初中数学拔高辅导(求两线段长度值和最小)

初中数拔辅导（两段长度和最小一在角背下求段的小锐三形探线和最值例1

如图1，在锐角三角形ABC中AB=4,BAC=45°，BAC平分线交BC于点D，分是AD和AB上动点，则的小值为．分：在这里，有两个动点，所以解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解如图，在AC上取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平线交BC于D，所以∠EAM=∠NAM，因为AM=AM，所△AME△AMN所以ME=MN所以BM+MN=BM+ME≥．为有小值当BE是B到直线的距时取最值为4以BM+MN的小值是4．故填4．1.2在等边角中求段的小例2（2010山滨州）如图所示，等ABC的长为6,AD是BC边的中线M是AD上的动,E是AC边一点.AE=2,EM+CM最小值为.分：要求线段和最小值，关键是用轴对称思想，找出这条最短的线段所的知识求出这条线段的长度即可．解因为等边ABC的边长为6,AD是BC边的中线,所以点C与点关于AD对，连接交AD于M这就是EM+CM最小的位置图5所示为CM=BM所以EM+CM=BE，过点E作⊥BC足F为AE=2AC=6以EC=4直三角形EFC中为EC=4,∠ECF=60°∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．

因为BC=6以直角三角形BEF=.二在边背下求段的小2.1在直角形探线和最值例3（2010江苏州）如图，在直角梯形ABCD中，ABC＝°，AD∥，＝，AB＝，＝，P是AB上个动点，当PCPD的和小时，的长__________．分在里有一个动点两定符合对称点法求线段和最小的思路以解答时可以用对称法．解如图3所，作点关于直线AB的称点E，连接CE，交AB于点P，时PCPD和最小为线段CE因为AD＝所以AE=4为ABC90AD∥所∠EAP＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所△∽△BPC，以.因AE=4，BC＝，以，所以，以,为AB＝，所以PB=3.2.2在等腰形探线和最值例4如4等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小为．分：根等腰梯形的性质知道，点A对称点是点，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解如图4所，因为点于直线EF的称点为A，连接BD交EF于点，此时PA＋和小，为线段BD．过点D作DGBC，垂足为G，为四边形ABCD是等腰梯形，且

AB=AD=CD=1，∠ABC=60°所以C=60，GDC=30°，所以GC=,DG=．为ABC＝°∥BC以∠＝°AB=ADABD=∠ADB=30°∠ADBC=30°所以×=．所以PA+PB最小值为．2.3在菱形探线和最值例如菱形ABCD中AB=2∠BAD=60°E是AB的点是对线AC上一个动点，则PE+PB的小值为．分：根据菱形的性质知道，点B的称点是点，这是解题的一个关键点．解如图5所，因为点于直线AC的称点为D，连接DE交AC于点，此时PE＋和最，为线段ED因四边形ABCD是菱形且∠BAD=60°所三角形是边三角形为E是AB的点以AE=1AB以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方中求段的小例如所示已正方形ABCD的长为8点M上，且DM=2是AC上一个动点，则DN+MN的最值为．分：根据正方形的性质知道，点的对称点是点，这是解题的一个关键点．解如图6所，因为点于直线AC的称点为B，连接BM交AC于点，此时DN＋和最线段BM为边形ABCD是方形以BC=CD=8因为DM=2以MC=6，所以BM==10.所DN+MN的小值为10.

例7（2009?州）如图，在边长为2cm的方形中点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一点PB周长的最小值为果不取近似值）．分：在这里△PBQ周长等于，而是方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小题就转化成使得PB+PQ和最小问题为目中有一个动点，两个定点B,Q符合对点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解如图7所，根据正方的性质知道点B与关于AC对称连接DQ，交AC于点PBP=DPBP+PQ=DP+PQ=DQeq\o\ac(△,Rt)中=，以PBQ的长的最值为BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1．答案为+1．三在背下求段的小例2010年荆如8是半为1的⊙直径A在⊙AMN＝°B为AN弧的点，P是直MN一动点，则＋的最值为()(A)2(B)(C)1(D)2分：根据圆的对称性，作出点A的对点D连接DB则线段和的最小值就是线段DB的长度．解如图8作出点A对称点D，连接DBOB,OD．因为AMN30°为AN弧的中点，所以弧AB的数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为°根据圆心角与圆周角的关系定理得到：BON30°．由垂径定理得：弧的度为60°所以∠BOD＝∠BON+∠DON=30°+60°=90°所以DB==.所以选择B．

四在比函图背下求段的小例9（山东济）如图9正比例函数y=的象与反比例函数y=（≠）在第一象限的图象交于A点过点作x轴的垂线垂足为已知三角形OAM的积为1.（）反比例函数的解析式；（）果B为比函数在第一象限图象上的点（点点A不合），且B点横坐标为，在x轴上一点P，PA+PB小分：利用三角形的面积和交点坐的意义，确定出点的坐是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的小值关是明白怎样才能保证PA+PB的和小学可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解（）点A的标为（，），且点在一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，以析式为y=．

所以xy=2，以反比例函数的（）为y=x与y=

相交于点A，所以=x，解得，或因为x＞0，以x=2，所以y=1，点的标为2，）．因为点的横坐标为1，且点B在比例函

数的图像上，所以点B的纵坐标，所点B的坐标为1），所以点B关于x轴对称点D的标为（1，-2）．设直AD的析式为y=kx+b，所以，解得，b=-5，以函数的解式为y=3x-5当时x=0）时，PA+PB的值最小．五在次数景探线和最值

，所以当点P在，例10（年溪编）如图10在平面直角坐标系中，点A的标（，△AOB的面是.

），（）点B的标；（）过AOB的物线的解析式；（）（）抛物线的对称轴是否存在点C使△AOC的长最小？若存在，求出点C的坐；若不存在，请说明理由；分：在这里△AOC周等于AC+CO+AO而A,O是定点，所以AO是个定长，所以要想使得三角形的周长最小题转化成使得AC+CO和最小问题为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解1由题意:B的标为（-2，）；

所以OB=2．因为点B在x轴的半轴上，所以点（）为B(-2,0),O(0,0),所设抛物线的解析式为y=ax（x+2）将点A的标为（，）入解析式得，所以a=所以函数的解析式为y=+x．

（）在点C.如图10，根据物线的性质知道点B与点是对称点，所以连接AB与抛物线的对称轴1交AC于点时△AOC周长最.设对称轴与x轴交点为E．过点A作AF垂于x轴点F，BE=EO=EF=1.为BCE△BAF,所以,所以，以CE=．为点在第二象限，所以点C的坐标为-1，）六在面角标背下求段的小例112010年天如11在平面直角坐标系中形

的顶点O在标原点，顶点A、分别x轴y轴正半轴上OA=3，OB=4D为边OB的点（）E为OA上一个动点，的周长最小时，求点E的标；（）E、F为OA上的个点，且，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的标分本题的最大亮点是将一个动求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起很好的运用到平面直角坐标系中．解（）图12，点D于x轴对称点，接C

与x轴交于点E，连接DE.

若在边OA上任取点

（与点不重合），连接C

、、.由D+C=

+C＞=D

+CE=DE+CE，所以△

的周长最小因为在矩OACB中，D的中，所以BC=3DO=

O=2.所以点C的标（34点坐标为（-2设线

的解析式为y=kx+b，则，得k=2，b=-2，以函数的解析式为y=2x-2，，x=1，所以点E的坐标为（，）（）图13，作点关轴对称点，CB上截取CG=2，连接G与x轴交于点EA上EF=2.因