

分别为

2x

，

的零值点，于是将区间划分为

1()2

，

[

12

,1]

，

，再考虑各小区间

的取值范围及端点，最后综合得出结论。2

第1章

函

数解1

1x(x()211x((,1)(1,

(0解2

(2

x2

(x0

(0函定域求法解思（）式的分母，数的真数，次方根下的表达式，反正弦、反余弦号内的表达式绝对值；（）合函数的定义域简单数的定义域所构成的不等式组的解集。例求列函数的定义域（1

11x4x

；解

4xx

xx4

(

（2已知

f(x

的定义域是

f(x)(x(a0)

的定义域解

fx)fx)

的定义域：的定义域：

0x0x

af(x)f(x

的定义域：

当

1

，

a

11时，定义域为空集；当1，a22

时，定义域为

；故取交集定义域为

函解式求法解思（）已知变量凑成与

f()

内的中间变量一致的形式，利用函数的无关特性求解；（）

f()

内作变量代换，再利用无关特性与原方程联立求解。3

x()2第1章x()2

函

数（3）由

f

的表达式求

f(x

的一般方法是令

(x)

，从中解出

x

()

，将其代入

f

f)例

求下列函数解析式（）知

1()()x，(a),求f(

；解令

t

1

代入原式得

11(t)())tt

，则(x)()sinx11(x)))xx

1f(x)(a)a2x（）知

1f(x)lnx2

4

,求

f(x

；解1f(

1)lnln(xx

xlnx

1lnln12x2x令

1

，则

11f(tln2t2

11f(x)ln2x2解2将

1换成，

f(x

11)xln(24

，和原式相加得112f()x

4

1ln(24f(

111)ln(x)ln()2x

令

1

，则

11f(tln2t2

11f(x)ln2x2例

求下列函数解析式（）知

f(lnx

2

，

)

的定义域为，f

(x)

，求

)解

令

ulnx

，

2

2

，

f(u)

ee

22

，且

f

(x)

，则ee

x)x)

x

e

2)

ex1

1e()2x

（

）（）知

f(ln

xx0

，求

f(x4

第1章

函

数解

令

x

，

，则f(u)

u

u

eu0

uuu

f(x)

xxx利定确函数有特解思（）

f(xf()

，则

f(x

为奇函数；（若

T

是

f(x

的周期则

f

a

若

f(x

，

x)

分别是以

T1

，T(T)22

为周期的函数，则

fx()

的周期为，T的最小公倍数。12（）函数取绝对值，由不等式的缩放法或求函数的最值确定函数的有界性；（）

x1

，且

f()f()21

，

f(x)/f(x)2

，则可确定

f(x

单增性。例

设

Fx)(x)()

求

11(x)(21

x

)

，

(aa

的奇偶性解

设

11xaaxg(x)，()22(1x)2(1)2(1x)由于

Fx)(x)()

，分别令

，

y

，得

F(0)F(x((0)F(x即

F(x)

为奇函数，故

1()(21

x

)

为偶函数。例

设

f(x

在

上有定义，证明：

f(x

可表示为一个奇函数与一个偶函数的和，且表示法唯一分

若

))

，)

，则有

f(x))

，f())

，由此引入辅助函数证设

1(x)f(x)(2

1，x)f(x)f(2

11(f(f(xf(x)f()221(f(f)f()f()22故

(x)

为偶函数，(x

为奇函数，且x)

1f(x)f)f(x)f()fx)225

1111第1章1111

函

数唯一性：设另有偶函数

()1

及奇函()1

使得

f())x1

，则x))x)))x))111解得

xx)1

，x)x1

，即表示法唯一。例（）

证下函为期数并其小周f(x)sin(2x解1由

sinx

的周期为

，故所求周期为

2

解2（）

f(x)sin(2sinTxx解

f(

)sin(x)cos(22

)cossinf()T

2例11

设

f(x

在

(

上有定义，证明：（）

f()

的图形关于直线

a(0)

对称，则

f(x)f()

；（）

f()

的图形关于直线，x2对，f

是周期的偶函数。分（）

fx)

的图形关于直线a对点为x,y与(x

，则

，

f(x)f(2)反之，若

f)()

，则

fx)

关于直线

a

对称证1）必要性：

，有f()f)

，则f(x)fa)充分性：若

，有

f(x)f(a)

，则f(x)f)a)（）题设知

f(xf)

，

f(x2)f(2)

，则f(x)ff(xf(()6

第1章

函

数故

f(x

是以2为期的偶函数例12

判断下列函数的有界性（）

2

2xx解

由

，有

xx2x

，则x

2

x(2x

32x12x

2x13x例13

设

（

明（）

f(x

是

的单减函数，则

f(x()(

；（）

f(x)

是

的单减函数，则

f(xf)f(

；（）

f()(af()

（

0,

）证1）由题设知，

，

x

x

，

xx

，

由于

f(x

单减，有

f(

(x，(

)fx)

，则(

(

()(x(x（）于

fx)x

单减，有

f()f(x)x

，

f(f(

，则f(

()，(

()

f(

(

(x)（）

，

a，a

，则f())f()例14求列函数的反函数分：分段函数的反函数，要注意

的不同取值范围对应原来函数的值域（）

21

(x2)17

2424解当

10x时(2

函第1章的值域为

数12

当

12

时，

1)3

的值域为41